控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、第第4 4章章 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性 對于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，對于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（經(jīng)典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（A. M. Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版專著年出版專著運(yùn)動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般運(yùn)動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題問題，使得，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個(gè)柱石之一。幾個(gè)柱石之一。本章的主要內(nèi)

2、容為本章的主要內(nèi)容為1. 引言引言2. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3. 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法5. 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4. 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6. 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定7. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定義定義：稱一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（稱一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對任何一個(gè)有界輸入）是指對任何一個(gè)有界輸入u(t)，即：即：u(t)1， ), 0tt的任意輸入的任意輸入u(t)，對應(yīng)的輸出，對應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即均為有界，即 ),)(02ttty結(jié)論結(jié)論

3、1：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)，t t0,+），），則則t0時(shí)刻系統(tǒng)時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)為，存在一個(gè)有限正常數(shù)，使對一切，使對一切 t t0,+)脈沖響應(yīng)矩陣脈沖響應(yīng)矩陣H(t,)所有元所有元hij(t,)均滿足關(guān)系式均滿足關(guān)系式 pjqidthttij, 2 , 1, 2 , 1),(0 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)特性基本結(jié)構(gòu)特性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀

4、態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。在一定條件下，外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性才存部穩(wěn)定性。在一定條件下，外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性才存在等價(jià)關(guān)系在等價(jià)關(guān)系。外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性結(jié)論結(jié)論2：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，令系統(tǒng)，令t0=0,則則系統(tǒng)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：存在一個(gè)有限正常數(shù)為：存在一個(gè)有限正常數(shù)，使脈沖響應(yīng)矩陣，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元所有元hij(t)均滿足關(guān)系式均滿足關(guān)系式 pjqit dthij, 2 , 1, 2 , 1)(0結(jié)論結(jié)論3：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)

5、間線性維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變系統(tǒng)，令初始時(shí)系統(tǒng)，令初始時(shí)刻刻t0=0，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。定義定義：稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始任意非零初始狀態(tài)狀態(tài)X(t0)=X0引起的零輸入響應(yīng)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對對tt0,+)有界，并滿足漸近屬性，即：有界，并滿足漸近屬性，即： 0)(limtXout內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性結(jié)論結(jié)論4：設(shè)設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線性維連續(xù)時(shí)間線性

6、時(shí)變時(shí)變自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) ),)()(000ttxttxxAx 系統(tǒng)在系統(tǒng)在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0)對所有對所有tt0,+為有界，并滿足：為有界，并滿足： 0),(lim0ttt結(jié)論結(jié)論5：對對n維連續(xù)時(shí)間線性維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變時(shí)不變自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) 0)0(0txxAxx 內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為 0limAtte或矩陣或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Rei(A)0 , 則稱二次型則稱二次型f為為正定正定的，的，Q稱為正定矩陣，記為稱為正定矩陣，記為Q0 。 x

7、 0 , 若若xTQx 0 ,，則稱二次型，則稱二次型f為為半正定半正定的，的，Q稱為半正定矩陣，記為稱為半正定矩陣，記為Q0 。若若xTQx 0 (0) ,稱稱f為負(fù)定的為負(fù)定的(半負(fù)定的半負(fù)定的)，Q稱為稱為負(fù)定負(fù)定(半負(fù)定半負(fù)定)矩陣，記為矩陣，記為 Q 0 (i=1,2,n)，則Q為正定的。(2)若i ，則Q為負(fù)定的。0 i為偶數(shù)0 i為奇數(shù)(3)若i ， ，則Q為半正定的。 0 i= (1,2,n-1)= 0 i=n(4)若i ，則Q為半負(fù)定的。 0 i為偶數(shù) 0 i為奇數(shù)= 0 i=nf (x1, x2, , xn)=xTQx正定f (x1, x2, , xn)=xTQx負(fù)定f (

8、x1, x2, , xn)=xTQx半正定f (x1, x2, , xn)=xTQx半負(fù)定f (x1, x2, , xn)=xTQx4.3 4.3 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；僅當(dāng)；僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；則稱；則稱 為正定的。除了為正定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半正定的。為半正定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；僅當(dāng)；僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；則稱；則稱 為負(fù)定的。

9、除了為負(fù)定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半負(fù)定的。為半負(fù)定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為負(fù)定。為負(fù)定。 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV例例4-24-2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)

10、的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx選取選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足函數(shù)，顯然是正定的，即滿足00)(00)(xxxxVV可見，可見， 是負(fù)定的，即滿足是負(fù)定的，即滿足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。0exx)(xV例；設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為例；設(shè)

11、系統(tǒng)狀態(tài)方程為)()(22212122221121xxxxxxxxxx試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且x，有，有V(x) ，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 )(22221xx解：解：由平衡狀態(tài)方程得由平衡狀態(tài)方程得 0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡狀態(tài)為解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0, x2=0, 即即xe=0, 為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。選選取一正定的標(biāo)量函數(shù)取一正定的標(biāo)量函數(shù) 2221xxx定理定理4

12、-24-2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為半負(fù)定；為半負(fù)定；3）除了）除了 平衡狀態(tài)外，平衡狀態(tài)外，還有還有 的點(diǎn)，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有的點(diǎn)，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV0)(xV（注：本定理是將定理注：本定理是將定理4-14-1的條件稍

13、微放寬了一點(diǎn)）的條件稍微放寬了一點(diǎn)）對為數(shù)不少的系統(tǒng)，對為數(shù)不少的系統(tǒng)，4-1中的條件中的條件“李導(dǎo)李導(dǎo)為負(fù)定為負(fù)定”是構(gòu)造是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)函數(shù)V(x)的主要困難，可適當(dāng)放寬該條件。的主要困難，可適當(dāng)放寬該條件。例例4-34-3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而221122)(xxxxVx

14、將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可見，當(dāng)可見，當(dāng) 和任意的和任意的 時(shí)，有時(shí)，有 ，而，而 和任意和任意 時(shí)，時(shí)， 。又因?yàn)?。又因?yàn)?，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有在整條狀態(tài)軌線上不會有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。0exx)(xV定理定理4-34-3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xV

15、x0ex)(xV)(xV0ex在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定；2） 為半負(fù)定；為半負(fù)定； 則則 為一致穩(wěn)定的。為一致穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致穩(wěn)定的。是大范圍一致穩(wěn)定的。 )(xV（注：本定理只是比定理（注：本定理只是比定理4-2少了第少了第3個(gè)條件，不能保證個(gè)條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）)(xV因?yàn)橐驗(yàn)?0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 ，則系，則系統(tǒng)可能收斂

16、到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此 是一致穩(wěn)是一致穩(wěn)定的。定的。0)(xV0ex例例4-44-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1221xxkxx其中，其中， k 為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 為為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。意義下

17、一致穩(wěn)定。 0ex例：例： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ， 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 212211xxxxxx解：解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221 xxxv02222)(22212211 xxxxxxxv可見系統(tǒng)在可見系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。處是不穩(wěn)定的。例：例： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 21221xxxxx解：解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221 xxxv)(0222)(222211正半

18、定正半定 xxxxxxv由于當(dāng)由于當(dāng)x1為任意值，為任意值， x2=0時(shí)時(shí) 而而，0)( xv 01212 xxxx所以所以x2=0是暫時(shí)的，是暫時(shí)的， 不會恒等于零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。不會恒等于零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。222)(xxv 例：例： 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ， 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。211221)(1x|x|xxxx解：解：顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221xxxV)(12)(122|x|xxV系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是處是李亞普諾夫意義下的李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。穩(wěn)定。0)(11xV|x|時(shí)，當(dāng)

19、0)(11xV|x|時(shí)，當(dāng)0)(11xV|x|時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。處是不穩(wěn)定的。定理定理4-44-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。)(xV例例4-54-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為21221xxxxx分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀

20、態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。 0ex 應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)函數(shù)的一般方法。因?yàn)榈囊话惴椒?。因?yàn)長yapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個(gè)系統(tǒng)來說，找不到合適的分條件。因此，對于某個(gè)系統(tǒng)來說，找不到合適的Lya

21、punov函數(shù)，函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結(jié)論）。沒有得出結(jié)論）。變量梯度法變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng) 0)(txfx xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)， (1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度的梯度V(x) nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVxVxVV2211121211111)()()()()(xxxxx構(gòu)造原則：構(gòu)造原則：先按定理?xiàng)l

22、件構(gòu)造候選李亞普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此基先按定理?xiàng)l件構(gòu)造候選李亞普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此基礎(chǔ)上定出李亞普諾夫函數(shù)，進(jìn)一步再判斷候選李亞普諾夫函數(shù)的正礎(chǔ)上定出李亞普諾夫函數(shù)，進(jìn)一步再判斷候選李亞普諾夫函數(shù)的正定性。若判斷成立則構(gòu)造成功，否則構(gòu)造失敗。定性。若判斷成立則構(gòu)造成功，否則構(gòu)造失敗。其中其中aij=常數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)。常數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)。(2)按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對梯度按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對梯度V(x)的限制的限制jixVxVjiij)()(xx0)(0)(xxxTVdtdVxxxxxxTnnnnVxxxVxVdtdxxVdtdxxVdtxdV)()(,)()()()(011

23、11xxxxxxxx000)(0)()()()()(dVdtVdtdtdVdVVTtTtxV矢量的積分矢量的積分與路徑無關(guān)矢量的積分與路徑無關(guān)則旋度則旋度rotV(x)=0設(shè)梯度V(x)對應(yīng)于有勢場nnnnnnTxVxVxVxVxVxVxVxVxVV)()()()()()()()()()(212221212111xxxxxxxxxxxnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVV221112121111)()()(xxx(n n-n)/2個(gè)方程個(gè)方程(3)確定確定V(x)的待定系數(shù)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，n） (4) 定出對應(yīng)梯度定出對應(yīng)梯度V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)的候選李亞普諾

24、夫函數(shù)V(x)xntTtVdVVdtVdtdtdVdVV0100)(0)()()()()()(xxxxxxxxx0)(0)(xxxTVdtdV),(0)0,(022)0(01111113112321)()()(nnnnnxxxxxnnxxxxxxxxxdxVdxVdxVxxx(5)判斷判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性計(jì)算結(jié)果的正定性例：試用例：試用變量梯度法變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡確定下列非線性系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。狀態(tài)的穩(wěn)定性。2212211xxxxxx22121222121212111)()(xxxxxxxaxaxaxaVdtxdVT32

25、12222212122222121122111)(xxaxxaxaxxaaxa(1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度的梯度V(x) 22212121211121)()()(xaxaxaxaVVVxxx(2)按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對梯度按穩(wěn)定性結(jié)論給出的條件引入對梯度V(x)的限制的限制21122112)()(axVxVaxx旋度旋度rotV(x)=0(3)確定確定V(x)的待定系數(shù)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，n） 0)(0)(xxxTVdtdV21122112)()(axVxVaxx222121)1 ()(xxxxxVxVxxxx是負(fù)定的則或當(dāng))(, 1,

26、01:2121試選試選： a11= a22 =1，a12 =a21=0，則，則(4) 定出對應(yīng)梯度定出對應(yīng)梯度V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)的候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx)(212221)(022)0(01111221xxdxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在x1x21的范圍內(nèi)，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。的范圍內(nèi)，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。是否為大范圍是否為大范圍漸近穩(wěn)定的？漸近穩(wěn)定的？2121)()()(xxVVVxxx李亞普諾夫函數(shù)的選擇是非唯一的。李亞普諾夫函數(shù)的選擇是非唯一的。0)(0)(xxxTVdtdV

27、221221223)()(3xxVxVxxx2221212221)31 (3)(xxxxxxxxVxVxx是負(fù)定的則當(dāng))(,310:21再選再選： a11= 1，a22 =3，a12 =x22，a21= 3x22 ，則則)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx3212221)(022221)0(0112321)33(11221xxxxdxxxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在1/3 x1x2 0 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的. 原則上Q為任意正定對稱陣，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判斷結(jié)果與Q的不同選取無關(guān)。具體應(yīng)用時(shí)，Q常常取為正定對角陣或單位

28、陣正定對角陣或單位陣，以簡化計(jì)算結(jié)果。線性線性時(shí)變時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)自閱自閱 4.5 4.5 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)() 1(kkGxx（8）0ex系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0ex假設(shè)假設(shè)G 為為 維非奇異常數(shù)陣，維非奇異常數(shù)陣， 是唯一的平衡狀態(tài)。是唯一的平衡狀態(tài)。nn選取選取Lyapunov函數(shù)函數(shù))()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 為為 正定的對稱常數(shù)，因此正定的對稱常數(shù)，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分為的差分為)()()()() 1

29、() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 處漸近穩(wěn)定，要求處漸近穩(wěn)定，要求 為負(fù)定的。所以為負(fù)定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 為正定。為正定。給定一個(gè)正定對稱常數(shù)陣給定一個(gè)正定對稱常數(shù)陣Q ，求，求P 陣，并驗(yàn)證其正定性。陣，并驗(yàn)證其正定性。QP-PGGT（10）例例4-74-7 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。)(02110) 1(kkxx解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位

30、矩陣陣為單位矩陣I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即0380035可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex4.6 4.6 有界輸入有界輸入- -有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定4.6.1 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸

31、入，其輸出也是有界的，稱為為BIBO系統(tǒng)。系統(tǒng)。如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 uu1K如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的線性定常系統(tǒng)。描述的線性定常系統(tǒng)。CxyBuAxx為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為ttttd)()()(0uHy（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)K3，有，有td)(0H3K或者對于或者對于

32、的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例例4-8 線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為uaxxcxy atcth e)(分析系統(tǒng)是否分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。穩(wěn)定。解解001dd)(00aaacecha可見，只有當(dāng)可見，只有當(dāng) 時(shí)，才有有限值時(shí)，才有有限值 存在，系統(tǒng)才是存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。3K0a4.6.2 BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對于線性定常系統(tǒng)對于線性定常系統(tǒng)CxyBuAxx（12）平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 的漸近穩(wěn)定

33、性由的漸近穩(wěn)定性由A 的特征值決定。而的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有極點(diǎn)都是的所有極點(diǎn)都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的極點(diǎn)?？赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對消。所以，的極點(diǎn)?？赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對消。所以， 處的漸近穩(wěn)定就包含處的漸近穩(wěn)定就包含了了BIBO穩(wěn)定，而穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是穩(wěn)定卻可能不是 處的漸近穩(wěn)定。處的漸近穩(wěn)定。)(sG那么在什么條件下，那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)穩(wěn)定才有平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定呢？漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（結(jié)論是：如果（

34、12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。0ex0ex4.7 4.7 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1 用用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1. 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)

35、方程為非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為00)()(fxfx 其中其中 和和 均為均為n維向量。維向量。 為非線性多為非線性多元函數(shù)，對各元函數(shù)，對各 都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni構(gòu)造構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下函數(shù)如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 為為 正定對稱常數(shù)矩陣正定對稱常數(shù)矩陣nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xx

36、fxJ其中其中稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣（16）)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是負(fù)定的，則是負(fù)定的，則 是負(fù)定的。而是負(fù)定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致漸近穩(wěn)定的。如果是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取 ，這時(shí)，這時(shí))(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST例例4-104-10 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為3221211xxxxxx試分析試