平面幾何的26個定理精編版.doc

1、高一數(shù)學競賽班二試講義第 1 講平面幾何中的26 個定理班級姓名一、知識點金1. 梅涅勞斯定理： 若直線 l 不經過 ABC 的頂點，并且與 ABC 的三邊 BC,CA, AB 或它們的延長線BPCQAR1分別交于 P,Q, R ，則QARBPC注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立（用同一法證明）2.塞瓦定理：設 P,Q, R 分別是ABC 的三邊 BC,CA, AB 或它們的延長線上的點，若 AP, BQ,CR 三線共點，則 BP CQ AR 1 PC QA RB注： 塞瓦定理 的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四邊形 ABCD 中，有 AB CDBC AD AC BD ，并且當且僅當四邊形 AB

2、CD內接于圓時，等式成立。證：在四邊形 ABCD內取點 E，使BAECAD， ABEACD則： ABE 和 ACD相似ABBEAB CD AC BEAC CD又ABAE 且 BACEADABC和 AED相似ACADBCEDAD BCAC EDACADAB CDAD BCAC (BE ED )AB CDAD BCAC BD且等號當且僅當E在 BD上時成立，即當且僅當A、 B、 C、D四點共圓時成立；注： 托勒密定理的逆定理也成立ADEBC4.西姆松定理： 若從 ABC 外接圓上一點 P 作 BC , AB,CA 的垂線，垂足分別為 D,E, F ，則 D, E, F 三點共線。1西姆松定理的逆定

3、理 ：從一點 P 作 BC , AB,CA 的垂線，垂足分別為 D, E, F 。若 D, E, F 三點共線，則點 P 在 ABC 的外接圓上。5 蝴蝶定理： 圓 O 中的弦 PQ 的中點 M ，過點 M 任作兩弦 AB ， CD，弦 AD 與 BC 分別交 PQ 于 X，Y，則 M 為 XY 之中點。證明： 過圓心 O 作 AD 與 BC 的垂線，垂足為S、 T，連接 OX ，OY ，OM ，SM， MT 。 AMD CMB AM/CM=AD/BC AS=1/2AD ， BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又 A= C AMS CMT MSX= MTY OMX= OSX=90 OMX+

4、 OSX=180 O，S，X，M 四點共圓同理， O， T， Y， M 四點共圓 MTY= MOY ， MSX= MOX MOX= MOY， OM PQXM=YM注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理 也成立6 坎迪定理： 設 AB 是已知圓的弦，M 是 AB 上一點，弦 CD ,EF過點 M ，連結 CF, ED ，分別交 AB 于 L, N ，則1111LMMNAM。MB7 斯特瓦爾特定理：設 P 為ABC 的 BC 邊上任一點，則有22P C2 B P2BP PCA PA BA CB C。B CB CB CB C注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8張角定理： 設 A,C,B 順次分別是平

5、面內一點P 所引三條射線AB, AP, AC 上的點，線段 AC,CB對點 P 的張角分別為,，且180，則 A, C,B 三點共線的充要條件是：sin()sinsinPCPBPA9九點圓定理： 三角形的三條高的垂足、三邊的中點，以及垂心與頂點的三條連接線段的中點，共九點共圓。此圓稱為三角形的九點圓，或稱歐拉圓。ABC 的九點圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點，九點圓的半徑是ABC 的外接圓半徑的 1 。2證明：ABC 的九點圓與ABC 的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內位似中心。位似比均為1: 2。10歐拉線：ABC 的垂心 H ，重心 G ，外心 O 三點共線。

6、此線稱為歐拉線， 且有關系： HG2GO歐拉公式： 設三角形的外接圓與內切圓的半徑分別為R 和r，則這兩圓的圓心距11OIR(R2r ) 。由此可知， R 2r 。證明： 設外心為 O ，內心為 I ，連結 OI ，延長交外接圓于N, P 兩點，令 d OI ， AI 交外接圓于 L，則 (Rd)(Rd )NIIPLIIALBIA2Rsin Ar2Rr2Asin212笛沙格定理 ; 在 ABC 和A BC 中，若 AA,BB ,CC 相交于一點 O，則 AB與 A B ， BC 與BC ， AC與 AC 的交點 F,D,E共線。證明：OBC 和梅尼線 B C D ，OBBDCC1； OAB 和

7、梅尼線 A B F ，OAAFBB1 ；B BDCC OA AFBB OOAC 和梅尼線 ACE， OCCEAA1 ，三式相乘，得BDCEAF1。得證C CEAA ODCEAFB213牛頓（ Newton ）定理 1：圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。證法 1：設四邊形ABCD的邊 AB,BC,CD,DA與內切圓分別切于點E,F,G,H.首先證明,直線 AC,EG,FH交于一點 . 設 EG,FH 分別交AC 于點 I,I.顯然 AHI= BFI ，因此易知AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI故AI/CI=AH/CF.同樣可

8、證:AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI/CI.從而 I,I 重合 . 即直線AC,EG,FH交于一點.同理可證:直線 BD,EG,FH交于一點. 因此直線 AC,BD,EG,FH交于一點。證法 2：外四邊形為ABCD ，對應內切四邊形為EFGH 。連接 EG， FH 交于 P。下面證明BD 過 P 即可。過 D 座 EG 的平行線交BA 與 S，過 D 做 FH 的平行線交BC 于 T 。由于弦切角及同位角，角BEG= 角 CGE= 角 CDS= 角 BSD 。所以 SEGD 四點共圓，且為等腰梯形。設此圓為圓M ，圓 M 與圓 O，內切圓交于E

9、G，所以其根軸為EG，同理對圓N， DHFT ，與圓 O 交于 HF。 HF 為此兩圓的根軸。由根軸定理，只需證明BD 為圓 M 與圓 N 的根軸即可證明BD ，EG， HF 共于點 P。D 在圓 M 和圓 N 上，所以其為根軸一點。 由于 SEGD，和 DHFT 為等腰梯形， 所以 ES=DG ， DH=FT 。由切線長定理， DH=DG ，BE=BF ；所以 BE=BF ，ES=FT ，BS=BT 。若 B 為圓 M 與圓 N 的根軸上一點， 則 BE*BS=BF*BT ，其為割線長。 明顯等式成立。 所以 BD 為圓 M 與圓 N 的根軸，則 BD ，EG ，HF 共于點 P。同理 AC

10、 ， EG， HF 共于點 P。命題得證。14牛頓（ Newton ）定理 2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。證明： 設四邊形ABCD 是 I 的外切四邊形，E 和 F 分別是它的對角線AC 和 BD 的中點，連接EI 只需證它過點F，即只需證 BEI 與 DEI 面積相等。顯然， S BEI=S BIC+S CEI-S BCE ，而 S DEI=S ADE+S AIE-S AID 。注意兩個式子，由ABCD外切于I ， AB+CD=AD+BC， S BIC+S AID=1/2*S四邊形ABCD ， S ADE+S BCE=1/2*S ACD+1/2*S ABC=1/

11、2*S四邊形ABCD即 S BIC+S AID=S ADE+S BCE ，移項得S BIC-S BCE=S ADE-S AID ，由 E 是AC中 點 ， S CEI=S AEI ， 故S BIC+S CEI-S BCE=S ADE+S AIE-S AID ， 即S BEI= DEI ，而 F 是 BD 中點，由共邊比例定理EI 過點 F 即 EF 過點 I ，故結論成立。15牛頓（ Newton ）定理 3：完全 四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 。證明： 四邊形ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD中點M,AC中點

12、L,EF 中點N取 BE中點 P,BC 中點 R,PNCE=Q3R,L,Q共線， QL/LR=EA/AB； M,R,P 共線， RM/MP=CD/DE；N,P,Q 共線， PN/NQ=BF/FC。三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR*RM/MP*PN/NQ=1PQR 及梅尼線LMN ，由梅涅勞斯定理的逆定理知L，M， N 三點共線。16布利安雙 定理 ：設一六角形外切于一條圓錐曲線，那么它的三雙對頂點的連線共點。在此，提供用初等幾何證明外切于圓的情形。記六邊形為ABCDEF 外切于圓O，AB ，BC ，CD,DE,EF,FA 上的切點分

13、別是G,H,I,J,K,L. 設 AB,DC交于 X,AF,DE 交于 Y.則四邊形AXDY外切于圓 O, 切點分別是G,I,J,L 。 圓外切四邊形對邊切點連線與主對角線交于一點，有 AD,GJ,LI 共點 ( 記為點 P)。同理， BE,GJ,KH 共點 (記為點 r),CF,LI,KH共點（記為點q 則命題可轉為證明DP,BR,FQ 共點。17拿破侖定理：若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構成一個正三角形。證明：設等邊 ABD 的外接圓和等邊ACF 的外接圓相交于O；連 AO 、 CO、BO 。 ADB= AFC=60 ； A、 D、 B、 O 四點共圓； A 、F、 C、

14、 O 四點共圓； AOB= AOC=120 ； BOC=120 ； BCE 是等邊三角形 BEC=60 ； B、E、C、O 四點共圓； 這 3 個等邊三角形的外接圓共點。設等邊 ABD 的外接圓 N，等邊 ACF 的外接圓 M ，等邊 BCE 的外接圓 P 相交于 O；連 AO 、 CO、BO 。 A 、D 、 B、 O 四點共圓； A 、F、 C、 O 四點共圓， B、 E、 C、O 四點共圓， AFC= ADB= BEC=60 ； AOB= AOC= BOC=120 ； NP、MP 、MN 是連心線；BO 、CO、AO 是公共弦； BO NP 于 X ；CO MP于 Y；AONM 于 Z。

15、 X 、P、 Y 、 O 四點共圓； N= M= P=60；Y 、M 、Z、O 四點共圓；Z、N、X、O 四點共圓；即 MNP 是等邊三角形。18帕斯卡（ Pascal）定理： 如圖，圓內接六邊形 ABCDEF 的邊 AB 、DE 的延長線交于點 G，邊 BC 、 EF 的延長線交于點 H ，邊 CD 、 FA 的延長線交于點 K 。則 H、 G、 K 三點共線。證明： 延長 AB 、 CD 、EF，分別交直線CD 、 EF、 AB 于 M 、N 、 L 三點，構成 LMN 。直線 BC 截 LM 、MN 、NL 于 B、C、H 三點，則 4直線 DE 截 LM 、 MN 、 NL 于 G、D

16、 、E 三點，則 |LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1 直線 AF 截 LM 、MN 、NL 于 A 、K、F 三點，則連 BE，則 LALB=LFLE ，。同理，。將相乘，得點 H、G、K 在LMN 19蒙日定理（根心定理）。的邊 LN 、 LM 、 MN 的延長線上， H、 G、 K 三點共線。：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。注： 在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪 相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱

17、作等冪軸。（ 1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；（ 2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；（ 3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線；20莫利定理（Morleys theorem），也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。證法一 ： 在 ABR 中，由正弦定理，得 AR=csin /sin( 。+)不失一般性， ABC外接圓直徑為1，則由正弦定理，知c=sin3 ， 所 以AR=（ sin3 *sin ）/sin(60- )=sin *sin-4sin

18、2(3 )/1/2( 3cos-sin )=2sin sin （ 3cos +sin）=4sin sin （sin60 +） .同理 ,AQ=4sin sin sin(60 + )在 ARQ中 ,由余弦定理 ,得 RQ2 =16sin2sin2 sin2 (60+ )+sin2 (60 -2sin(60+) +)*sin（60+）cos=16sin2 sin2 sin2 .這是一個關于 ， ， 的對稱式，同理可得PQ2 ， PR2 有相同的對稱性，故 PQ=RQ=PR, 所以 PQR 是正三角形。證法二 ： AE ： AC=sin ： sin （ +），AF ： AB=sin ： sin （

19、+） ，AB ： AC=sin3 ： sin3 ， AE:AF= （ ACsin （ +） /si n）：（ ABsin （ +） /sin ），而 sin3 ： sin3 =（ sin sin(60 +)sin(60-)）：（ sin sin(60 +) sin(60-)）， AE ： AF=sin(60 +)： sin(60 +)，在 AEF 中， AEF=60+ ，同理 CED=60+ ， DEF=60 ， DEF 為正三角形。521斯坦納 萊默斯定理：如圖，已知 ABC 中，兩內角的平分線BD=CE 。求證：AB=AC 。證法作 BDF= BCE ；并使DF=BC BD=EC ， BD

20、F ECB,BF=BE, BEC= DBF.設 ABD= DBC=, ACE= ECB= ， FBC= BEC+=180 - 2-+=180-(+); CDF= FDB+ CDB=+180 - 2-=180-( +); FBC= CDF ， 2+2180, +90過 C 點作 FB 的垂線和過F 點作 CD 的垂線必都在FB 和 CD 的延長線上.設 垂 足分 別 為 G 、 H; HDF= CBG; BC=DF, Rt CGB Rt FHD ， CG=FH,BC=FD 連接 CF ， CF=FC,FH=CG ， Rt CGF FHC（ HL ）， FG=CH, 又 BG=DH, BF=CD,

21、 又 BF=BE, CD=BE ， BE=CD,BC=CB,EC=DB, BEC CDB ， ABC= ACB AB=AC.證法設二角的一半分別為、 ,sin(2+)/sin2 = BC/CE= BC/BD= sin( +2)/sin2 , 2sin cossin( +2-2sin) cossin(2 +) =0 sin sin2( + )+sin- 2sin sin2（ +） + sin2 =0 sin2( + )sin-sin +2 sin sin- cos =0 sin (- )/2sin2( + ) cos( + )/2 + 2 sin sin sin ( ， + )/2=0 sin(

22、-)/2=0 =, AB=AC.證法用張角定理：2cos/BE=1/BC+1/AB ,2cos /CD=1/BC+1/AC ,若 可推出 ABAC矛盾！若 可推出 AB AC矛盾！所以 AB=AC22費爾馬點： 費爾馬點 就是到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。對于一個頂角不超過 120度的三角形，費爾馬點是對各邊的張角都是120度的點。 對于一個頂角超過 120度的三角形，費爾馬點就是最大的內角的頂點。證明： 在平面三角形中 : (1).三內角皆小于 120 的三角形，分別以AB,BC,CA ，為邊，向三角形外側做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1, 然后連接 AA1,BB1,CC1,

23、 則三線交于一點P,則點 P 就是所求的費馬點 . (2). 若三角形有一內角大于或等于120 度 ,則此鈍角的頂點就是所求 . (3)當 ABC 為等邊三角形時 ,此時外心與費馬點重合（1） 等邊三角形中BP=PC=PA ， BP、 PC、 PA 分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內切圓和外切圓的中心。 BPC CPA PBA 。 （ 2）當 BC=BA 但 CAAB 時， BP 為三角形 CA 上的高和中線、三角上的角分線。證明 (1) 費馬點對邊的張角為 120 度。 CC1B 和 AA1B 中 ,BC=BA1,BA=BC1, CBC1= B+60 度= ABA1, CC1

24、B 和 AA1B 是全等 三 角 形 , 得 到 PCB= PA1B 同 理 可 得 CBP=CA1P 由 PA1B+ CA1P=60 度 ， 得 PCB+ CBP=60 度 ,所以 CPB=120 度 同理 , APB=120 度，APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1將 BPC 以點 B 為旋轉中心旋轉 60 度與 BDA1 重合， 連結 PD，則 PDB 為等邊三角形， 所以 BPD=60 度 又 BPA=120 度，因此 A 、P、D 三點在同一直線上， 又 CPB= A1DB=120 度， PDB=60 度， PDA1=180 度，所以 A 、 P、D 、 A1 四點在同

25、一直線上，故 PA+PB+PC=AA1 。(3)PA+PB+PC 最短 在 ABC 內任意取一點 M（不與點 P 重合），連結 AM 、BM 、CM ，將 BMC 以點 B 為旋轉中心旋轉 60 度與BGA1 重合，連結 AM 、GM、A1G(同上)，則6AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費馬點到三個頂點A 、 B 、C 的距離最短。平面四邊形費馬點平面四邊形中費馬點證明相對于三角型中較為簡易，也較容易研究。（ 1）在凸四邊形ABCD 中，費馬點為兩對角線 AC 、BD 交點 P。 （ 2）在凹四邊形 ABCD 中，費馬點為凹頂點 D （ P）。23等差冪線定理：已知 A 、 B

26、 亮點，則滿足AP2-BP2=k(k 為常數(shù) )的點 P 軌跡是垂直于AB 的一條直線。24婆羅摩笈多定理若圓內接四邊形ABCD 的對角線相互垂直，則垂直于一邊CD 且過對角線交點E 的直線 EF 將 AB 平分對邊。25萊莫恩（ Lemoine）定理 ：過 ABC 的三個頂點 A 、B、C 作它的外接圓的切線，分別和 BC 、 CA 、 AB 所在直線交于 P、 Q、 R，則 P、 Q、 R 三點共線。直線 PQR 稱為 ABC 的萊莫恩線。證明： 由弦切角定理可以得到：sin ACR=sin ABC，sin BCR=sin BACsin BAP=sin BCA ，sinCAP=sin AB

27、Csin CBQ=sin BACsin ABQ=sin BCA所以，我們可以得到： (sin ACR/sin BCR)*(sin BAP/sin CAP)*(sin CBQ/sin ABQ)=1 ，這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到 ABC 被直線 PQR 所截，即 P、 Q、R 共線。726清宮定理： 設 P、Q 為 ABC 的外接圓上異于 A 、 B 、C 的兩點， P 關于三邊 BC 、CA 、 AB 的對稱點分別是 U 、 V 、 W ，且 QU 、 QV 、 QW 分別交三邊 BC 、 CA 、 AB 或其延長線于 D、 E、F，則 D、 E、 F 在同一直線上證明： 設 P、 Q 為 ABC 的外接圓上異于A 、B 、 C 的兩點，P 關于三邊BC 、CA 、 AB的對稱點分別是U 、 V 、W ，且 QU 、 QV 、QW 分別交三邊BC 、 CA 、 AB 或其延長線于D 、E、 F這時， P、 Q 兩點和D 、 F、 E、三點有如下關系：將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面，則從