等差數(shù)列前n項(xiàng)和優(yōu)質(zhì)課

1、課題課題: :等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和項(xiàng)和授課教師授課教師: : 楊玉波楊玉波1(1)naand等差數(shù)列的定義：等差數(shù)列的定義：)2()(*1*1nNndaaNndaannnn且或npqmnpqaaam若，則a 如圖，建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的如圖，建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為數(shù)目分別為1，2，3，10 . 問(wèn)共有多少根圓問(wèn)共有多少根圓木？木？如何用簡(jiǎn)便的方法來(lái)計(jì)算如何用簡(jiǎn)便的方法來(lái)計(jì)算 創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景高斯 Gauss.C.F （17771855）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家1+2+3+ +98+99+100= ？10150 (1+100)=5050高斯求和法高斯求和法探究發(fā)

2、現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題問(wèn)題 1 1：若把問(wèn)題變成求：若把問(wèn)題變成求：1+2+3+4+ +99=？可以用可以用哪些方法求出來(lái)呢？哪些方法求出來(lái)呢？ 問(wèn)題問(wèn)題2:2:求和求和:1+2+3+4+n=?記記:Sn= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nSn = n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12(1)nSn n(1)2nn nS問(wèn)題問(wèn)題3 3：現(xiàn)在把問(wèn)題推廣到更一般的情形：現(xiàn)在把問(wèn)題推廣到更一般的情形： 等等差數(shù)列差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，公差為，公差為d，如何求等差數(shù)，如何求等差數(shù)列的前列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閍1+an=a2+a

3、n-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 兩式左右分別相加，得兩式左右分別相加，得倒序相加倒序相加Sn=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)變式：能否用變式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1，公差為，公差為d d，項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)為數(shù)為n n，第，第n n

4、項(xiàng)為項(xiàng)為a an n，前，前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，請(qǐng)?zhí)?，?qǐng)?zhí)顚懴卤恚簩懴卤恚?a1dnan sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5 應(yīng)用公式時(shí)，要根據(jù)題目的具體條件，靈應(yīng)用公式時(shí)，要根據(jù)題目的具體條件，靈活選取這兩個(gè)公式活選取這兩個(gè)公式 。例1: .120,120, 11201naa則解：由題意知，這個(gè)V型架自下而上是個(gè)由120層的鉛筆構(gòu)成的等差數(shù)列，記為an，答：V型架上共放著7260支鉛筆。.72602)1201 (120120 S如圖，一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放1支

5、，最上面一層放120支. 這個(gè)V形架上共放了多少支鉛筆？舉例應(yīng)用例例2：等差數(shù)列等差數(shù)列1010，6 6，2 2，2 2， 前前9 9項(xiàng)的和多少？項(xiàng)的和多少？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為解：設(shè)題中的等差數(shù)列為 an 則則 a1=10，998( 10)94542S 能用公式（能用公式（1）計(jì)算嗎？）計(jì)算嗎？d=4,n=9 變式：變式：等差數(shù)列等差數(shù)列10，6，2，2，前多少項(xiàng)和是前多少項(xiàng)和是54 ？ 解解: 設(shè)題中的等差數(shù)列為設(shè)題中的等差數(shù)列為an, 得得 n2-6n-27=0 故故 n1=9, n2=-3(舍去）。舍去）。544 2)1(10 nnnd= -4 設(shè)設(shè) Sn= 54,則則 a1= -1

6、0, 因此，等差數(shù)列因此，等差數(shù)列 10，6，2，2 前前9項(xiàng)和是項(xiàng)和是54。1 1、姚明剛進(jìn)、姚明剛進(jìn)NBANBA一周訓(xùn)練罰球的一周訓(xùn)練罰球的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)：第一天：第一天：600， 第二天：第二天：650，第三天：第三天：700，第四天：，第四天：750，第五天：第五天：800，第六天：，第六天：850，第七天：第七天：900.求：他一周訓(xùn)練罰球的總個(gè)數(shù)？一周訓(xùn)練罰球的總個(gè)數(shù)？解：由題知罰球的個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列記為為an ：a1=600,a7=900鞏固練習(xí) 1777()52502aaS所以姚明姚明一周訓(xùn)練罰球的總個(gè)數(shù)為一周訓(xùn)練罰球的總個(gè)數(shù)為5250個(gè)個(gè)(22 )(1).2nnnSn n解：2

7、. 求正整數(shù)列中前求正整數(shù)列中前n個(gè)偶數(shù)的和個(gè)偶數(shù)的和.3. 等差數(shù)列等差數(shù)列 5,4,3,2, 前多少項(xiàng)和是前多少項(xiàng)和是 30？解：解： 記等差數(shù)列為記等差數(shù)列為an a1=5 , d = -1 , Sn = -30)(4 1530)1(2)1(5舍舍或或 nnnnnSn課堂小結(jié)等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1在兩個(gè)求和公式中,各有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素.(運(yùn)用了運(yùn)用了 方程思想）方程思想）公式的推證用的是倒序相加法倒序相加法作業(yè)布置必做題：課本118頁(yè)，習(xí)題3.3第 、 、選作題:課本119頁(yè),習(xí)題3.3第7題課外探索:1等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)有什么關(guān)系 2等差數(shù)列-10,-6,-2,2,的前n項(xiàng)的和最小 南北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在張丘建算經(jīng)里給出了幾個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題。例如：“今有女子不善織布，逐日所織的