第二章 應(yīng)力狀態(tài)

1、第二章第二章 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)研究對象三維彈性體微分單元體入手超靜定問題靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等三方面的條件本章從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，討論一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立平衡微分方程和邊界條件。目錄目錄2.1 體力和面力體力和面力2.2 應(yīng)力與應(yīng)力張量應(yīng)力與應(yīng)力張量2.3 二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程2.4 應(yīng)力狀態(tài)的描述應(yīng)力狀態(tài)的描述2.5 邊界條件邊界條件2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向主應(yīng)力與應(yīng)力主方向2.7 應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量2.1 體力和面力體力和面力 物體外力物體外力 分為兩類分為兩類 體力體力 面力面力 體力和面力分別為物體單位體積或者單位面

2、體力和面力分別為物體單位體積或者單位面積的載荷。積的載荷。2.2 應(yīng)力與應(yīng)力張量應(yīng)力與應(yīng)力張量內(nèi)力內(nèi)力外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部分之間的相互作用力。分之間的相互作用力。附加內(nèi)力附加內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量pn隨截面的法線方向隨截面的法線方向n的方向改變而變化的方向改變而變化 SSFplim0n應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)所有截面應(yīng)力矢量的集合。顯然，彈性體內(nèi)某確定點(diǎn)各個截面的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)分析討論一點(diǎn)截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢。應(yīng)力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度是十分重要的。準(zhǔn)確描述應(yīng)力狀態(tài)，合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力

3、狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。2.2 應(yīng)力應(yīng)力2應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量沿坐標(biāo)分解沒有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力s n與切應(yīng)力切應(yīng)力t n 與結(jié)構(gòu)強(qiáng)度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量應(yīng)力張量應(yīng)力張量應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)2.2 應(yīng)力應(yīng)力3333231232221131211sssssssssstttstttsszzyzxyzyyxxzxyxij應(yīng)力張量應(yīng)力張量應(yīng)該注意應(yīng)該注意應(yīng)力分量是標(biāo)量應(yīng)力分量是標(biāo)量箭頭僅是說明方向箭頭僅是說明方向 2.2 應(yīng)力應(yīng)力42.3 平衡微分方程平衡微分方程平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須

4、討論一點(diǎn)的平衡。微分平行六面體單元平衡微分方程切應(yīng)力互等定理 jiijss0,bjiijFs0bxzxyxxFzyxtts00bzzyzzbyzyyxyFzyxFzyxstttst2.5 平衡方程平衡方程22.4 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)如果應(yīng)力張量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則如果應(yīng)力張量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則1.應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)；應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)；2. 坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系；坐標(biāo)變換與應(yīng)力張量關(guān)系；3. 最大應(yīng)力及其方位的確定。最大應(yīng)力及其方位的確定。公式表明：已知應(yīng)力張量，可以確定任意方位公式表明：已知應(yīng)力張量，可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量。微分面的應(yīng)力矢量。當(dāng)然可

5、以確定正應(yīng)力當(dāng)然可以確定正應(yīng)力s s n與切應(yīng)力與切應(yīng)力t t n。jijinps應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系系2.4 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)2l應(yīng)力不僅隨位置改變而應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位變化，而且隨截面方位改變而變化。改變而變化。l同一點(diǎn)由于截面的法線同一點(diǎn)由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。力也不同。l討論應(yīng)力分量討論應(yīng)力分量在坐標(biāo)變在坐標(biāo)變換時的變化規(guī)律換時的變化規(guī)律。 2.4 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)3 任意斜截面的應(yīng)力任意斜截面的應(yīng)力 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 應(yīng)力分量應(yīng)力分量滿足滿足張量張量變化規(guī)則變化規(guī)則 應(yīng)力張量應(yīng)力張量為二階對稱張量為

6、二階對稱張量 轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。量可通過原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。 應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以確定一點(diǎn)的可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒有變化應(yīng)力狀態(tài)沒有變化。 2.4 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)4jjiiijjinnss平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量；彈性力學(xué)以坐標(biāo)系定義應(yīng)力分量； 材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。材料力學(xué)以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。正應(yīng)力二者定義沒有差異正應(yīng)力

7、二者定義沒有差異而切應(yīng)力定義方向不同而切應(yīng)力定義方向不同2.4 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)5)sin(cossincos)()sin(cos2cossin)sincos2sincos2212222tssttssstsssxyyxyxxyyxyxyyxx2.5 邊界條件邊界條件彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知邊界面力已知面力邊界Ss s iijsjnFs面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。邊界的應(yīng)力分量

8、的關(guān)系。2.5 邊界條件邊界條件2面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是這種平衡只是靜力學(xué)可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。 2.5 邊界條件邊界條件3位移邊界條件位移邊界條件邊界位移已知邊界位移已知位移邊界Su 位移邊界條件就是彈性體表面的就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等 wwuvuu2.5 邊界條件邊界條件4混合邊界條件混合邊界條件彈性體邊界彈性體邊界 SSs sSu部分邊界

9、位移已知部分邊界位移已知位移邊界Su 部分邊界面力已知部分邊界面力已知面力邊界Ss s不論是不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是還是混合邊界條件，任意邊界的邊界條件，任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于數(shù)必須等于3 3個。個。2.6 主應(yīng)力與應(yīng)力主方向主應(yīng)力與應(yīng)力主方向轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律描述了應(yīng)力隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析需要簡化和有效的參數(shù)最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及以及方位主應(yīng)力和和主平面應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量進(jìn)一步探討進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力和主平面 主應(yīng)力分析主應(yīng)力分析0)(0)(0)(nmlnmlnmlz

10、yzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即0sstttsstttsszzyzxyzyyxxzxyx2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力2展開 032213IIIsss032213IIIssszyxIsss1其中：其中： 主元之和主元之和 ijs2222xzyzxyxzzyyxItttssssss代數(shù)主子式之和代數(shù)主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxIstttsttts3應(yīng)力張量元素應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式構(gòu)成的行列式主應(yīng)力特征方程2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力3 應(yīng)力狀態(tài)特征方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程 確定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力確

11、定彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主軸方向。 主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。邊界條件等，與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)。 因此，特征方程的根是確定的，即因此，特征方程的根是確定的，即I1 1、I2 2、I3 3的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。 I1 1、I2 2、I3 3 分別稱為應(yīng)力張量的分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二第一、第二和第三和第三不變量不變量。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力4特征方程有三個實(shí)數(shù)根特征方程有三個實(shí)數(shù)根s s1 1，s s2 2，s s3 3分別表示這三個根，代表某點(diǎn)三個分別表

12、示這三個根，代表某點(diǎn)三個主應(yīng)力。主應(yīng)力。對于對于應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向，將，將s s1 1，s s2 2，s s3 3分別代入分別代入和和 l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力主方向。則可求應(yīng)力主方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力5主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標(biāo)系無關(guān)。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點(diǎn)的三個主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點(diǎn)三個應(yīng)力主方向是相互垂直的三個應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。

13、應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力6l不變性l實(shí)數(shù)性l正交性主應(yīng)力正交性證明：主應(yīng)力正交性證明：下面證明下述結(jié)論：下面證明下述結(jié)論：1. 若若s1s2s3，特征方程無重根；特征方程無重根； 應(yīng)力主軸必然相互垂直應(yīng)力主軸必然相互垂直；2. 若若s1s2s3，特征方程有兩重根；特征方程有兩重根； s s1和和s s2的方向必然垂直于的方向必然垂直于s s3的方向。而的方向。而s s1和和s s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若若s1=s2=s3，特征方程有三重根；特征方程有三重根； 三個應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，三個應(yīng)力主軸可

14、以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸任何方向都是應(yīng)力主軸。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力7 設(shè)s1，s2，s3 的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則 0)(0)(0)(111111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss0)(0)(0)(333333333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxsstttsstttss分別乘以l2，m2，n2 分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可

15、得 0)(21212121nnmml lss0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力80)(21212121nnmml lss0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmllssss如果 s1s2s3000313131323232212121nnmmllnnmmllnnmmll3個應(yīng)力主方向相互垂直 如果 s1=s2s300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零。 s3與s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2

16、的應(yīng)力主向。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力9如果 s1=s2=s3則 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可為零或者不為零。任何方向都是應(yīng)力主方向。 因此問題可證。1.若s1s2s3，應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 若s1=s2=s3，任何方向都是應(yīng)力主軸。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力10 主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的主應(yīng)力是一點(diǎn)所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力。正應(yīng)力。 主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位；作用方位； 最大切應(yīng)力的確定。最大切應(yīng)力的確定。 討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨勢勢應(yīng)力圓。 最大切應(yīng)力以及方位的確定。最大切應(yīng)力以及方位的確定。2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力11正應(yīng)力和切應(yīng)力分析分析1 2 3應(yīng)力圓最大切應(yīng)力方位2.6 主應(yīng)力主應(yīng)力122.7 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解 應(yīng)力球量改變單元應(yīng)