第三屆華羅庚金杯復(fù)賽試題

1、第三屆華杯賽復(fù)賽試題精品文檔151.計(jì)算:2.某年的10月里有5個(gè)星期六，4個(gè)星期日.問：這年的10月1日是星期幾?3.電子跳蚤每跳一步，可從一個(gè)圓圈跳到相鄰的圓圈.現(xiàn)在，一只紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“ 0”的圓圈按順時(shí)針方向跳了1991步，落在一個(gè)圓圈里.一只黑跳蚤也從標(biāo) 有數(shù)字“0”的圓圈起跳，但它是沿著逆時(shí)針方向跳了 1949步，落在另一個(gè)圓圈里.問：這兩個(gè)圓圈里數(shù)字的乘積是多少?4.仃3是個(gè)四位數(shù)字.數(shù)學(xué)老師說:“我在這個(gè)中先后填入數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9、11、6整除.”問：數(shù)學(xué)老 師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少?5 我們知道：9=3X 3, 16=4X 4,這里，9、16叫做“

2、完全平方數(shù)”，在前300個(gè)自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的 和是多少?6.如圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2厘米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方厘米?7在射箭運(yùn)動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶），或者是不超過10的自然數(shù).甲、乙兩名運(yùn)動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是 仃64，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán).求甲、乙的總環(huán)數(shù).8下圖中有6個(gè)點(diǎn)，9條線段一只甲蟲從 A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點(diǎn)行進(jìn)中，同一個(gè)點(diǎn)或同一條線段只能經(jīng)過1次這只甲蟲最多有多少種不同的走法?DEFKEC9下圖中的正方形被分成 9

3、個(gè)相同的小正方形，它們一共有 16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn)算一個(gè)），以其中不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個(gè)?10.已知:S二+ 1 + 1 + +而 19 1991 ,求：S的整數(shù)部分.11.今年,祖父的年齡是小明的年齡的6倍幾年后，祖父的年齡將是小明的年齡的5倍.又過幾年以后,祖父的年齡將是小明的年齡的tHH=x:=X XKk晉倍求：祖父今年是多少歲?12.某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測試，有名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá) 到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表:短B9游泳籃球

4、短竝游泳琢籃球籃球、短蹈短融游泳.籃球17IS15(5552求這個(gè)班的學(xué)生數(shù).13 恰好能被6、7、8 9整除的五位數(shù)有多少個(gè)?14.計(jì)算：1-3+ 5-7+ 9- 11+ 1999+ 2001 15.五環(huán)圖由內(nèi)圓直徑為8，外圓直徑為10的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等.已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是112.5，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓周率n取3.14).16.下圖中8個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)注的數(shù)字：a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一個(gè)數(shù)都等于相鄰三個(gè)頂點(diǎn)處數(shù)的和的1/3，求：（a+ b+c+d）-(e+f + g + h)的值.1.蹲2星期四3. 774. 19

5、5. 433656. 90 立方厘米7. 24; 288. 9種9. 48個(gè)10. 16511. 72 歲12. 39 名 13. 179 個(gè)14. 100115. 1.116.332-X3 148倍+糾1.【解】原式=丿179十921T11179 TX=24179Ze h E/212 33一-X 一g3 14解法二：原式=21 11S 7179955147-E8=24179=21= 21算這個(gè)題時(shí)，要注意兩點(diǎn):(1)在乘、除運(yùn)算中，代分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，及時(shí)約分;(2)在加、減運(yùn)算中，如果分?jǐn)?shù)、小數(shù)同時(shí)出現(xiàn)，要么都化為分?jǐn)?shù),要么都化為小數(shù)。1 1 2 1 2 2 Z這里，還要指出：2,4,4,

6、S,S,S,S的小數(shù)形式0.5 ,0.25 , 0.75 , 0.125 , 0.375 , 0.625 , 0.875，定要很熟悉，在具體計(jì)算時(shí)，可以節(jié)省時(shí)間。2. 【解】10月有31天，因?yàn)橛?個(gè)星期六，只有4個(gè)星期日，所以 10月31日是星期六.因?yàn)?1 = 4X7+3,所以，3日也是星期六，1日是星期四3. 【解】電子跳蚤每跳12步就回到了原來位置由于 1991 = 165X 12+ 111991所以紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“ 0”的圓圈出發(fā)，按順時(shí)針方向跳了步時(shí)，跳到了標(biāo)有數(shù)字“ 11”的圓圈同理，由1949= 162x12 + 5,知道黑跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“ 0”的圓圈按逆時(shí)針方向跳了 162

7、 個(gè) 12 步后跳到了標(biāo)有數(shù)字“ 7”的圓圈,于是所求的乘積是11X 7= 77答：乘積是 77。4. 【解】能被9整除的四位數(shù)的數(shù)字和是9的倍數(shù)，并且四位數(shù)仃3前三個(gè)數(shù)字的和是11 ,第一次內(nèi)只能填7,能被11整除的四位數(shù)的個(gè)位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù) 字和所得到的差是 11 的倍數(shù),而 7（1 十 3）=3,第二次內(nèi)只能填8,能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和是3的倍數(shù).而173的前 3 個(gè)數(shù)字的和是 11，第二次內(nèi)只能填 4, 7+8 + 4 = 19。故所求的和是 19。5. 【解】不超過 300 的平方數(shù),有：1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,

8、 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289,它們的和是 17851山0前300個(gè)自然數(shù)的和是：1 +2+3+ 300= 2X 300= 45150,于是剩下的自然數(shù)的和 45150仃85 = 43365 6.【解】容器的底面積是：（13 4） X （9 4） = 45（平方厘米）,高為2厘米，所以容器的體積是，45X2= 90（立方厘米）答：容器的體積是90立方厘米。7. 【解】每人的環(huán)數(shù)的積二仃64工0,兩人每箭射中的環(huán)數(shù)里沒有“ 0”和“10”每箭射中的環(huán)數(shù)都是 仃64的因子，而:1764=1 X 2X 2X 3X 3X 7X 7,并且環(huán)數(shù)是不超過10的

9、自然數(shù).必有兩箭是7環(huán)，其它3箭的環(huán)數(shù)是1 2 2 3 7因子。如果最小的因子是1,那么,另外兩個(gè)因子是4、9或者是6、6;如果最小的因子是2,那么,另外兩個(gè)因子是2,9或者是3、6;如果最小的因子是3,那么,另外兩個(gè)因子是3、4。因此，兩人5箭的環(huán)數(shù)有5種可能:7，7，1，4，9，和 =28；7，7，1，6，6，和 =27；7，7，2，2，9，和 =27；7，7，2，3，6，和 =25；7，7，3，3，4，和 =24；甲、乙的總環(huán)數(shù)相差4，甲的總環(huán)數(shù)少,甲的總環(huán)數(shù)是24,乙的總環(huán)數(shù)是28。答：甲、乙的總環(huán)數(shù)分別是 24、 28。8. 【解】從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過的第一條線段，有 3種可能：（1）A

10、B ;(2)AE；(3)AD在每一種可能情形下，各有 3種走法.所以，一共有3X 3=9種走法.答：共有 9 種走法9. 【解】設(shè)原正方形的邊長是 3. 所求的三角形可分兩種情形：（1） 三角形的一邊長 2,這邊上的高是 3 這時(shí),長為 2 的邊只能在原正 方形的邊上,這樣的三角形有 2X4X4= 32（個(gè)） ；（2）三角形的一邊長3,這邊上的高是2,這時(shí)，長為3的邊是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線其中,與（1）重復(fù)的三角形不再算入，這樣的三角形有8X 2= 16（個(gè)）因此，所求的三角形共48個(gè)（包括圖中開始給出的三角形）.+10.【解】1曲019對 1 舵戈1951 1291 =1991

11、 S 165并且s豐噸即S的整數(shù)部分是16511.【解】祖父的年齡比小明的年齡大，兩人的年齡差是不變的因?yàn)榻衲曜娓傅哪挲g是小明的年齡的 6倍.所以年齡差是小明年齡的5倍，從而年齡差是5的倍數(shù).同理，由“幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍”、“又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的 4倍”，知道年齡差是4、3的倍數(shù)，所以，年齡差是：5X 4X 3= 60的倍數(shù)。而60的倍數(shù)是：60,差疋.120,，合理的選擇是60，于是，今年小明的年齡是 60-5=12（歲），祖父的年齡是12X 6= 72（歲）.答：祖父今年是72歲【又解】設(shè)今年小明x歲，那么今年祖父6X歲。y年后，祖父的年 齡是小明的年齡

12、的5倍，所以5 (X + y) =6x + y即x=4y ,又過z年 以后，祖父的年齡是小明的年齡的 4倍,所以 4 (X + y + z) =6x + y+ z 即 2x=3y + 3z祖父今年6x歲, 6x42 孟 16 由3及x = 4y，知x可能是4, 8, 12, 16.2又從2x= 3y+3z,即y + z =三x，知x是3的倍數(shù)，所以x = 12,于是6x = 72。12.【解】4+仃+18+15中有兩項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生被算了 2次，應(yīng)當(dāng)從統(tǒng)計(jì)中去掉1次，成為4 +仃+ 18 + 15- 6-6-5但其中三項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人，開始被算了 3次，然后又被去掉3次，所以還應(yīng)將這部分人數(shù)加進(jìn)

13、來，即全班人數(shù)是：4+仃+18+ 15- 6 -6 -5+ 2= 39【又解】先求至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，看下面這個(gè)圖:圖中時(shí)三個(gè)圓圈分別代表短跑、游泳、籃球達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù), 其中的“1”表示三個(gè)項(xiàng)目都優(yōu)秀的人數(shù)，是：2;“2”表示籃球、游泳達(dá)到優(yōu)秀,但短跑沒有達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，是:6-2= 4;“3”表示籃球、短跑達(dá)到優(yōu)秀,但游泳沒有達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，是:5-2= 3;8；8；“4”表示游泳、短跑達(dá)到優(yōu)秀,但籃球沒有達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生數(shù),“5”表示只有短跑一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，是:“6”表示只有游泳一項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，是:仃一(2+3+ 4)=18( 2+4+ 4)=“7”表示只有籃球一

14、項(xiàng)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，是：15( 2+4+ 3)=6,只有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)是：2 + 4+ 3 + 4 + 8 + 8+ 6= 35還有4個(gè)人在三個(gè)項(xiàng)目上未達(dá)到優(yōu)秀，所以全班學(xué)生數(shù)是35 + 4= 39答：這個(gè)班有39名學(xué)生。13.【解】6、7、8、9的最小公倍數(shù)是504;五位數(shù)中，最小的是 10000,最大的是99999:WOOO 424 999992,0=yF= 1 y a 504504 504504五位數(shù)中，能被504整除的有198- 19=仃9(個(gè))答：有179個(gè)14.【解】原式=1 + (5 3) + (9 7) + (13 11) + + (2001 1999) =1 + 2X 500= 1001.15.【解】每個(gè)圓環(huán)的面積是 n(F-4 = 9n.如果五個(gè)圓環(huán)彼此沒有重合的部分，則它們的總面積是：5X 9n =45n,因?yàn)槲瀛h(huán)蓋住的總面積是132.5，所以每個(gè)小曲邊四邊形的面積是45；t-132.538