基本不等式課件(最新)精編版

1、 學習目標： 1.1.探索并了解基本不等式的證明過程探索并了解基本不等式的證明過程. . 2. 2.用基本不等式解決簡單的最大（?。┲涤没静坏仁浇鉀Q簡單的最大（?。┲祮栴}問題. .在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標一一、新知引入新知引入 取材于中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖思考：會標中含有哪思考：會標中含有哪些幾何圖形？些幾何圖形？思考：你能否在這個思考：你能否在這個圖中找出一些相等關(guān)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？系或不等關(guān)系？二二、探究新知探究新知ab22ba 探究探究那么它們有相等的情況嗎？那么它們有相等的情況嗎？1.正方形正方形 ABCD的的面積面積 S= . .四個直角三角形四個直

2、角三角形 的面積和的面積和S = . .結(jié)合圖形結(jié)合圖形S與與S有有 什么樣的不等關(guān)系？什么樣的不等關(guān)系？S 222abab 即即()ab22ba 2abADBCEFGHba22ab222()abab ab222()abab abADBCE(FGH)ab222ababab、 ，+思考：思考：對于對于任意實數(shù)任意實數(shù) 成立嗎？你能證成立嗎？你能證明嗎？明嗎？ab222,abab當且僅當當且僅當 時時,等號成立等號成立. 一般地一般地,對于任意實數(shù)對于任意實數(shù) , 我們有我們有 當且僅當當且僅當 時時,等號成立等號成立. a b,ab證明證明:222abab20ab（）2222=ababab（）因

3、為因為 所以所以 （作差法）（作差法） 如果如果 ,我們用我們用 代替上式中的代替上式中的 ,可得到什么結(jié)論可得到什么結(jié)論? ab，22()()2abab2abab即：)200(ababba ，通常我們把上式寫作通常我們把上式寫作 a b,當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立.ab00ab，問題問題1：2abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab _0ab要證要證只要證只要證顯然顯然, 是是成立的成立的.當且僅當當且僅當 時時, 中的等號成立中的等號成立. 2 ab2 abbaab2(_)0要證要證，只要證只要證(0,0)2a babab這樣我們又一次得到：這樣我們又一次得到：你能

4、否利用不等式的性質(zhì)，直接推導出這個不等式呢？你能否利用不等式的性質(zhì)，直接推導出這個不等式呢？ 問題問題2：2abab所以所以 成立成立.你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?ABCDEabO 如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，點為圓心，點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示半徑表示半徑OD? OD =_ab2ab當且僅當點當且僅當點 C 與圓心重合，即當與圓心重合，即當 時，等號成立時

5、，等號成立.ab=002abab ab（ ， ） 圓的半徑圓的半徑OD與與 CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? 問題問題3 3. 基本不等式可以敘述為：基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).0,02ababab（）當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立?；静坏仁交静坏仁絘 b2ab 我們常把我們常把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，的幾何平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù) a，b的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平均數(shù) .ab 例例1.1.用籬笆圍一個面積為用籬笆圍一個面積為 的矩形菜園，問這的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所

6、用籬笆最短？最短的籬個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆是多少？笆是多少？ 2100m,xmym解：設矩形菜園的長為寬為2 10022()40.xyxyxyxy，由得： 可100,xy 則xy等號當且僅當時成立，10.xy此時mm因此這個矩形的長、寬都為10 時，所用籬笆最短，最短籬笆是40 .2() .x y m籬笆的長為三、新知應用三、新知應用練習練習1:若若 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最小值的最小值.10 xyxx 歸納歸納：兩個正數(shù)：兩個正數(shù)積積為為定定值，則值，則和和有有 最小值最小值.m in10 ,011221,1,2xxyxxxxxxyx解 ：當即時 例例2.2.用一段長

7、為用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園面積最大？問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？最大面積是多少？,xmym解：設矩形菜園的長為寬為2()3618,xyxy 則1822xyxy由 =92xym矩形菜園的面積為S=9yxyx當且即時,僅當，等號成立，2.因此這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m81xy可得 練習練習2.已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 最大值最大值.歸納：歸納：兩個正數(shù)兩個正數(shù)和和為為定定值，則值，則積積有有2max11:1)()24111

8、24xxyxxxxxy解（當 且 僅 當即時a a與與b b為正實數(shù)為正實數(shù)一正一正二定二定三相等三相等積定和最小積定和最小和定積最大和定積最大當且僅當當且僅當 時，等號成立時，等號成立ba =運用基本不等式求最值的限制條件為：運用基本不等式求最值的限制條件為：0,02ababab（）達標檢測達標檢測1.下列結(jié)論正確的是（ ） A.當0 x且1x時，1lg2.lgxxB.當時，12 .xxC.2x當時,1xx的最小值為D .當時，21xx的最小值為.x22.（1）已知9(00 xyxy，） 則123 +yxxx y 的最小值是 . （2）已知6x y xy 的最大值是 .3.（1）當1x 時，求函數(shù)的最小值.2 .則(00 xy，）（2）當01x0 x課堂小結(jié)課堂小結(jié)（1）本節(jié)課的主要學習內(nèi)容是什么？ （2）在應用基本不等式求最值時，需要注意哪幾點？ （3）在本節(jié)課學習中，運用了哪些數(shù)學思想方法？ 一正，二定，三相等一正，二定，三相等. .數(shù)形結(jié)合，作差法，換元法數(shù)形結(jié)合，作差法，換元法等.00 .(,)2ababa