第八章 不定積分

1、第八章 不定積分1 不定積分概念與基本積分公式教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：掌握原函數(shù)的概念和基本積分公式教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：原函數(shù)的概念；基本積分公式；不定積分的幾何意義基本要求：基本要求：熟練掌握原函數(shù)的概念和基本積分公式教學(xué)建議：教學(xué)建議：(1) 不定積分是以后各種積分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟記基本積分公式表(2) 適當(dāng)擴(kuò)充基本積分公式表教學(xué)過程：教學(xué)過程：一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分( (一一) ) 原函數(shù)原函數(shù)定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有定義。若)(xf)(xFI， ，)()(xfxFIx則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。)(xF)(xfI如：是在 R 上的一個(gè)原函數(shù)；， ，等都有是3

2、31x2xx2cos2112cos21xx2sinx2cos在 R 上的原函數(shù)若函數(shù)存在原函數(shù)，則其原函數(shù)不是唯一的。x2sin)(xf問題問題 1 1 在什么條件下必存在原函數(shù)？若存在，其個(gè)數(shù)是否唯一；又若不唯一，則有)(xf多少個(gè)？問題問題 2 2 若函數(shù)的原函數(shù)存在，如何將它求出？（這是本章的重點(diǎn)內(nèi)容） 。)(xf定理定理 1 1 若在區(qū)間上連續(xù)，則在上存在原函數(shù)。)(xfI)(xfI)(xF（證明在第九章中進(jìn)行。 ）說明說明：（1）由于初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，故初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必存在原函數(shù)（但其原函數(shù)不一定仍是初等函數(shù)） 。 （2）連續(xù)是存在原函數(shù)的充分條件，并非必要條件。

3、定理定理 2 2 設(shè)是在在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則（1）設(shè)是在在區(qū))(xF)(xfICxF)()(xf間上的原函數(shù)，其中 C 為任意常量（若存在原函數(shù)，則其個(gè)數(shù)必為無窮多個(gè)） 。 （2）I)(xf在上的任何兩個(gè)原函數(shù)之間，只可能相差上個(gè)常數(shù)（揭示了原函數(shù)間的關(guān)系） 。)(xfI證：證： （1 1）由)()()(xfxFCxF，即對(duì)任何常數(shù)C，CxF)(都是)(xf的原函數(shù)，再證它們是全部原函數(shù)。（2 2）設(shè))(xG為)(xf另一原函數(shù)，)()(xfxG，那么0)()()()(xfxfxGxF，我們得到CxFxG)()(。這說明 f x的任一原函數(shù)均可表示為 F xC的形式也就是說 F xC是 f

4、 x的原函數(shù)的一般表達(dá)式（二）（二） 不定積分不定積分定義定義 2 2 函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體稱為在上的不定積分，記作：)(xfI)(xfIdxxf)(其中積分號(hào)；被積函數(shù)； 被積表達(dá)式；積分變量。)(xfdxxf)(x注注 1： 是一個(gè)整體記號(hào)；dxxf)(注注 2：不定積分與原函數(shù)是總體與個(gè)體的關(guān)系，即若是的一個(gè)原函數(shù)，則)(xF)(xf的不定積分是一個(gè)函數(shù)族，其中是任意常數(shù)，于是，記為：=)(xfCxF)(Cdxxf)(。CxF)(此時(shí)稱為積分常數(shù)，它可取任意實(shí)數(shù)。故有C 先積后導(dǎo)正好還原；)()(xfdxxf或 。dxxfdxxfd)()( 先導(dǎo)后積還原后需加上一個(gè)常數(shù)（不能完全還

5、原） 。Cxfdxxf)()(或 。Cxfxdf)()(如： ， 。Cxdxx332Cxxdx2cos212sin不定積分的風(fēng)何意義： 若是的一個(gè)原函數(shù)，則稱的圖象為)(xF)(xf)(xFy 的一條積分曲線。于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方)(xf)(xf)(xf向任意平移所得一載積分曲線組成的曲線族，曲線1)(CxF和2)(CxF在點(diǎn)x有相同切線斜率。如下圖。)(xf yF(x)+C2F(x)+C1 x 注：注：在求原函數(shù)的具體問題中，往往是先求出全體原函數(shù)，然后從中確定一個(gè)滿足條件（稱之為初始條件，一般由具體問題確定）的原函數(shù)，它就是積分曲線族中通過點(diǎn)00)(yxF的

6、那條積分曲線。),(00yx二、基本積分表二、基本積分表由于不定積分的定義不象導(dǎo)數(shù)定義那樣具有構(gòu)造性，這就使得求原函數(shù)的問題要比求導(dǎo)數(shù)難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探。首先，我們把基本導(dǎo)數(shù)公式改寫成基本積分公式：1.； Cdx02.；Cxdxdx13.，；Cxdxx11)0, 1(x4.，；Cxdxxln1)0( x5.；Cedxexx6.， ；Caadxaxxln) 1, 0(aa7.，；Caxaaxdxsin1cos)0(a8.，；Caxaaxdxcos1sin)0(a9.；Cxxdxtansec210.；Cxxdxcotcsc211.；Cxxdxxsectansec12

7、.；Cxxdxxcsccotcsc13.；12arccosarcsin1CxCxxdx14.。12cotarctan1CxarcCxxdx注意：上述基本積分公式一定要牢記，因?yàn)槠渌瘮?shù)的不定積分經(jīng)運(yùn)算變形后，最終歸結(jié)為這些基本不定積分。另外，還須借助一些積分法則才能求出更多函數(shù)的不定積分。定理定理 3 3 若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)， 為兩個(gè)任意常數(shù)，則 )(xf)(xgI21,kk也存在原函數(shù)，且 （積)()(21xgkxfkdxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121分的線性性質(zhì)） 。證明證明：可由微分法直接驗(yàn)證，因?yàn)?11221122kfx dxkfx dxkfx dx

8、kfx dx= 1 122k fxk fx即 1 1221122k fxk fxdxkfx dxkfx dx 如果在式（5）中取 121,0,kk kfxf x則有如下結(jié)論。推論：推論： kf x dxkf x dx 上式說明被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)的前面。由定義即得。注：注：線性法則的一般形式為： 。 niniiiiidxxfkdxxfk11)()(例 1、 ,nnnnaxaxaxaxp1110)( 則。Cxaxaxnaxnadxxpnnnn2111021)(例 2、 。Cxxxdxxxdxxxarctan23)121(1132224例 3、 dxxxdxxxxxxxdx)sec(c

9、scsincossincossincos22222222 。Cxxtancot例 4、 Cxxdxxxxdxx)2cos214cos41(21)2sin4(sin21sin3cos 。Cxx)2cos4(cos81例 5、 dxdxdxxxxxxx2)10()10()21010()1010(22222 。Cxx22)1010(10ln2122例 6、 計(jì)算112213()(1)xxxdxx 解：由于 1117131223662213()(1)()xxxxxxxxxxx所以 11717122666613()(1)()xxxdxxxdxx dxx dxx 1376667136xxC例 7、 計(jì)算2

10、2(1)dxxx 解：由于221(1)xx，所以222222(1)(1)(1)dxxxdxxxxx221arctan1dxdxxCxxx 例 8、 計(jì)算2(10cot)xx dx222210cos(10cot)10cotln10sinxxxxx dxdxxdxdxx=22101 sinln10sinxxdxx=210cscln10 xxdxdx10cotln10 xxxC8.28.2 換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：掌握第一、二換元積分法與分部積分法教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：第一、二換元積分法；分部積分法基本要求：基本要求：熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法教學(xué)建

11、議：教學(xué)建議：(1) 布置足量的有關(guān)換元積分法與分部積分法的計(jì)算題(2) 總結(jié)分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環(huán)法教學(xué)過程：教學(xué)過程：一、第一類換元法一、第一類換元法 湊微分法：湊微分法：有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定積分cos2xdx，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子 2，使成為11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdx令2xu則上述右端積分111cos22cossin222xdxuduuC然后再代回原來的積分變量x，就求得原不定積分1cos2sin22xdxxC更一般的，若函數(shù) F x是函數(shù) f x的一個(gè)原函數(shù)， x是可微函數(shù)，

12、 并且復(fù)合運(yùn)算 Fx有意義，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 FxFxxfxx及不定積分的定義，有 fxx dxFxC由于 f u duF uC從而 uxfxx dxf u du （1）綜上所述，可得如下結(jié)論定理定理 8.48.4：（第一換元積分法第一換元積分法） 設(shè) f u是連續(xù)函數(shù)， F u是 f u的一個(gè)原函數(shù)。又若 ux連續(xù)可微，并且復(fù)合運(yùn)算 fx有意義，則 uxfxx dxf u duFxC （2）第一換元積分公式（2）說明如果一個(gè)不定積分 g x dx的被積表達(dá)式 g x dx能夠?qū)懗?fxx dx的形式，可通過變量代換 ux把被積表達(dá)式等同于 f u du，若不定積分 f u duF uC容

13、易求得，那么再將 ux代入 F u，便求出原不定積分 g x dxFxC由于第一換元積分法的基本手段就是將被積表達(dá)式 g x dx變?yōu)?fxx dxfxdx的形式。也就是把被積函數(shù) g x分解成兩個(gè)因子的乘積，其中一個(gè)因子與dx湊成某一函數(shù) x的微分，而另一因子是 x的函數(shù) fx，且經(jīng)過這樣的微分變形后被積表達(dá)式 fxdx變?yōu)槿菀追e分的形式，所以人們也經(jīng)常稱第一換元積分法為“湊微分法” 。湊微分法技巧性強(qiáng)，無一般規(guī)律可循，因而不易掌握，初學(xué)者只有多做練習(xí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用自如。湊微分法湊微分法 1 1： .)(1)()(1)(duufabaxdbaxfadxbaxf例、利用1,0dxd

14、axba bR aa，求下列積分 133113434343xdxxdx，令34ux有144333311 313433 44xdxu duuCuC再將34ux代入，有433134344xdxxC 222212( )01 ( )1 ( )dxdxxdaaxxaxaaa令xua，有222arcsin1dxduuCaxu再將xxa代入，有22arcsindxxCaax 22222( )13(1 ( ) )1 ( )xddxdxaxxaxaaaa令xua22211arctan1dxduuCaxaua再將xua代入，有221arctandxxCaxa如果運(yùn)算比較熟練，為了簡(jiǎn)化解題步驟，變量代換 ux可以不

15、寫出來，只需默記在頭腦中就可以了。湊微分法湊微分法 2 2、 . . 特別地, 有 duufkxdxfkdxxfxkkkk)(1)()(1)(1 和 .duufxdxfxdxxf)(21)()(21)(222 xdxfdxxxf2)(例、利用11, ,0,11x dxd axba bR aa ，求下列積分 222115757575 2xxdxxdx 22221115757571010 2xdxxC2215720XC 11121121( )xxxe dxedeCxx 23222arctan111dxdxdxxCxxxx 22401dxxxx解：（4）2222111111111dxddxxxxxx

16、x 22111211dxx1222111112dxx12221112 112CCxx 例、若被積函數(shù) ,xf xx 利用 xdxf x dxdxxx ，有如下公式 lnxdxf x dxdxxCxx 求下列積分 ln1ln lnlnlndxdxxCxxx sincos2tanln coscoscosxdxxdxdxxCxx cossin3cotln sinsinsinxdxxdxdxxCxx以上例都是直接利用“湊微分法”求不定積分。如果進(jìn)一步把“湊微分法”與不定積分的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合起來，就可以利用基本積分表來處理非常廣泛的初等函數(shù)的積分。例、將下列被積函數(shù)先作代數(shù)恒等變形再求其不定積分 2211

17、112dxdxaxaaxax11ln22d xad xaxaCaxaxaaxa 2221121111xxxxxxxdedxeedxdxeeee11111111xxxxxxxdeeedxdxeeee21ln 11xxeCe 22222sin1113111 sin1 sinsin1sinxdxdxdxdxxxxx2cotcot12cot2cot212xddxxxxx1cotarctan22xxC湊微分法湊微分法 3 3： ;)(sin)(sincos)(sinduufxdxfxdxxf ;)(cos)(cossin)(cosduufxdxfxdxxf .)()(sec)(2duufdtgxtgxf

18、xdxtgxf例、對(duì)于sinnxdx與cosnxdxnN形式的積分，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，可利用三角恒等式2211sin1 cos2cos1cos222xxxx來降低三角函數(shù)的冪，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，變正（余）弦函數(shù)的積分為余（正）弦函數(shù)的積分。 242111sin1 cos212cos2cos 224xdxxdxxx dx112 cos21cos442dxxdxx dx11sin2sin4428xxxxC1 31sin2sin44 28xxxC 322cos1 sincosxdxxxdx231cossinsinsinsin3xdxxdxxxC例、 對(duì)于sinsin, cossincoscosxxdxxxd

19、xxxdx和形式的積分，可利用三角函數(shù)的積化和差公式 11cos cos2cos 12cos 122xxdxxxdxsin 12sin 12121212xxC 12cos2 sin3sin 23sin 322xxdxxx dx111sin5sincoscos5255xdxxdxxxC例、根據(jù)2sin2sincos2tancos2222xxxxx 1 costancsccot2sinxxxxx 2111csctan22tancostan222xxdxdxdxxxln tanln csccot2xCxxC 22secln csccot22sin2d xxdxxxCxln sectanxxC例、 2

20、arcsinarcsinarcsin22111xxxdxdxdxxxxx22 arcsinarcsinarcsinxdxxC湊微分法湊微分法 4 4： .)()()(duufdeefdxeefxxxx例 9、 .2tedt湊微分法湊微分法 5 5 ： .)(ln)(ln)(lnduufxdxfxdxxf例 10、 .)ln21 (xxdx湊微分法湊微分法 6 6： ;)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2duufxdxfdxxxf . .duufdarctgxarctgxfdxxarctgxf)()(1)(2例 11、 dttarctgtxdxxarctgdxxxxarctgxt

21、21212)1 ( .cxarctgcarctgttgtarctgtdarc22)()(2其他湊法舉例其他湊法舉例: :例 12、 .ceeeeeeddxeeeexxxxxxxxxx)ln()(例 13、 22)ln()ln()ln(1lnxxxxddxxxx例 14 dxtgxxxtgxxdxtgxxtgxxxxdxsecsecsecsec)(secsecsec2 .ctgxxtgxxtgxxd|sec|lnsec)(sec例 15、 . dxxxxx5cossinsincos例 16、 . dxxxxxcossinsin5cos例 17、 21111111222242xxxxddxxxxd

22、xxx例 18、 .dxxxx2252以上例子大都采用了初等數(shù)學(xué)（代數(shù)或三角函數(shù)）中的運(yùn)算技巧將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后再進(jìn)行變量帶換。因此在作積分運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該重視有關(guān)初等數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。習(xí)題：習(xí)題：P188189 1（1）(24)；二、第二類換元法二、第二類換元法 從積分 出發(fā)，從兩個(gè)方向用湊微法計(jì)算，即tdt2cos = = tdtdxxtxsinsin112sin2tdt2cos,2sin4121)2cos1 (21cttdtt在式（）中，如果 2.1xx連續(xù)可微且定號(hào)，式中左端的不定積分 fxx dxF xC容易求得，并且 1xuux是的反函數(shù)，則式（2）右端的不定積分 1f

23、u duFxC。利用這個(gè)過程求不定積分的方法，稱為第二換元積分法。第二換元積分法可以確切的敘述如下。定理定理 8.58.5（第二換元積分法第二換元積分法）:設(shè) f x是連續(xù)函數(shù)， x是連續(xù)可微函數(shù)，且 x定號(hào)，復(fù)合運(yùn)算 ft有意義。設(shè) F t是 ftt的一個(gè)原函數(shù)，即 ftt dtF tC則 1txf x dxftt dt= 1FxC （3）其中 1xt是的反函數(shù)。證明：證明：有定理假設(shè) x定號(hào)， ，故函數(shù) t存在反函數(shù) 1u，又 dF tfttdt于是 111txdF tddtFxfttdxdtdxt 1tx= 1txftf x可見 1Fx是式（3）左端不定積分的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，所以式

24、（3）成立。第二換元積分法指出，求式（3）左端不定積分，作變量代換 xt，從而 ,f xftdxt dt，于是 f x dxftt dt若上式右端的不定積分 ftt dtF tC （4）容易求出，那么再代回原來的變量 1tx，便求出原不定積分 1f x dxFxC由于第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇滿足定理 8.5 條件的變換 xt，從而使式（4）的不定積分容易求出。那么如何選擇變換 xt呢？這往往與被積函數(shù)的形式有關(guān)。例如，若被積函數(shù)中有根式，一般選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q xt來去掉根式，從而使被積函數(shù)得到簡(jiǎn)化，不定積分容易求出。常用代換有所謂無理代換, 三角代換, 雙曲代換, 倒代換, 萬(wàn)能代換, Eu

25、ler 代換等.以下我們著重介紹三角代換和無理代換.1 1、三角代換、三角代換（1 1）正弦代換：）正弦代換：正弦代換簡(jiǎn)稱為“弦換”. 是針對(duì)型如的根式施22xa )0(a行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 令, 則)0( ,sinatax ,cos22taxa,costdtadx .arcsinaxt 例 19、計(jì)算220ax dxa解：令sin ,arcsin,22xxatttaxaa 則，且22coscos ,cos,axatat dxatdt從而 22ax dx=222cos . coscos1 cos22aat atdtatdtt dt =2221sin2sin cos2222aaa

26、ttCtttC由圖 2.1 知 22sincosxaxttaa所以22ax dx=2222arcsin22axaxaxCaaa=222arcsin22axxaxCa（2 2）正割代換：）正割代換：正割代換簡(jiǎn)稱為“割換”. 是針對(duì)型如 的根式施22ax )0(a行的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式 令 ,1sec22ttgt,sectax 有 變量還愿時(shí), 常用輔助三角形法.,22atgtax.sectgtdttxdx例 20、計(jì)算220dxaxa 解“令sec ,0sec22xatttxat 當(dāng)或時(shí)，存在反函數(shù)arcsinxta。這里僅討論02t 的情況，同法可討論2t 的情況。由

27、于02t 0t2，22tantan ,tan secxaatat dxattdt，從而 221tansectandxattdtataxsecln sectantdtttC由圖 2.2 知，22sectanxxattaa，所以2222lndxxxaCaaax22ln xxaC這里lnCCa（3 3）正切代換：）正切代換： 正切代換簡(jiǎn)稱為“切換”. 是針對(duì)型如的根式施行22xa )0(a的, 目的是去掉根號(hào). 方法是: 利用三角公式即, 1sec22ttgt,sec122tttg 令 . 此時(shí)有 變量還原時(shí), 常用所,atgtx tdtadx2sec,sec22taxa.axarctgt 謂輔助三

28、角形法. 例 21、計(jì)算22dxax（0a ）22secsec ,xaatat解：令tan ,22xatt 則tanxat存在反函數(shù)。且22secsec ,xaatat2secdxatdt，從而22dxax=21secsecln sectansecat dttdtttCat由圖 2.3 知 sect=22xaa tanxta所以22dxax=2222lnlnxaxCxxaCaa這里lnCCa?？偨Y(jié)例 2.192.21，有如下規(guī)律：（1）若被積函數(shù)含有22ax，一般令sinxat或cosxat（2）若被積函數(shù)含有22xa，一般令seccscxatxat或（3）若被積函數(shù)含有22xa，一般令tan

29、cotxatxat或 2 2、無理代換、無理代換若被積函數(shù)是的有理式時(shí), 設(shè)為的最小公倍數(shù),knnnxxx , , , 21n)1 (kini作代換, 有. 可化被積函數(shù)為 的有理函數(shù).nxt dtntdxtxnn1 ,t例 22、計(jì)算12xxdx解：為了去掉被積函數(shù)的根式，令12tx，即作變量代換211 ,02xtt則dxtdt，從而12xxdx=24211122tt tdtt dtt dt=531253ttC =5322111212106xxC 例 23、tdtdtttdttxxdxxt16)1 (6162326 .cxxx6361ln216若被積函數(shù)中只有一種根式或可試作代換或nbax

30、,necxbaxnbaxt. 從中解出來. necxbaxtx 例 24、 tdtttxdxxdxxxxt2) 1(21)( 121121222232 .cxxcttdttt2322523524) 1(31) 1(5135)(本題還可用割換計(jì)算, 但較繁.3 3、雙曲代換、雙曲代換利用雙曲函數(shù)恒等式 , 令 , 可去掉122xshxchashtx 型如 的根式. . 化簡(jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式, 如: 22xa achtdtdx .22 ),12(21 ),12(2122shtchttshtchtshtchtch).1ln(21xxxsh（參閱復(fù)旦大學(xué) (陳傳璋等)編, 數(shù)學(xué)分析, 上冊(cè)

31、 P24.）例 25、 tdtchaachtdtachtdxxaashtx2222 ctatshadttcha224) 12(2222 .cxaxaxax)ln(2222222本題可用切換計(jì)算,但歸結(jié)為積分, 該積分計(jì)算較繁. 參閱后面習(xí)題課例 3.tdt3sec例 26、 (可用切換計(jì)算過該題. 現(xiàn)用曲換計(jì)算 ).22xdx解： 122ln 2222xxctdtdtchtchtIshtxc .2ln .)2ln( 2cccxx例 27、 . (曾用割換計(jì)算過該題. 現(xiàn)用曲換計(jì)算 ).22axdx解 caxaxctdtdtashtashtIachtx 1 ln22 . |ln .| ln 22

32、acccaxx4 4、倒代換、倒代換當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且分子分母均為“因式”時(shí), 可試用倒代換.1 ,12dttdxtx例 28、 01224222421)(212tuxuuuuduxxxxdxxxdx .cxxcxcttdttttdtt|111)1 (121111121221221225 5、萬(wàn)能代換、萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參1P261). 令，2xtgt 就有 ，22122sec222cos2sin2sinttxxtgxxx ，,11cos22ttx212tttgx ,122tdtdx.2arctgtx 例 29、 .xdxcos1解法一： ( 用萬(wàn)能代換 )

33、 .cxtgctdtdttttIxtgt2111122222解法二： ( 用初等化簡(jiǎn) ) .cxtgxdxxdxI2)2(2sec2cos2122解法三： ( 用初等化簡(jiǎn), 并湊微 ) xxdxdxdxxxI222sinsincsccos1cos1 .2cscsin1cxtgcctgxxcxctgx 例 30、 .cossin1d解： =cttdtdttttttIxtgt|1|ln11211121122222 .cxtg|12|ln代換法是一種很靈活的方法. 習(xí)題：習(xí)題：1P189 1(25)(27)(28)(30)三、分部積分法三、分部積分法設(shè)( )u x與( )v x均為x的連續(xù)可微函數(shù)。

34、于是，由函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，有 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x或 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x再由不定積分的定義及線性性質(zhì)，有 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx ( ) ( )( ) ( )u x v xdxu x v x dx( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x dx即 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx （5）或 ( )( )( )

35、( )( )( )u x dv xu x v xv x du x （6） 公式（5）或公式（6）稱為不定積分的分部積分公式。一般地說，利用分部積分公式求不定積分就是追求被積函數(shù)形式的轉(zhuǎn)變，把比較難求甚至無法求出的不定積分( ) ( )u x v x dx轉(zhuǎn)變成容易求的不定積分( ) ( )u x v x dx，起到化繁為簡(jiǎn)的作用。對(duì)于給定的不定積分( )f x dx作分部積分運(yùn)算，通常要把被積函數(shù)( )f x分解為兩個(gè)因子的乘積，這會(huì)有多種選擇，對(duì)兩個(gè)因子中哪一個(gè)選作( )u x也會(huì)有多種選擇。選擇不同，效果不一樣的。例如，在積分sinxxdx中，若選擇( )sinu xx，( )v xx，則

36、 222sinsinsincos222xxxxxdxxdxxdx并沒有達(dá)到簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的。若選擇( )u xx，( )sinv xx，則 sincoscoscosxxdxxdxxxx dxcoscoscossinxxxdxxxxC 由此可見，( )u x與 v x的選擇對(duì)于初學(xué)者來講，只有認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，才能熟練地運(yùn)用分部積分技巧。一般來說，在使用分部積分法求不定積分時(shí)，若被積函數(shù)是冪函數(shù)nx與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇( )nu xx；若被積函數(shù)是冪函數(shù)nx與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇( )nv xx。1 1、 冪冪 X X 型函數(shù)的積分型函數(shù)的積分分部積分追求的目標(biāo)之一

37、是: 對(duì)被積函數(shù)兩因子之一爭(zhēng)取求導(dǎo), 以使該因子有較大簡(jiǎn)化, 特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù). 代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替( 一般會(huì)變繁 ), 但總體上應(yīng)使積分簡(jiǎn)化或能直接積出. 對(duì)“冪”X型的積分, 使用分部積分法可使“冪”降次, 或?qū)Α啊鼻髮?dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).X例 31、計(jì)算下列不定積分（1）2222xxxxx e dxx dex eexdx 2222()xxxxx exdxx exee dx 2(22)xexxC（2） 2111sin1 cos2cos2222xxdxxx dxxdxxxdx 221111111sin2sin2sin24224422xxdxxxxxdx 211sin2co

38、s2448xxxxC（3） 2ln111lnlnlnxdxxdxdxxxxx 211ln(ln1)dxxxCxxx （4）arcsinarcsinarcsinxdxxxxdx 222111arcsinarcsin211dxxxxdxxxxx 12221arcsin2(1)arcsin12xxxCxxxC（5） 23(16)arctanarctan(2)xxdxxd xx 33222arctan1xxxxxdxx 322arctan21xxxxxdxx 32212arctanln 12xxxxxC2 2、建立所求積分的方程求積分、建立所求積分的方程求積分分部積分追求的另一個(gè)目標(biāo)是: 對(duì)被積函數(shù)兩

39、因子之一求導(dǎo), 進(jìn)行分部積分若干次后, 使原積分重新出現(xiàn), 且積分前的符號(hào)不為 1. 于是得到關(guān)于原積分的一個(gè)方程. 從該方程中解出原積分來. 例 32、 .sin xdxex例 33、 求 和 bxdxeIaxcos1). 0 ( ,sin2abxdxeIax解： 解得 .sin1,cos11221IabbxeaIIabbxeaIaxax.cossin,cossin222221cebabxbbxaIcebabxabxbIaxax例 34、 ). 0 ( ,22adxxa解： =dxxaxxxaxI2222 =dxxaadxxaxaxax222222222 （參閱例 41）,)ln(12222

40、2cxaxaIxax解得 .)ln(2222222cxaxaxaxI例 35、 =xdxxxxxdxdx22sinsincossincoscos ，xdxxxx2cossincos解得 .cxxxdx2sin412cos2 例 36、 xtgxdxtgxxtgxxdtgxxdxxxdxsecsecsecsecsecsec23 =xdxxdxxtgxxdxxxtgxsecsecsecsec) 1(secsec32 =,xdxtgxxxtgx3sec|sec|lnsec解得 .xdx3secctgxxxtgx|sec|ln21sec21分部積分法也常用來產(chǎn)生循環(huán)現(xiàn)象，然后經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算求出不定積分。

41、例 37、計(jì)算下列不定積分（1） 22xa dx。設(shè)22Ixa dx，則222222Ixa dxx xaxdxa2222xx xaxdxxa2222222ax xaxadxxa 22222dxx xaIaxa再由例 21，有22xa dx=22ln xxaC故原積分 22222ln22xaIxaxxaC 這里2CC（2）計(jì)算sinxexdx和cosxexdx解：sinxexdx=1sinxxde=1sincosxxexexdx11sincosxxexxde 21sincossinxxxexexex dx =1sinxex222cossinxxexexdx移項(xiàng)，整理，有 sinxexdx=22s

42、incosxexxC同理可得 cosxexdx=22sincosxexxC在含有自然數(shù)n的不定積分中，常用分部積分法來建立求不定積分的遞推公式。例 38、 1ln(nnIx dxnN N）解：lnlnlnnnnnIx dxxxxdx 111lnlnlnlnnnnnxxx nxdxxxnxdxx =1lnnnxxnI即 1lnnnnIxxnI這就是遞推公式。例如3n 時(shí)有333221lnln3ln3ln2x dxxxIxxxxI=321ln3ln6lnxxxxxxxdxx32ln3ln6 ln6xxxxxxxC 222ndxxa （nN N，0a )解：設(shè) nI 22ndxxa ，則22221n

43、nnxIxdxaxa=122222nnxxxndxxaxa= 2122222212nnnxandxxaxaxa212222nnnxnIna Ixa從而 12221212nnnxInInaxa （7）特別當(dāng)1n 時(shí)，有1221arctandxxICxaaa于是利用遞推公式（2.7） ，有21222222111arctan22xxxIICaxaaxaaa=212a22xxa+312aarctanxa+C這里C=32Ca分部積分法與換元積分法有時(shí)在同一題中配合使用效果更佳。例 39、計(jì)算222arcsin11xxdxxx解：222arcsin11xxdxxx=222arcsinarcsin1xxdx

44、dxxxx= 2arcsinarcsincossinsincosuxdxuduxuuu作變量代換=2211arcsincotarcsincotcot22xuduxuuudu=21arcsin2xcotln sinuuuC由圖 8.2.4 知 21cotxux所以222arcsin11xxdxxx21arcsin2x21arcsinlnxxxCx通過本節(jié)的討論，我們還應(yīng)在基本積分表中再補(bǔ)充如下公式： 基本積分表（補(bǔ)充）基本積分表（補(bǔ)充） 2215secln sectan16cscln csccot17tanln cos18cotln sin1119arctanxdxxxCxdxxxCxdxxCx

45、dxxCxdxCaxaa 22222222222222222220arcsin21arcsin2222ln23ln22dxxCaaxxaxax dxaxCadxxxaCxaxaxa dxxaxxaC綜上所述，我們已經(jīng)對(duì)求不定積分的基本方法進(jìn)行了全面的討論。由不定積分的定義知，求不定積分的運(yùn)算是微分法的逆運(yùn)算。而第一、第二換元積分法對(duì)應(yīng)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，分部積分法則是基于乘積函數(shù)的求導(dǎo)法則推導(dǎo)出來的。求不定積分的基本思想是：采用各種方法將被積函數(shù)化為基本積分表中的被積函數(shù)的形式或它們的線性組合。然后利用基本積分表和線性性質(zhì)求出不定積分。顯然，掌握較多的不定積分公式會(huì)給求不定積分帶來方便，

46、為此人們把一些常用的不定積分公式匯集起來，做成基本積分表。同學(xué)們可以利用這個(gè)表進(jìn)行運(yùn)算。但是無論容量多么大的積分表也不能把所有的不定積分都羅列出來。所以，上面介紹的求不定積分的各種方法都是最基本的，作為初學(xué)者必須掌握。另外，把不定積分法與微分法相比較，求積分要比求微分困難的多，復(fù)雜的多，甚至于有些被積函數(shù)很簡(jiǎn)單，但他們的不定積分卻無法積出。例如：2xedx 2sinsinlnxdxdxxdxxx，等等這說明在初等函數(shù)類中，不定積分的運(yùn)算是不封閉的，即初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)。今后把被積函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示的積分稱為積得出的，否則，稱為積不出的。結(jié)論：結(jié)論：當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)，如

47、，這種類型的積分，都可dxexxnxdxxnsinxdxxncos用分部積法解決，這時(shí)，設(shè)，分別為，；同樣，nxu dvdxexxdxsinxdxcosxdxxnln，這種類型的積分，也可用分部積分法解決，這時(shí)，設(shè)xdxxnarctanxdxxnarcsin，分別為，。 ， dxxdvnuxlnxarctanxarcsindxbaxekx)sin(dxbaxekx)cos(（， ，為常數(shù)）這種類型的積分如例 15 那樣，也可以用分部積分法來解決。abk8.38.3 幾類可積的初等函數(shù)幾類可積的初等函數(shù)教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：會(huì)計(jì)算有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：有理函數(shù)的不定

48、積分；三角函數(shù)有理式的不定積分；某些無理根式的不定積分基本要求：基本要求：(1)有理函數(shù)的不定積分；三角函數(shù)有理式的不定積分；某些無理根式的不定積分(2) 較高要求：利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分教學(xué)建議：教學(xué)建議：(1) 適當(dāng)布置有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)有理式的不定積分，某些無理根式的不定積分的習(xí)題 (2) 本節(jié)的難點(diǎn)是利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分，可要求較好學(xué)生掌握教學(xué)過程：教學(xué)過程：8.3.18.3.1 有理函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分法稱形如 101( )nnnP xa xa xa （3.1）的函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)。其中,0,1,kaR kn，用deg( )P x表示多項(xiàng)式

49、( )P x的關(guān)于變量x的次數(shù)。設(shè)( )P x與( )Q x是任意兩個(gè)互質(zhì)的多項(xiàng)式函數(shù)，稱形如 ( )( )P xQ x ( )0Q x （3.2）的函數(shù)為有理函數(shù)，記作( )R x ( )( )P xQ x，當(dāng)deg( )deg( )P xQ x時(shí)，稱( )R x為有理真分式，當(dāng)deg( )deg( )P xQ x時(shí)，稱( )R x為有理假分式。顯然任何一個(gè)有理假分式( )R x ( )( )P xQ x，用多項(xiàng)式函數(shù)( )P x除以多項(xiàng)式函數(shù)( )Q x，總能將( )R x表示成為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)與一個(gè)有理真分式之和。即 ( )R x ( )( )( )( )( )P xS xP xQ xQ

50、 x其中( )P x與( )S x均為多項(xiàng)式函數(shù)，且deg ( )deg( )S xQ x。例如3221111xxxxx所以討論有理函數(shù)的積分，由于多項(xiàng)式函數(shù)是可積的，故只須討論有理真分式是否可積。我們首先考慮如下最簡(jiǎn)分式（1） Axa （2） ,2,3,()nAnxa（3） 2AxBxpxq （4） 2,2,3,()nAxBnxpxq的積分方法。其中, , ,A B p q皆為實(shí)常數(shù)，二次三項(xiàng)式2xpxq不能分解為實(shí)一次多項(xiàng)式之積，即240pq。顯然（1） lnAdxAxaCxa（2） 11()1()nnAAdxCxan xa而（3） 222()()22()()24pApA xBAxBdxd

51、xppxpxqxq設(shè)2pux，24paq，有 2AxBdxxpxq2222()2uduApduABuaua 221ln()()arctan22AApuuaBCaa= 22222ln()arctan244ABApxpxpxqCqpqp又2()nAxBdxxpxq222()1()2()2()nA xpxqApBdxxpxqxpxq 21221()()2 12()()24nnAApdxxpxqBnppxq （3.3）在式（3.3）右端積分中，令2pux，24paq，有22()()24ndxppxq22()nnduIua根據(jù)式（2.7） ，積分nI有如下遞推公式 nI=1222121232(1) ()

52、2(1)nnunIanuaan，2,3,n （3.4）且 1221arctanduuICuaaa從1I出發(fā)，重復(fù)應(yīng)用nI的遞推公式（3.4） ，再代回原變量2pux及24paq，即可求出類型（4）的最簡(jiǎn)分式的不定積分。關(guān)于有理真分式的分解，我們有如下定理。定理定理 3.13.1 設(shè)( )R x ( )( )P xQ x是一個(gè)有理真分式，且分母多項(xiàng)式函數(shù) 1122111( )()() ()()strlrlsttQ xxaxaxp xqxp xq其中111,;,sttaap qp qR，240kkpq，1,2,kt，則( )R x有下列最簡(jiǎn)分式分解式 ( )R x=11111111()()ssss

53、rrrrssAAAAxaxaxaxa 111111111221111()lllB xCB xCxp xqxp xq 1122()tttttttlllttttB xCB xCxp xqxp xq其中111111111111111,;,;,;,;,sttssttttrrllllAAAABCBCBCBCR。定理 3.1 說明任何有理真分式一定可以分解為若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，而上面的討論展示了種類型的最簡(jiǎn)分式的可積性。從而可知有理函數(shù)一定是可積的。例 3.1、把函數(shù) 21322xxxxx分解為最簡(jiǎn)分式之和，并求其不定積分。解：由定理 3.1 知，給定函數(shù)的最簡(jiǎn)分式分解式應(yīng)為 21322xxxxx=213

54、22ABCxDxxxx消去分母，有 22(3)(22)(1)(22)()(1)(3)xA xxxB xxxCxD xx比較上式兩端同次冪系數(shù)，有586AAAA2BBB23CCC23DDD0010解此代數(shù)方程，有131,020205ABCD 于是 21322xxxxx=211311201203522xxxxx從而21322xdxxxxx2131201203522dxdxxdxxxxx= 22131(22)ln1ln320201022d xxxxxx 21(1)5(1)1d xx=3221(1)(3)ln20(22)xxxx+ 1arctan(1)5xC例 3.2、計(jì)算22211xdxxx。解：設(shè)

55、 22222211111xABxCDxExxxxx消去分母，有 22221111xA xBxCxxDxEx （3.6）在式（3.6）中令1x ，有24A ，即12A ；令xi，有2()(1)iDiE i=DE iED，于是 20DEDE 1DE將1,12ADE 代入式（3.6） ，并令0 x ，有 1101,22CC 再令1x ，有11124() 44,222BB 于是22211xdxxx=22211112121(1)dxxxdxdxxxx 221121ln124121xdxxdxxx 22122(1)xdxx +22(1)dxx = 22211111lnarctan4(1)221xxxx 1

56、1arctan212xxCx（利用公式 3.4）= 222111ln4(1)2(1)xxCxx從例 3.1 和例 3.2 可見，用求有理真分式的最簡(jiǎn)分式分解式的方法求其積分往往很麻煩，況且有些有理函數(shù)的分母多項(xiàng)式根本就無法分解因式，所以，當(dāng)我們求有理函數(shù)的積分時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮是否有其它更簡(jiǎn)便的解法。例 3.3、計(jì)算101dxx x。解：在實(shí)數(shù)域內(nèi)，要將101x分解因式，是相當(dāng)困難的，故此題不宜用求最簡(jiǎn)分式分解式的方法來計(jì)算，然而 101dxx x=91010101010111()1011xdxdxxxxx 10101ln101xCx8.3.28.3.2 三角有理函數(shù)的積分法三角有理函數(shù)的積分

57、法 稱由函數(shù)sin ,cosxx與常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而成的代數(shù)有理式為三角有理函數(shù)，記作(sin ,cos )Rxx。由于tan ,cot ,secxxx與cscx都是由sin ,cosxx與常數(shù)所構(gòu)成，所以六個(gè)三角函數(shù)有理式都可化為(sin ,cos )Rxx的形式。關(guān)于三角有理函數(shù)的積分，我們?cè)谇懊嬉堰M(jìn)行了一些討論，現(xiàn)總結(jié)一下，得到以下規(guī)律：（）sincosRxxdx，令sinux； cossinRxxdx，令cosux； 2tansecRxxdx，令tanux。例 3.4、 （1）334sincos5sincossinxxdxxxdx 322357sin(1 sin)sin(sin2sinsin)xxdx