2013版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：15.2直線、圓和橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用（蘇教版·數(shù)學(xué)理）

1、第二節(jié) 直線、圓和橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用 三年三年3考考 高考指數(shù)高考指數(shù): 內(nèi)內(nèi) 容容要要 求求A AB BC C參數(shù)方程參數(shù)方程直線、圓及橢圓的參數(shù)方程直線、圓及橢圓的參數(shù)方程參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化 參數(shù)方程的簡單應(yīng)用參數(shù)方程的簡單應(yīng)用1.1.常見曲線的參數(shù)方程常見曲線的參數(shù)方程(1)(1)直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程過定點(diǎn)過定點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )，傾斜角為，傾斜角為的直線的直線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù)).).其中參數(shù)其中參數(shù)t t是以定點(diǎn)是以定點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，P(

2、xP(x，y)y)為終點(diǎn)的有向線為終點(diǎn)的有向線段段P P0 0P P的數(shù)量的數(shù)量x x x x0 0tcostcosy yy y0 0tsintsin_(2)(2)圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程圓圓(x(xx x0 0) )2 2(y(yy y0 0) )2 2r r2 2的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為( ( 為參數(shù)為參數(shù)) )(3)(3)橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程橢圓橢圓 1(a1(ab b0)0)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為( (為參數(shù)為參數(shù)). ). x xx x0 0rcosrcosy yy y0 0rsinrsin_2222xyabx xacosacosy ybsinbsin_【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)

3、用】(1)(1)過點(diǎn)過點(diǎn)M(2,1)M(2,1)作曲線作曲線C C： (為參數(shù)為參數(shù)) )的弦，使的弦，使M M為弦的為弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線的方程為中點(diǎn)，則此弦所在直線的方程為_._.(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)P(1,0)P(1,0)到曲線到曲線 ( (其中其中t t是參數(shù)，且是參數(shù)，且tR)tR)上的點(diǎn)的上的點(diǎn)的最短距離為最短距離為_._.x4cosy4sin2xty2t【解析】【解析】(1)(1)由于曲線表示的是圓心在原點(diǎn)由于曲線表示的是圓心在原點(diǎn)( (設(shè)原點(diǎn)為設(shè)原點(diǎn)為O)O)，半徑，半徑為為r r4 4的圓，所以過點(diǎn)的圓，所以過點(diǎn)M M的弦與線段的弦與線段OMOM垂直，垂直，kkOMOM ，弦

4、弦所在直線的斜率是所在直線的斜率是2 2，故所求直線方程為，故所求直線方程為y y1 12(x2(x2),2),即即2x+y-5=02x+y-5=0(2)(2)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,0)P(1,0)與曲線與曲線 (tR)(tR)上的點(diǎn)之間的距離上的點(diǎn)之間的距離d d t t2 21111，故最短距離為，故最短距離為1.1.答案答案: : (1)2x+y-5=0 (2)1 (1)2x+y-5=0 (2)1122xty2t22222x 1 y0(t1)2t2.2.參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程是曲線的兩種不同的表達(dá)方式，它們在形參數(shù)方程與普通方程是曲線的兩種不同的

5、表達(dá)方式，它們在形式及分析方法上各具特點(diǎn)又互相補(bǔ)充式及分析方法上各具特點(diǎn)又互相補(bǔ)充(1)(1)參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參，在消參時(shí)要注意參數(shù)的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參，在消參時(shí)要注意參數(shù)的范圍對普通方程的影響消去參數(shù)常用的方法有：代入法、平范圍對普通方程的影響消去參數(shù)常用的方法有：代入法、平方法等，要結(jié)合參數(shù)方程的特點(diǎn)靈活消參方法等，要結(jié)合參數(shù)方程的特點(diǎn)靈活消參(2)(2)將普通方程化為參數(shù)方程將普通方程化為參數(shù)方程將普通方程化為參數(shù)方程將普通方程化為參數(shù)方程, ,一般有如下思路：一般有如下思路：F(xF(x，y)y)0 (t0 (t為參數(shù)

6、為參數(shù)) )；F(xF(x，y)y)0 0(t(t為參數(shù)為參數(shù)) )xf(t)yg(t)xf(t)yg(t)令令x=fx=f（t t）（或）（或y=gy=g（t t）解出解出y=gy=g（t t）（或）（或x=fx=f（t t）選取參數(shù)t【即時(shí)應(yīng)用】【即時(shí)應(yīng)用】(1)(1)將參數(shù)方程將參數(shù)方程 (為參數(shù)為參數(shù)) )化為普通方程，所得方化為普通方程，所得方程是程是_._.(2)(2)已知已知F F是曲線是曲線 (R)(R)的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)，A(1,0),A(1,0),則則|AF|AF|的值等于的值等于_._.x 1 2cosy2sinx2 2cosy1cos2 【解析】【解析】(1)(1)將參數(shù)方

7、程化為普通方程為將參數(shù)方程化為普通方程為(x(x1)1)2 2y y2 24 4，是以，是以(1,0)(1,0)為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓為半徑的圓. .(2)(2)曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程 ， 即即 , ,曲線的普通方程為曲線的普通方程為x x2 2=4y.=4y.焦點(diǎn)焦點(diǎn)F(0,1)F(0,1)，由于，由于A(1,0)A(1,0)，則，則|AF|= .|AF|= .答案：答案：(1)(x-1)(1)(x-1)2 2+y+y2 2=4 (2) =4 (2) 2x2 2cosy2cos x2 2cosy1cos2 22 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化【方法點(diǎn)睛】【方

8、法點(diǎn)睛】消去參數(shù)的常用方法消去參數(shù)的常用方法代入消參法；代入消參法；三角消參法；三角消參法；根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段特殊的消參手段. 【例【例1 1】(2011(2011江蘇高考江蘇高考) )在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，求過橢圓中，求過橢圓 ( (為參數(shù)為參數(shù)) )的右焦點(diǎn)且與直線的右焦點(diǎn)且與直線 (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )平行的直線的普通方程平行的直線的普通方程. .【解題指南】【解題指南】將橢圓參數(shù)方程化為普通方程后，確定右焦點(diǎn)坐將橢圓參數(shù)方程化為普通方程后，確定右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再將直線參數(shù)方程化成普通方程，確定所求直線的斜率，標(biāo)，再將

9、直線參數(shù)方程化成普通方程，確定所求直線的斜率，從而利用點(diǎn)斜式求直線方程從而利用點(diǎn)斜式求直線方程. .x5cosy3sinx42ty3t【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】橢圓的普通方程為橢圓的普通方程為 =1,=1,右焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為(4(4，0)0)，直線直線 (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )的普通方程為的普通方程為2y-x=22y-x=2，斜率為，斜率為 ，故所求直線方程為：故所求直線方程為：y= (x-4),y= (x-4),即即x-2y-4=0.x-2y-4=0.x42ty3t22xy2591212【互動探究】【互動探究】在本例的參數(shù)方程在本例的參數(shù)方程 中，如附加條件中，如附加條件tt-2,2-2,2，

10、則此方程表示什么圖形？，則此方程表示什么圖形？【解析】【解析】由由tt-2,2-2,2可知可知xx0,80,8,y,y1,51,5， 從而從而此參數(shù)方程表示以此參數(shù)方程表示以(0(0，1)1)和和(8(8，5)5)為端點(diǎn)的一條線段為端點(diǎn)的一條線段. .x42ty3t【反思【反思感悟】感悟】1.1.通常利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系通常利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1將橢圓參數(shù)方程化為普通方程，利用加減消元將橢圓參數(shù)方程化為普通方程，利用加減消元法消去直線中的參數(shù)法消去直線中的參數(shù). .2.2.在參數(shù)方程與普通方程互化的過程中，要保持化簡過程的同在參數(shù)方程與普通

11、方程互化的過程中，要保持化簡過程的同解變形，避免改變變量解變形，避免改變變量x x，y y的取值范圍而造成錯(cuò)誤的取值范圍而造成錯(cuò)誤. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知直線已知直線C C1 1： (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )，圓，圓C C2 2： (為參數(shù)為參數(shù)) )(1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，求時(shí)，求C C1 1與與C C2 2的交點(diǎn)坐標(biāo)；的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)過坐標(biāo)原點(diǎn)O O作作C C1 1的垂線，垂足為的垂線，垂足為A A，P P為為OAOA的中點(diǎn)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)當(dāng)變變化時(shí)，求化時(shí)，求P P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線x 1 tcosytsinxcos

12、ysin3【解析】【解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，C C1 1的普通方程為的普通方程為y y (x(x1)1)，C C2 2的普通的普通方程為方程為x x2 2y y2 21.1.聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 , ,解得解得C C1 1與與C C2 2的交點(diǎn)的交點(diǎn)為為(1,0)(1,0)和和( )( ) (2)C(2)C1 1的普通方程為的普通方程為xsinxsinycosycossinsin0.A0.A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(sin(sin2 2，cossin)cossin)，故當(dāng)，故當(dāng)變化時(shí)，變化時(shí)，P P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：程為： (為參數(shù)為參數(shù)) )P P點(diǎn)軌跡的普通方程為點(diǎn)軌跡的普

13、通方程為(x(x ) )2 2y y2 2 . .故故P P點(diǎn)的軌跡是圓心為點(diǎn)的軌跡是圓心為( ( ，0)0)，半徑為，半徑為 的的圓圓322y3 x 1 xy1 1322，21xsin 21ysincos21414141163【變式備選】【變式備選】把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形示的圖形. .(1) (2)(1) (2)(3) (4)(3) (4)xsincos,ysincos;x1,1yt;t 2223tx,1t3ty;1tx64sec,y5tan3.【解析】【解析】(1)x(1)x2 22(y2(y ) )， x x ，圖形為

14、一段拋物，圖形為一段拋物線弧線弧; ;(2)x(2)x1 1，yy2 2或或y2y2，圖形為兩條射線，圖形為兩條射線; ;(3)x(3)x2 2y y2 23y3y0(y3)0(y3)，圖形是一個(gè)圓，但是除去點(diǎn)，圖形是一個(gè)圓，但是除去點(diǎn)(0,3);(0,3);(4) (4) 1 1，圖形是雙曲線，圖形是雙曲線. .122222x6y31625利用參數(shù)方程求曲線交點(diǎn)問題利用參數(shù)方程求曲線交點(diǎn)問題【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】直線、圓、橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義直線、圓、橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義在直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中，在直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中，t t的幾何意義是表示直線上的點(diǎn)到的幾何意義是表示直線上

15、的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，在圓的參數(shù)方程中，定點(diǎn)的距離，在圓的參數(shù)方程中，表示圓心角，在橢圓的參表示圓心角，在橢圓的參數(shù)方程中，數(shù)方程中，表示離心角，由此知識可直接計(jì)算直線與圓、橢表示離心角，由此知識可直接計(jì)算直線與圓、橢圓等曲線的交點(diǎn)問題圓等曲線的交點(diǎn)問題. . 【例【例2 2】已知直線】已知直線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )，曲線，曲線C C的的極坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程為2 2cos2cos21. 1. (1)(1)求曲線求曲線C C的普通方程；的普通方程；(2)(2)求直線求直線l被曲線被曲線C C截得的弦長截得的弦長. .【解題指南】【解題指南】利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的

16、互化公式，求曲線利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的互化公式，求曲線C C的普通方程；再由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，求的普通方程；再由直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，求直線直線l被曲線被曲線C C截得的弦長截得的弦長. .x2ty3t【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由曲線由曲線C C：2 2cos2cos22 2(cos(cos2 2sinsin2 2)1 1，化成普通方程為，化成普通方程為x x2 2y y2 21.1.(2)(2)由由 得得 ，用，用tt代替代替2t2t得直線的標(biāo)準(zhǔn)參得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程數(shù)方程 (t(t為參數(shù)為參數(shù)).). 把把代入代入得得(2(2 ) )2 2( )(

17、 )2 21 1，整理得，整理得tt2 24t4t6 60.0.設(shè)其兩根為設(shè)其兩根為tt1 1，tt2 2，則，則tt1 1tt2 24 4，tt1 1tt2 26.6.從而弦長為從而弦長為|t|t1 1tt2 2| | . .x2ty3t1x2(2t)23y(2t)2tx223yt2t23t2222121212(tt )tt4t t4462 10 【反思【反思感悟】感悟】有關(guān)直線的參數(shù)方程，根據(jù)有關(guān)直線的參數(shù)方程，根據(jù)t t的幾何意義，有的幾何意義，有以下結(jié)論：以下結(jié)論：設(shè)設(shè)A A、B B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為是直線上任意兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為t tA A和和t tB B

18、，則，則ABAB|t|tB Bt tA A| | ，線段，線段ABAB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于數(shù)值等于 . .ABtt22BAAB(tt )4tt【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2012(2012南通模擬南通模擬) )求直線求直線 (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )被被圓圓 (為參數(shù)為參數(shù)) )截得的弦長截得的弦長. .【解析】【解析】設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為R R，直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為L,L,把直線方程把直線方程 化為普通方程為化為普通方程為x+y=2.x+y=2.將圓將圓 化為普通方程為化為普通方程為x x2 2+y+y2 2=9.=9.x12ty12t x3cos

19、y3sinx3cosy3sinx12ty12t 圓心圓心O O到直線的距離到直線的距離d= ,d= ,所以弦長所以弦長L= .L= .所以直線所以直線 ，被圓，被圓 截得的弦長為截得的弦長為2 .2 .222222 Rd2 922 7x12ty12t x3cosy3sin7【變式備選】【變式備選】設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P是橢圓是橢圓2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12上的一個(gè)動點(diǎn)，試求上的一個(gè)動點(diǎn)，試求x+2yx+2y的取值范圍的取值范圍. .【解析】【解析】由橢圓的方程由橢圓的方程2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12，可設(shè)，可設(shè)x= cos,y=2sin,x= cos,y=2sin,代

20、入代入x+2y,x+2y,得得:x+2y= cos+2:x+2y= cos+22sin=2sin= sin(+ sin(+),),其中其中tantan= = ，又因，又因-1sin(+-1sin(+)1)1，故，故- x+2y - x+2y ，所以，所以x+2yx+2y的取值范圍是的取值范圍是- , - , . . 66226422222222 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合問題極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合問題【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義設(shè)設(shè) 表示直線向上的方向的單位向量表示直線向上的方向的單位向量, ,如圖如圖, =t , =t ,當(dāng)

21、參數(shù)當(dāng)參數(shù)t t0 0時(shí)時(shí), , 與與 方向相同方向相同; ;當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)t t0 0時(shí)時(shí), , 與與 方向相反方向相反, ,因此因此, ,總有總有| |=|t|,| |=|t|,所以參數(shù)所以參數(shù)t t為點(diǎn)為點(diǎn)M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直線上點(diǎn)到直線上點(diǎn)M(x,y)M(x,y)的有向線段的有向線段 的數(shù)量的數(shù)量( (即方向即方向+ +長度長度),),這就是參數(shù)這就是參數(shù)t t的的幾何意義幾何意義. .eeee0M M 0M M 0M M 0M M 0M M 2.2.直線參數(shù)方程的常用公式直線參數(shù)方程的常用公式根據(jù)直線的參數(shù)方程中根據(jù)直線的參數(shù)方程中t t的幾何意義的幾何意

22、義, ,有以下結(jié)論有以下結(jié)論: :(1)(1)設(shè)設(shè)A A、B B是直線上任意兩點(diǎn)是直線上任意兩點(diǎn), ,它們對應(yīng)的參數(shù)分別為它們對應(yīng)的參數(shù)分別為t tA A和和t tB B, ,則則|AB|=|t|AB|=|tB B-t-tA A|= .|= .(2)(2)線段線段ABAB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于 . . 2ABABtt4ttABtt2【例【例3 3】已知直線】已知直線l的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 (t(t為參數(shù)為參數(shù)),),曲線曲線C C的極坐標(biāo)方程是的極坐標(biāo)方程是= = ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，

23、點(diǎn)M(-1M(-1，0),0),直線直線l與曲線與曲線C C交于交于A A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn). .(1)(1)求直線求直線l的極坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程與曲線C C的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程; ;(2)(2)線段線段MAMA，MBMB長度分別記為長度分別記為|MA|,|MB|,|MA|,|MB|,求求|MA|MB|MA|MB|的值的值. .2x1t22yt2 2sin1 sin 【解題指南】【解題指南】(1)(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程，將曲線的極坐標(biāo)方程利用公式坐標(biāo)方程，將曲線的極坐標(biāo)方程利用公式 化為直角化為直角坐標(biāo)方程坐標(biāo)方

24、程; ;(2)(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，利用直線的參數(shù)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，利用直線的參數(shù)方程的幾何意義以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算方程的幾何意義以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算. .xcosysin【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)直線直線l: (t: (t為參數(shù)為參數(shù)) )的直角坐標(biāo)方的直角坐標(biāo)方程為程為x-y+1=0,x-y+1=0,所以極坐標(biāo)方程為所以極坐標(biāo)方程為: cos(+ )=-1,: cos(+ )=-1,曲線曲線C:= ,C:= ,即即(cos)(cos)2 2sin,sin,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為所以曲線的直角坐標(biāo)方程為y=xy

25、=x2 2. .(2)(2)由于直線由于直線l與曲線交于、兩點(diǎn)與曲線交于、兩點(diǎn), ,將將 代入代入y=xy=x2 2，得，得t t2 2-3 t+2=0-3 t+2=0，設(shè)，設(shè)A A、B B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t t1 1,t,t2 2，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得t t1 1t t2 2=2,|MA|=2,|MA|MB|=|t|MB|=|t1 1t t2 2|=2.|=2.2x1t22yt2 242sin1 sin 2x1t22yt2 2【反思【反思感悟】感悟】利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓錐曲線的位置利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及弦長計(jì)算，可以使問題簡便，方法是：把關(guān)系以及弦長計(jì)算，可以使問題簡便，方法是：把l: : (t(t為參數(shù)為參數(shù)) )代入圓錐曲線代入圓錐曲線C:F(x,y)=0C:F(x,y)=0，消去，消