八年級第5講因式分解講義(提高班)

1、第五講因式分解初步及應用1. 因式分解把一個多項式分解成幾個整式之積的形式叫做多項式的因式分解。因式分解是多項式乘法的逆向變形。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分組分解法，配方法。常用公式：母取各項的相同字母(有時為多項式)。字母的指數(shù)取相同字母的最低指數(shù)。例1、分解因式：ma+mb(2)m(a-b)+n(b_a)-2a3b4 -10a2b3 2a2b2例2、分解下列各式：(1)12xy2(a-b)2-24x2y2(b-a)2 18xy(b-a)3曠護bg + R；a2 _2ab b2 =(a _b)2；1 一 iJ 刖匕廠干 止、：；2 2 2 2a b c 2ab 2b

2、c 2ca = (a b c)；2 2 2(2) (a + ab-ac) + (ab+b - bc) + (c - ca-cb) a3 b3 c3 - 3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ ab _ be _ ca)；十_腫_ J (q b)-1十勺十a(chǎn)-呼十小十此i2十護-1)(ri為正整數(shù))I 0+耳(十晉十+處“Jr)3為偶數(shù))an bn Z + W - 廠&丿一廠秋)2. 因式分解簡單應用利用因式分解解決計算、求值、解方程及證明問題，解題時主要是把所研究 的問題轉(zhuǎn)化為因式分解問題。對于較復雜的數(shù)值計算可利用字母代換的方法加以 簡化。【例題】1. 提取公因式法：如果一個多項

3、式的各項含有公因式，把這個因式提出來，作為多項式的一個因式，再用這個因式去除這個多項式，把所得的商作為另一個因式，這種因式分解的方法叫做提取公因式。提公因式法是因式分解中的首選方法，不能提公因式或者提公因式后再選擇其它方法。公因式的取法為：系數(shù)取各項整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù)(第一項系數(shù)為負，一般提出負號)。字第五講因式分解初步及應用(提高班)第12. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的過程，把乘法公式反過來用， 就可以把某些多項式分解因式，這種因式分解的方法叫做公式法。用此法分解 因式時，首先要分析該多項式是否具有可用公式的特點。例如，如果多項式是二項式，就可以考慮運用兩數(shù)和乘以兩數(shù)差的公式，

4、a2 - b2 = (a b)(a- b)；如果多項式是三項式，就可以考慮運用兩數(shù)和的平方公式，即a2 2ab b2 = (a b)2。例3、把下列各式分解因式：(1) (x-1) b2(1-x)(2) 9m2a2-36m2a 36m2 ；頁共3頁（3）9（pq）26（pq） 1。3. 十字相乘法：對于二次三項式的分解因式，借用一個十字叉幫助我們分解因式，這種方法叫做十字相乘法。二次三項式ax2 bx c的因式分解問題，只要把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù) 印和a2的積，常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)b,和b22的積，且使 a, b2 +a2 bi=b，則有 ax bx（a,x - bi）（a2x b?）

5、。因為一個整數(shù)分解成兩個因數(shù)積得形式不唯一，且要滿足上述條件，故常用十字相乘的形式進行試算，最后確定分解的結果。具體看下面例題：(4) x2 (a - b)x ab = (x )(x)。4. 分組分解法：對于一個多項式，它的各項沒有公因式，也不能直接使用公式 來分解，這時一般采用分組分解法來進行因式分解。其分組的原則是：分組后的 各組變形后能有公因式可提；分組后可利用公式或十字相乘法繼續(xù)分解因式。（1）如果多項式是四項式，則考慮二二分組或者三一分組。其中二二分組中的 兩項能運用兩數(shù)和乘以兩數(shù)差的公式或提公因式；三一分組中的三項一般能運用 兩數(shù)和的平方公式，一項是常數(shù)。例 6、把下列各式分解因式

6、：（1） x2 y - xy - x ；（ 2） a2 - 4ab - 9 4b2第五講因式分解初步及應用（提高班）第3頁共3頁第五講因式分解初步及應用（提高班）第#頁共3頁(xp)(x q) = x2 (pq)xpq;反之x(p q)x pq=(xp)(xq)。例4、分解因式：2 2 2（2）如果多項式是五項式，則考慮三二分組。其中的三項一般能運用兩數(shù)和 的平方公式，兩項則能提公因式。例 7、把 x2 -6xy 9y2 -2x 6y 因式分解。(1) x 5x 6 ；( 2) x5x 6 ；( 3) 3x -x10。例5、填寫下列各式：2(1) x-(a-b)x-ab= (x)(x)；(2)

7、 x2(a-b)x - ab= (x)(x)；（3）如果多項式是六項式，則考慮三三分組或者三二一分組。其中三三分組 中的三項能運用兩數(shù)和的平方公式，然后再用兩數(shù)和乘以兩數(shù)差的公式因式分(3) x2-(a-b)x ab= (x)(x)；第五講因式分解初步及應用（提高班）第4頁共3頁解；三二一分組中的三項一般能運用兩數(shù)和的平方公式，兩項則能提公因式， 一項是常數(shù)，再考慮運用兩數(shù)和的平方公式因式分解。例8、把下列各式分解因式：2 2 2 2 2（1） 4a -4ab b -x -6x -9 ； （2） m n -8m 8n -2mn 166.因式分解的簡單應用例11、計算：(1) 20.08 200

8、.8 200.8 89.94- 2.008 1002;111 1（1 一尹1肯）（1盲）（1 一荷）;3320053 100233320051003例12、已知a+b=1,求a3 b3 3ab的值。例 9、將 x2y _y2z - z2x _x2z y2x z2 y _2xyz 因式分解?！揪毩曌鳂I(yè)】1.將下列各式分解因式：（1）ax-3by-3ay+bx ；（2） 3x2 13x-10； （3） a3 a2b 9ab3 ；16 2oonnnn(4)x -y；( 5 )x-y-x 2xy - y 2 ; (6) 2a - 5ab - 3b a 11b - 6 ;5.配方法：配方法是二次三項式進行因式分解的重要方法。配方法的基本步驟 是二次三項式的二次項系數(shù)化為一，加上并減去一次項系數(shù)一半的平方。例10、把下列各式分解因式（1）x2-2x -3 ；（2）m4m2n2n4；（3）2y2y -1.2.3.4.5.2 2x 4xy 4y _2x_4y_3。已知x=y+1,求多項式x2 - 2xy y2 - 3x 3y 2的值。求證：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。求證：523 -521能被120整除。1 1計算：（1）