北京數(shù)學(xué)中考一模-新定義創(chuàng)新題(帶答案)

1、西城29、給出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形和，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為上任一點(diǎn)，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形和之間的距離在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，0）則點(diǎn)B（2，3）和射線OA之間的距離為_，點(diǎn)C（-2,3）和射線OA之間的距離為_；（2）如果直線y=x和雙曲線之間的距離為，那么k=_；（可在圖1中進(jìn)行研究）（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），將射線OE繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線OF，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形M請?jiān)趫D2中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示）將射線OE

2、,OF組成的圖形記為圖形W，拋物線與圖形M的公共部分記為圖形N，請直接寫出圖形W和圖形N之間的距離解析：29.解：（1）3，（每空各1分）（2）-1；（3）如圖9，過點(diǎn)O分別作射線OE,OF的垂線OG、OH，則圖形M為：y軸正半軸，的邊及其內(nèi)容的所有點(diǎn)（圖中的陰影部分）.推薦精選說明：（畫圖2分，描述1分）（圖形M也可以描述為：y軸正半軸，直線下方與直線下方重疊的部分（含邊界）東城29定義符號(hào)的含義為：當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), 如：，(1)求; (2)已知, 求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3) 已知當(dāng)時(shí)，.直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：29解：（1）， . . . 2分推薦精選 (2) , . ， . . 5分

3、 (3) . 8分朝陽29定義:對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點(diǎn)M，在MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2時(shí)，稱M為PQ的“等高點(diǎn)”，稱此時(shí)MP+MQ為PQ的“等高距離” （1）若P(1，2)，Q(4，2) 在點(diǎn)A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高點(diǎn)”是 ；若M（t，0）為PQ的“等高點(diǎn)”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時(shí)t的值. （2）若P(0，0)，PQ=2，當(dāng)PQ的“等高點(diǎn)”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)解析：29. 解:（1）A、B 2分（2）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PQ，PQ與x軸的交點(diǎn)即為“等高點(diǎn)”M，此時(shí)“等高距離”最小，最

4、小值為線段PQ的長. 3分P (1，2)， P (1，2).推薦精選設(shè)直線PQ的表達(dá)式為，根據(jù)題意，有，解得.直線PQ的表達(dá)式為. 4分當(dāng)時(shí)，解得. 即. 5分根據(jù)題意，可知PP4，PQ3， PQPP，.“等高距離”最小值為5. 6分（3）Q（，）或Q（，）. 8分海淀29在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的限變點(diǎn)例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是（1）點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是_；在點(diǎn)，中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上某一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是_（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求的取值范圍；（3）若點(diǎn)在關(guān)于的二次函數(shù)的圖象上，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

5、取值范圍是或，其中推薦精選令，求關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍解析：29(本小題滿分8分)解：（1） ；1分 點(diǎn)B 2分（2）依題意，圖象上的點(diǎn)P的限變點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上，即當(dāng)時(shí)，取最大值2當(dāng)時(shí)， 3分當(dāng)時(shí)，或或 4分，由圖象可知，的取值范圍是5分（3） ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為6分若，的取值范圍是或，與題意不符若，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即； 當(dāng)時(shí)，的值小于，即推薦精選關(guān)于的函數(shù)解析式為 7分當(dāng)t=1時(shí)，取最小值2的取值范圍是2 8分豐臺(tái)29. 設(shè)點(diǎn)Q到圖形W上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q到圖形W的距離.例如正方形ABCD滿足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么點(diǎn)O(0，0)到正方形A

6、BCD的距離為1.（1）如果P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點(diǎn)O(0，0)到P的距離為 ； （2）求點(diǎn)到直線的距離；如果點(diǎn)到直線的距離為3，那么a的值是 ；（3）如果點(diǎn)到拋物線的距離為3，請直接寫出的值. 解析：29. （1）4；.2分（2）直線記為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)與軸的交點(diǎn)分別為，則.3分 推薦精選，即點(diǎn)到直線的距離為.4分.6分（3）或.8分通州29如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，3)、B(6，3)，連結(jié)AB. 若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ1，則稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”（1）判斷點(diǎn)D，是否線段AB的“鄰近點(diǎn)” （填“是”或“否”）；（2）若

7、點(diǎn)H (m，n)在一次函數(shù)的圖象上，且是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍（3）若一次函數(shù)的圖象上至少存在一個(gè)鄰近點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍.解析：29.（1）點(diǎn)D是線段AB的“鄰近點(diǎn)”； .(2分)（2）點(diǎn)H（m，n）是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，點(diǎn)H（m，n）在直線yx1上， nm1; .(3分)推薦精選直線yx1與線段AB交于（4，3） 當(dāng)m4時(shí)，有nm13，又ABx軸， 此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是n3，0n31，4 m5，.(4分) 當(dāng)m4時(shí)，有nm1 n3，又ABx軸， 此時(shí)點(diǎn)H（m，n）到線段AB的距離是3n，03n1， 3m4， .(5分)綜上所述，3m5; .(6分)(3)

8、 .(8分) 房山29.【探究】如圖1，點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)且與軸平行的直線，過點(diǎn)N作直線NHl，垂足為H. 計(jì)算: m=0時(shí)，NH= ; m=4時(shí)，NO= .猜想: m取任意值時(shí)，NO NH(填“”、“”或“”).【定義】我們定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線l（點(diǎn)F不在直線l上）距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線，其中點(diǎn)F叫做拋物線的“焦點(diǎn)”，直線l叫做拋物線的“準(zhǔn)線”.如圖1中的點(diǎn)O即為拋物線的“焦點(diǎn)”，直線l:即為拋物線的“準(zhǔn)線”.可以發(fā)現(xiàn)“焦點(diǎn)”F在拋物線的對(duì)稱軸上.推薦精選【應(yīng)用】（1）如圖2，“焦點(diǎn)”為F(-4，-1)、“準(zhǔn)線”為l的拋物線與y軸交于點(diǎn)N（0，2），點(diǎn)M為直

9、線FN與拋物線的另一交點(diǎn).MQl于點(diǎn)Q，直線l交y軸于點(diǎn)H.直接寫出拋物線y2的“準(zhǔn)線”l： ；計(jì)算求值：圖2圖3圖1（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的O與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），直線與O只有一個(gè)公共點(diǎn)F，求以F為“焦點(diǎn)”、x軸為“準(zhǔn)線”的拋物線的表達(dá)式.解析：29.解：【探究】 1 ; 5 ; 2分圖3 . 3分 【應(yīng)用】（1）； 4分 1 . 5分 （2）如圖3，設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)C. 由題意可知直線CF切O于F，連接OF.OFC=90 COF=60又OF=1，推薦精選OC=2 “焦點(diǎn)”、.6分 拋物線的頂點(diǎn)為. 當(dāng)“焦點(diǎn)”為，頂點(diǎn)為， 時(shí)

10、，易得直線CF1：. 過點(diǎn)A作AMx軸，交直線CF1于點(diǎn)M. 在拋物線上. 設(shè)拋物線，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得： 7分當(dāng)“焦點(diǎn)”為，頂點(diǎn)為，時(shí)，由中心對(duì)稱性可得： 8分綜上所述：拋物線或.推薦精選懷柔29. 對(duì)某種幾何圖形給出如下定義： 符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.例如,平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑的圓.圖2圖1（1）如圖1，在ABC中，AB=AC，BAC=90，A(0，2)，B是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C在坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的軌跡是直線DE，且DEx軸于點(diǎn)G. 則直線DE的表達(dá)式是 . （2）當(dāng)ABC是等邊

11、三角形時(shí)，在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)C形成的軌跡也是一條直線. 當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí)，ACx軸，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是 .在備用圖中畫出動(dòng)點(diǎn)C形成直線的示意圖，并求出這條直線的表達(dá)式.設(shè)中這條直線分別與x,y軸交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H在線段OF上運(yùn)動(dòng)，（不與O、F重合），且CH=CE,則CE的取值范圍是 .備用圖1備用圖2推薦精選解析：29. 解：（1）x=2. 1分.（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為: 3分.由C點(diǎn)坐標(biāo)為: 再求得其它一個(gè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，如（，1），或（0，-2）等代入表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，解得.直線的表達(dá)式是.5分. 動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成直線如圖所示. 6分.8分.門頭溝29如圖，在平

12、面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，如果AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點(diǎn)之間部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線的準(zhǔn)蝶形，頂點(diǎn)M稱為碟頂，線段AB的長稱為碟寬（1）拋物線的碟寬為 ，拋物線y=ax2（a0）的碟寬為 （2）如果拋物線y=a(x1)26a（a0）的碟寬為6，那么a= （3）將拋物線yn=anx2+bnx+cn（an0）的準(zhǔn)蝶形記為Fn（n=1，2，3，），我們定義F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比如果Fn與Fn-1的相似比為，且推薦精選Fn的碟頂是Fn-1的碟寬的中

13、點(diǎn)，現(xiàn)在將（2）中求得的拋物線記為y1，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1 求拋物線y2的表達(dá)式； 請判斷F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是否在一條直線上？如果是，直接寫出該直線的表達(dá)式；如果不是，說明理由解析：29（本小題滿分8分）解：（1）4，；2分（2）；3分（3） F1的碟寬F2的碟寬=2：1， . a1=， a2=.4分又 由題意得F2的碟頂坐標(biāo)為（1，1），5分 .6分 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)在一條直線上；7分其解析式為y=x+58分 石景山29在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，以為圓心，為半徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為推薦精選給出如下定義：若線段，和直線上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，使得四邊形是矩形

14、（點(diǎn)順時(shí)針排列），則稱矩形為直線的“理想矩形”例如,下圖中的矩形為直線的“理想矩形”備用圖（1）若點(diǎn)，四邊形為直線的“理想矩形”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；（2）若點(diǎn)，求直線的“理想矩形”的面積；（3）若點(diǎn)，直線的“理想矩形”面積的最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 解析：29解：（1）2分（2）連結(jié)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)則，在中，由勾股定理在中，由勾股定理得，所求“理想矩形”面積為 推薦精選5分（3）“理想矩形”面積的最大值是5 6分 8分延慶29. 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和線段AB，給出如下定義：在線段AB外有一點(diǎn)P，如果在線段AB上存在兩點(diǎn)C、D，使得CPD=90，那么就把點(diǎn)P叫做線段AB的懸垂點(diǎn)（1）

15、已知點(diǎn)A（2，0），O（0，0）若，D（1，1），E（1，2），在點(diǎn)C，D，E中，線段AO的懸垂點(diǎn)是_；如果點(diǎn)P（m，n）在直線上，且是線段AO的懸垂點(diǎn)，求的取值范圍；（2）如下圖是帽形M（半圓與一條直徑組成，點(diǎn)M是半圓的圓心），且圓M的半徑是1，若帽形內(nèi)部的所有點(diǎn)是某一條線段的懸垂點(diǎn)，求此線段長的取值范圍推薦精選-2分解析：29.（1）線段AO的懸垂點(diǎn)是C，D；（2）以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑做圓，設(shè)與D 交于點(diǎn)B，C與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），（0，-1）-3分ODB=45 DE=BE 在RtDBE中，-4分由勾股定理得：DE=-6分 （3）設(shè)這條線段的長為a 當(dāng)時(shí)，如圖1，凡是D外的點(diǎn)不滿足條件； 當(dāng)時(shí)，如圖2，所有的點(diǎn)均滿足條件；-8分 當(dāng)時(shí)，如圖3，所有的點(diǎn)均滿足條件； 綜上所述：圖2圖1圖3燕山29在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)例如點(diǎn)（1，1），(，)，(，)，都是和諧點(diǎn)（1）分別判斷函數(shù)和的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)(，)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為3，最大值為1，求的取值范圍（3）直線經(jīng)過和諧點(diǎn)P，與軸交于點(diǎn)D，與反比例函數(shù)的圖象交于推薦精選M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，且，請直接寫出的取值范圍圖2