人教版新課程數(shù)學(xué)高一（上）第二章《函數(shù)》ξ2.4 反函數(shù)

1、人教版新課程數(shù)學(xué)高一（上）第二章函數(shù)2.4 反函數(shù)（第一課時(shí)）一、設(shè)計(jì)思想以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”這一教學(xué)原則，注重過程教學(xué)、問題教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過程二、教材分析反函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的相互關(guān)系的一項(xiàng)重要內(nèi)容,學(xué)生掌握了反函數(shù)的知識(shí),有助于進(jìn)一步了解函數(shù)的概念,獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識(shí),并為以后學(xué)習(xí)互為反函數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)與反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).某函數(shù)的反函數(shù)，本身也是一個(gè)函數(shù)（從映射的角度可知,函數(shù)y=f(x)是定義域集合a到值域c的映射,它的反函數(shù)y=f-1（x）是集合c到集合a的映射），反函數(shù)的概念的建立，對(duì)研究原函數(shù)的性質(zhì)有著重要作用。三、學(xué)情分析通過前一階段的教學(xué)，學(xué)生

2、對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)已有了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主要體現(xiàn)在三個(gè)層面：知識(shí)層面：學(xué)生在已初步掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)。能力層面：學(xué)生在初中已經(jīng)掌握了用描點(diǎn)法描繪函數(shù)圖象的方法，通過第一章集合與函數(shù)的概念后初步具備了數(shù)形結(jié)合的思想。情感層面：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但探究問題的能力以及合作交流等方面發(fā)展不夠均衡. 四、教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)目標(biāo)：理解反函數(shù)的定義，知道函數(shù)的反函數(shù)的表示方法；會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)。（2）能力目標(biāo)：通過本節(jié)課的教學(xué)，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，借助比較原函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系，從中滲透“對(duì)比”、“由特殊到一般”、“化歸”等數(shù)學(xué)思想。（3）情感目標(biāo)：提高學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)分

3、析解決問題的意識(shí)。 五、重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn)是反函數(shù)的求法，難點(diǎn)是反函數(shù)的概念。六、教學(xué)策略教學(xué)方法：開放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動(dòng)式討論、反饋式評(píng)價(jià)、精講精練 學(xué)習(xí)方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié)。七、課前準(zhǔn)備投影儀、多媒體計(jì)算機(jī)等.八、教學(xué)過程：教 學(xué) 內(nèi) 容師生活動(dòng)教學(xué)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景 引入新課1 函數(shù)的概念？2 請(qǐng)回答下列問題：?jiǎn)栴}1： 回顧舊知提出問題學(xué)生回答教師展示復(fù)習(xí)函數(shù)的概念問題2：我們知道，物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移s是時(shí)間t的函數(shù)，即s=vt,其中速度v是常量。（1） 那么此函數(shù)的定義域和值域是什么呢？反過來，也可以由位移s和速度v（常量）確定物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)

4、間，即，這時(shí)，s與t的地位發(fā)生了變化：s是自變量，t是因變量。（2） 那么我們稱誰是誰的函數(shù)呢？結(jié)論：這函數(shù)中，每一對(duì)這樣的兩個(gè)函數(shù)之間都存在著必然的聯(lián)系： 它們的對(duì)應(yīng)法則是互逆的； 它們的定義域和值域相反：即前者的值域是后者的定義域，而前者的定義域是后者的值域.我們稱這樣的每一對(duì)函數(shù)為“互為反函數(shù)”. 那么什么是反函數(shù)呢？學(xué)生思考 學(xué)生回答學(xué)生回答從函數(shù)三要素方面回答師生共同分析。師生一起總結(jié)。x是 y的函數(shù)，這對(duì)學(xué)生來說是陌生的。從學(xué)生熟知物理實(shí)例入手，以運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)分析函數(shù)概念，滲透反函數(shù)思想。再次點(diǎn)明反函數(shù)概念。分析兩個(gè)函數(shù)關(guān)系揭示反函數(shù)本質(zhì)特征。二啟發(fā)誘導(dǎo) 歸納總結(jié)一反函數(shù)的概念1.

5、定義：一般地，設(shè)函數(shù)的值域是c，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=(y)。 若對(duì)于y在c中的任何一個(gè)值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y) ()，叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作.在函數(shù)中，y是自變量，x表示函數(shù)。但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)中字母x，y，把它改寫成。2正確理解反函數(shù)（1）什么樣的兩個(gè)函數(shù)才是反函數(shù)？ 對(duì)應(yīng)法則恰好相反，定義域和值域恰好互換（對(duì)調(diào)）。（2）的反函數(shù)是誰？注意符號(hào)含義及讀法？應(yīng)該是.它們互為反函數(shù)，事實(shí)上反函數(shù)是相互的。（3）反函數(shù)也

6、是函數(shù)，函數(shù)本質(zhì)上是映射。那么在映射觀點(diǎn)下，反函數(shù)是什么？從映射的定義可知，函數(shù)是定義域a到值域c的映射，而它的反函數(shù)是集合c到集合a的映射，因此，函數(shù)的定義域正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域正好是它的反函數(shù)的定義域（如下表）：函數(shù)反函數(shù)解析式定義域ac值 域ca（4）反函數(shù)定義給出了反函數(shù)的求法。教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué)生在老師的啟發(fā)誘導(dǎo)下通過觀察、對(duì)比探索嘗試抽象出反函數(shù)的定義老師板書媒體顯示提出問題師生探索學(xué)生填表師生活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生探索問題歸納總結(jié)問題的能力加深理解領(lǐng)會(huì)實(shí)質(zhì)再次明確關(guān)系教學(xué)意圖二求反函數(shù)例1（課本第62頁 例1）求下列函數(shù)的反函數(shù)：； ； .解：由解得函數(shù)的反函數(shù)是。由解得x=,

7、函數(shù)的反函數(shù)是【歸納總結(jié)】：求反函數(shù)的一般步驟。 一求值域：求原函數(shù)的值域二反解：由原方程得 三對(duì)換：對(duì)換x，y得，并注明定義域。 再解例1：解：x0，原函數(shù)的值域y1.由y=+1解得x=(y-1)2, 函數(shù)的反函數(shù)是x=(y-1)2 (x1);x1 =2+2，解得 。函數(shù)的反函數(shù)是 教 學(xué) 內(nèi) 容展示例題學(xué)生回答嘗試歸納注重總結(jié)師生同做老師板書規(guī)范步驟學(xué)生板演師生活動(dòng)學(xué)會(huì)求反函數(shù)，形成能力。規(guī)范方法和書寫步驟。方法從實(shí)踐中來指導(dǎo)實(shí)踐。特別注意：反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域！故先求值域。先求值域。掌握分段函數(shù)的反函數(shù)的求法！分段求得反函數(shù)再綜合教學(xué)意圖【解題小結(jié)】：共同歸納幻燈顯示師生同解。

8、引導(dǎo)學(xué)生弄清題目類型。提出問題強(qiáng)化定義及時(shí)總結(jié)，形成方法定義域和值域都應(yīng)由原來的函數(shù)確定鞏固反函數(shù)的理解三課堂練習(xí) 參見學(xué)案練習(xí)（a）、（b）組b組供部分同學(xué)選作四課堂小結(jié)1 反函數(shù)定義；2 反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系；3 求反函數(shù)的一般步驟。五布置作業(yè) 教科書p64 習(xí)題 2.41、；2、 4鞏固所學(xué)使知識(shí)系統(tǒng)化，強(qiáng)化要點(diǎn)板書設(shè)計(jì)2.4 反函數(shù)（1）一反函數(shù)的概念1定義：2理解： 二求反函數(shù) 1例題： 2求反函數(shù)步驟：教后記這是筆者參加市教學(xué)能手評(píng)選的一節(jié)公開課，參加聽課的的學(xué)生基礎(chǔ)一般，在課堂提問中，授課人能教好的啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生，從錯(cuò)誤的思考中過渡到正確的認(rèn)識(shí)上來，具有較高的課堂應(yīng)變組織與駕御能

9、力，突出體現(xiàn)以學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)、思維為主線的教學(xué)方法。課后，該節(jié)課被評(píng)為參賽18位選手中的最高分，授課人也被評(píng)為“市教學(xué)能手”。十、作業(yè)設(shè)計(jì)2.4.1反函數(shù)的概念及求法學(xué)案【學(xué)習(xí)要求】：理解反函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)，掌握互為反函數(shù)的三要素的之間的關(guān)系。【重點(diǎn)難點(diǎn)】：重點(diǎn)為反函數(shù)的求法；難點(diǎn)為反函數(shù)概念的理解?！净?dòng)課堂】：一、 反函數(shù)的概念：1 定義：一般地，設(shè)函數(shù)的值域是c，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y 的關(guān)系，用 表示出，得到 。 若對(duì)于y在c中的任何一個(gè)值，通過 ，x在a中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(y)就表示 ，這樣的函數(shù)x=(y) ()，叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作 . 習(xí)慣

10、上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào) 中字母x，y，把它改寫成 。2 理解：（1）反函數(shù)是函數(shù)嗎？為什么？ （2）所有的函數(shù)都有反函數(shù)嗎？什么樣的兩個(gè)函數(shù)才是反函數(shù)？ （3）的反函數(shù)是誰？注意符號(hào)含義及讀法？（4）函數(shù)本質(zhì)上是映射。那么在映射觀點(diǎn)下，反函數(shù)是什么？函 數(shù)反函數(shù)解析式定義域a值 域c從映射的定義可知，函數(shù)是定義域a到值域c的映射，而它的反函數(shù)是集合 到集合 的映射，因此，函數(shù)的定義域正好是它的反函數(shù)的 ；函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的 . （如右表）：（5）反函數(shù)定義給出了反函數(shù)的求法。二、求反函數(shù)：1 例題精講：例1.求下列函數(shù)的反函數(shù)略 . 解： 解： 總結(jié)歸

11、納：求反函數(shù)的步驟： （1）（2）（3）例2求函數(shù)的反函數(shù)。解：總結(jié)歸納：求分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)： .例3已知函數(shù)f（x）=x2-1 （x-2），求f -1（4）的值。解：思考：若函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)，且f（a）=b，則f -1（b）=？三課堂練習(xí)： （a）1函數(shù)y=-x2+1（x0）的反函數(shù)是（ )a b. c. d. 2.如下圖表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是（ ） a b c d3函數(shù)f（x）=x2（x0）的反函數(shù)為 .4函數(shù)y=）的反函數(shù)是 .（b）1若函數(shù)，則它的反函數(shù)是（ ）ay=x2+2 （xr） b. y=x2+2 （x0）c. y=x2+2 （x0） d. y= -x2+

12、2 （x0） 2設(shè)函數(shù)f（x）=，則f -1（2）=（ ）a b. c. d.3.已知函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f -1（x），則 .4已知函數(shù).（1）求反函數(shù) ；（2）試研究該函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性?！締栴}研討】【研究性課題】：哪些函數(shù)的反函數(shù)還是它本身？參考書目：（1）課本p62-63頁“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”; (2)反函數(shù)教學(xué)的研究性設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)2002年第1期。等【拓展視野】數(shù)學(xué)閱讀材料 反函數(shù)中應(yīng)注意的幾種關(guān)系反函數(shù)與其圖象之間的概念關(guān)系是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，也是學(xué)生容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn).本文就此問題談?wù)剮追N應(yīng)該澄清的關(guān)系，供師生們作以參考。一、 反函數(shù)和原函數(shù)與它

13、們圖象間的關(guān)系由于反函數(shù)概念中沒有從映射的深層來敘述，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)其定義域理解不到位，經(jīng)常對(duì)、間的函數(shù)關(guān)系與圖象關(guān)系搞不清楚,以致學(xué)習(xí)此部分知識(shí)時(shí)感到很吃力,下面將分類作以說明.1、與是定義上的反函數(shù)，即理論上的反函數(shù),它們的圖象是相同的.如與即為是理論上的反函數(shù),但它們的圖象是相同.2、與是應(yīng)用上的反函數(shù),它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.如與是應(yīng)用上的反函數(shù),它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.3、與是應(yīng)用上的反函數(shù)，只沒有反解罷了,它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.如與即為是應(yīng)用上的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.4、與都是的反函數(shù),它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.如與是反函數(shù)關(guān)系,它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.5、與表示同一反函數(shù)，只是形式不同,它們的

14、圖象是相同的.如與即為,它們的圖象是相同的.6、與都是的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.如即為與即為互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于對(duì)稱.二、 反函數(shù)與原函數(shù)間的性質(zhì)關(guān)系1、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱. 2、函數(shù)與其反函數(shù)在各自定義域內(nèi)的增減性是一致的.3、函數(shù)與其反函數(shù)在各自定義域內(nèi)的奇性是一致的.4、純單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但非單調(diào)函數(shù)不一定沒有反函數(shù)；有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的.5、如果與表示同一函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形.6、奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，偶函數(shù)不一定沒有反函數(shù).如時(shí)就沒有反函數(shù);-是偶函數(shù),它存在反函數(shù)7、等式不定成立,只有當(dāng)?shù)亩x域a與值域b滿足時(shí), 方可成立. 8、不一定是的反函數(shù),只有當(dāng)有反函數(shù)時(shí),其反函數(shù)應(yīng)為而不是9、若函數(shù)與其反函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)不一定