控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

1、第第4 4章章 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性 對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究，經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A. M. Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。）的穩(wěn)定性理論來分析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版專著年出版專著運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問題問題，使得，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經成為控制理論的最重要的穩(wěn)定性理論已經成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。幾個柱石之一。本章的主要內

2、容為本章的主要內容為1. 引言引言2. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3. 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法5. 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4. 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6. 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定7. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析定義定義：稱一個系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（稱一個系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對任何一個有界輸入）是指對任何一個有界輸入u(t)，即：即：u(t)1， ), 0tt的任意輸入的任意輸入u(t)，對應的輸出，對應的輸出y(t)均為有界，即均為有界，即 ),)(02ttty結論結論

3、1：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性維輸出連續(xù)時間線性時變時變系統(tǒng)，系統(tǒng)，t t0,+），），則則t0時刻系統(tǒng)時刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)為，存在一個有限正常數(shù)，使對一切，使對一切 t t0,+)脈沖響應矩陣脈沖響應矩陣H(t,)所有元所有元hij(t,)均滿足關系式均滿足關系式 pjqidthttij, 2 , 1, 2 , 1),(0 穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個基本結構特性基本結構特性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀

4、態(tài)空間描述的內部穩(wěn)定性。在一定條件下，外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性才存部穩(wěn)定性。在一定條件下，外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性才存在等價關系在等價關系。外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性結論結論2：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時間線性維輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，令系統(tǒng)，令t0=0,則則系統(tǒng)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：存在一個有限正常數(shù)為：存在一個有限正常數(shù)，使脈沖響應矩陣，使脈沖響應矩陣H(t)所有元所有元hij(t)均滿足關系式均滿足關系式 pjqit dthij, 2 , 1, 2 , 1)(0結論結論3：對零初始條件對零初始條件p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時

5、間線性維輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，令初始時系統(tǒng)，令初始時刻刻t0=0，則系統(tǒng)，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：真或嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣為：真或嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的的所有極點均具有負實部。所有極點均具有負實部。定義定義：稱連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)在稱連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)在t0為內部穩(wěn)定，是指由時刻為內部穩(wěn)定，是指由時刻t0任意非零初始任意非零初始狀態(tài)狀態(tài)X(t0)=X0引起的零輸入響應引起的零輸入響應Xou(t)對對tt0,+)有界，并滿足漸近屬性，即：有界，并滿足漸近屬性，即： 0)(limtXout內部穩(wěn)定性內部穩(wěn)定性結論結論4：設設n維連續(xù)時間線性維連續(xù)時間線性

6、時變時變自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) ),)()(000ttxttxxAx 系統(tǒng)在系統(tǒng)在t0時刻內部穩(wěn)定的時刻內部穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件為：狀態(tài)轉移矩陣為：狀態(tài)轉移矩陣(t,t0)對所有對所有tt0,+為有界，并滿足：為有界，并滿足： 0),(lim0ttt結論結論5：對對n維連續(xù)時間線性維連續(xù)時間線性時不變時不變自治系統(tǒng)自治系統(tǒng) 0)0(0txxAxx 內部穩(wěn)定的充分必要條件為內部穩(wěn)定的充分必要條件為 0limAtte或矩陣或矩陣A所有特征值均具有負實部，即所有特征值均具有負實部，即：Rei(A)0 , 則稱二次型則稱二次型f為為正定正定的，的，Q稱為正定矩陣，記為稱為正定矩陣，記為Q0 。 x

7、 0 , 若若xTQx 0 ,，則稱二次型，則稱二次型f為為半正定半正定的，的，Q稱為半正定矩陣，記為稱為半正定矩陣，記為Q0 。若若xTQx 0 (0) ,稱稱f為負定的為負定的(半負定的半負定的)，Q稱為稱為負定負定(半負定半負定)矩陣，記為矩陣，記為 Q 0 (i=1,2,n)，則Q為正定的。(2)若i ，則Q為負定的。0 i為偶數(shù)0 i為奇數(shù)(3)若i ， ，則Q為半正定的。 0 i= (1,2,n-1)= 0 i=n(4)若i ，則Q為半負定的。 0 i為偶數(shù) 0 i為奇數(shù)= 0 i=nf (x1, x2, , xn)=xTQx正定f (x1, x2, , xn)=xTQx負定f (

8、x1, x2, , xn)=xTQx半正定f (x1, x2, , xn)=xTQx半負定f (x1, x2, , xn)=xTQx4.3 4.3 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法0)(xV定義定義 如果標量函數(shù)如果標量函數(shù) ，并且當，并且當 時，時， ；僅當；僅當 時，時， ；則稱；則稱 為正定的。除了為正定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使狀態(tài)使 ，稱，稱 為半正定的。為半正定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定義定義 如果標量函數(shù)如果標量函數(shù) ，并且當，并且當 時，時， ；僅當；僅當 時，時， ；則稱；則稱 為負定的。

9、除了為負定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使狀態(tài)使 ，稱，稱 為半負定的。為半負定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為設系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內，標量函數(shù)的某鄰域內，標量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導數(shù)，具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為負定。為負定。 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV例例4-24-2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)

10、的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx選取選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足函數(shù)，顯然是正定的，即滿足00)(00)(xxxxVV可見，可見， 是負定的，即滿足是負定的，即滿足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。是一致漸進穩(wěn)定的。 0ex當當 ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。0exx)(xV例；設系統(tǒng)狀態(tài)方程為例；設

11、系統(tǒng)狀態(tài)方程為)()(22212122221121xxxxxxxxxx試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定該系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV為一負定的標量函數(shù)，且為一負定的標量函數(shù)，且x，有，有V(x) ，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 )(22221xx解：解：由平衡狀態(tài)方程得由平衡狀態(tài)方程得 0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡狀態(tài)為解得唯一的平衡狀態(tài)為x1=0, x2=0, 即即xe=0, 為坐標原點。為坐標原點。選選取一正定的標量函數(shù)取一正定的標量函數(shù) 2221xxx定理定理4

12、-24-2 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為設系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內，標量函數(shù)的某鄰域內，標量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為半負定；為半負定；3）除了）除了 平衡狀態(tài)外，平衡狀態(tài)外，還有還有 的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有的點，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有 則則 為一致漸近穩(wěn)定的。為一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV0)(xV（注：本定理是將定理注：本定理是將定理4-14-1的條件稍

13、微放寬了一點）的條件稍微放寬了一點）對為數(shù)不少的系統(tǒng)，對為數(shù)不少的系統(tǒng)，4-1中的條件中的條件“李導李導為負定為負定”是構造是構造Lyapunov函數(shù)函數(shù)V(x)的主要困難，可適當放寬該條件。的主要困難，可適當放寬該條件。例例4-34-3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為大于零的實數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而221122)(xxxxVx

14、將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可見，當可見，當 和任意的和任意的 時，有時，有 ，而，而 和任意和任意 時，時， 。又因為。又因為 ，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有在整條狀態(tài)軌線上不會有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致漸進穩(wěn)定的。是一致漸進穩(wěn)定的。 0ex當當 ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進穩(wěn)定的。0exx)(xV定理定理4-34-3 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為設系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xV

15、x0ex)(xV)(xV0ex在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內，標量函數(shù)的某鄰域內，標量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定；2） 為半負定；為半負定； 則則 為一致穩(wěn)定的。為一致穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致穩(wěn)定的。是大范圍一致穩(wěn)定的。 )(xV（注：本定理只是比定理（注：本定理只是比定理4-2少了第少了第3個條件，不能保證個條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）)(xV因為因為 0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 ，則系，則系統(tǒng)可能收斂

16、到極限環(huán)，而不收斂到平衡點。因此統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點。因此 是一致穩(wěn)是一致穩(wěn)定的。定的。0)(xV0ex例例4-44-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1221xxkxx其中，其中， k 為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 為為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。意義下

17、一致穩(wěn)定。 0ex例：例： 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ， 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 212211xxxxxx解：解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221 xxxv02222)(22212211 xxxxxxxv可見系統(tǒng)在可見系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。處是不穩(wěn)定的。例：例： 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 21221xxxxx解：解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221 xxxv)(0222)(222211正半

18、定正半定 xxxxxxv由于當由于當x1為任意值，為任意值， x2=0時時 而而，0)( xv 01212 xxxx所以所以x2=0是暫時的，是暫時的， 不會恒等于零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。不會恒等于零，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。222)(xxv 例：例： 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ， 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。211221)(1x|x|xxxx解：解：顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選顯然，原點為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選0)(2221xxxV)(12)(122|x|xxV系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是處是李亞普諾夫意義下的李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。穩(wěn)定。0)(11xV|x|時，當

19、0)(11xV|x|時，當0)(11xV|x|時，當系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe=0處是不穩(wěn)定的。處是不穩(wěn)定的。定理定理4-44-4 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為設系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某鄰域內，標量函數(shù)的某鄰域內，標量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導數(shù)，具有連續(xù)一階偏導數(shù)，并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。)(xV例例4-54-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為21221xxxxx分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀

20、態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。 0ex 應該指出：到目前為止，人類還沒有找到構造應該指出：到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapunov函數(shù)函數(shù)的一般方法。因為的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充第二法給出的結果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lya

21、punov函數(shù)，函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關該既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結論）。沒有得出結論）。變量梯度法變量梯度法設連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)設連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng) 0)(txfx xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)， (1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度的梯度V(x) nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVxVxVV2211121211111)()()()()(xxxxx構造原則：構造原則：先按定理條

22、件構造候選李亞普諾夫函數(shù)的導數(shù)，在此基先按定理條件構造候選李亞普諾夫函數(shù)的導數(shù)，在此基礎上定出李亞普諾夫函數(shù)，進一步再判斷候選李亞普諾夫函數(shù)的正礎上定出李亞普諾夫函數(shù)，進一步再判斷候選李亞普諾夫函數(shù)的正定性。若判斷成立則構造成功，否則構造失敗。定性。若判斷成立則構造成功，否則構造失敗。其中其中aij=常數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)。常數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)。(2)按穩(wěn)定性結論給出的條件引入對梯度按穩(wěn)定性結論給出的條件引入對梯度V(x)的限制的限制jixVxVjiij)()(xx0)(0)(xxxTVdtdVxxxxxxTnnnnVxxxVxVdtdxxVdtdxxVdtxdV)()(,)()()()(011

23、11xxxxxxxx000)(0)()()()()(dVdtVdtdtdVdVVTtTtxV矢量的積分矢量的積分與路徑無關矢量的積分與路徑無關則旋度則旋度rotV(x)=0設梯度V(x)對應于有勢場nnnnnnTxVxVxVxVxVxVxVxVxVV)()()()()()()()()()(212221212111xxxxxxxxxxxnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVV221112121111)()()(xxx(n n-n)/2個方程個方程(3)確定確定V(x)的待定系數(shù)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，n） (4) 定出對應梯度定出對應梯度V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)的候選李亞普諾

24、夫函數(shù)V(x)xntTtVdVVdtVdtdtdVdVV0100)(0)()()()()()(xxxxxxxxx0)(0)(xxxTVdtdV),(0)0,(022)0(01111113112321)()()(nnnnnxxxxxnnxxxxxxxxxdxVdxVdxVxxx(5)判斷判斷V(x)計算結果的正定性計算結果的正定性例：試用例：試用變量梯度法變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡確定下列非線性系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。狀態(tài)的穩(wěn)定性。2212211xxxxxx22121222121212111)()(xxxxxxxaxaxaxaVdtxdVT32

25、12222212122222121122111)(xxaxxaxaxxaaxa(1)選取候選李亞普諾夫函數(shù)選取候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)的梯度的梯度V(x) 22212121211121)()()(xaxaxaxaVVVxxx(2)按穩(wěn)定性結論給出的條件引入對梯度按穩(wěn)定性結論給出的條件引入對梯度V(x)的限制的限制21122112)()(axVxVaxx旋度旋度rotV(x)=0(3)確定確定V(x)的待定系數(shù)的待定系數(shù)aij（i，j=1，2，n） 0)(0)(xxxTVdtdV21122112)()(axVxVaxx222121)1 ()(xxxxxVxVxxxx是負定的則或當)(, 1,

26、01:2121試選試選： a11= a22 =1，a12 =a21=0，則，則(4) 定出對應梯度定出對應梯度V(x)的候選李亞普諾夫函數(shù)的候選李亞普諾夫函數(shù)V(x)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx)(212221)(022)0(01111221xxdxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在x1x21的范圍內，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。的范圍內，平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。是否為大范圍是否為大范圍漸近穩(wěn)定的？漸近穩(wěn)定的？2121)()()(xxVVVxxx李亞普諾夫函數(shù)的選擇是非唯一的。李亞普諾夫函數(shù)的選擇是非唯一的。0)(0)(xxxTVdtdV

27、221221223)()(3xxVxVxxx2221212221)31 (3)(xxxxxxxxVxVxx是負定的則當)(,310:21再選再選： a11= 1，a22 =3，a12 =x22，a21= 3x22 ，則則)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx3212221)(022221)0(0112321)33(11221xxxxdxxxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在1/3 x1x2 0 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的. 原則上Q為任意正定對稱陣，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判斷結果與Q的不同選取無關。具體應用時，Q常常取為正定對角陣或單位

28、陣正定對角陣或單位陣，以簡化計算結果。線性線性時變時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)自閱自閱 4.5 4.5 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)() 1(kkGxx（8）0ex系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0ex假設假設G 為為 維非奇異常數(shù)陣，維非奇異常數(shù)陣， 是唯一的平衡狀態(tài)。是唯一的平衡狀態(tài)。nn選取選取Lyapunov函數(shù)函數(shù))()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 為為 正定的對稱常數(shù)，因此正定的對稱常數(shù)，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分為的差分為)()()()() 1

29、() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 處漸近穩(wěn)定，要求處漸近穩(wěn)定，要求 為負定的。所以為負定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 為正定。為正定。給定一個正定對稱常數(shù)陣給定一個正定對稱常數(shù)陣Q ，求，求P 陣，并驗證其正定性。陣，并驗證其正定性。QP-PGGT（10）例例4-74-7 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。)(02110) 1(kkxx解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位

30、矩陣陣為單位矩陣I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即0380035可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex4.6 4.6 有界輸入有界輸入- -有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定4.6.1 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸

31、入，其輸出也是有界的，稱為為BIBO系統(tǒng)。系統(tǒng)。如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 uu1K如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的線性定常系統(tǒng)。描述的線性定常系統(tǒng)。CxyBuAxx為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為ttttd)()()(0uHy（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)K3，有，有td)(0H3K或者對于或者對于

32、的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 為一個非負的實數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為為一個非負的實數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為例例4-8 線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為uaxxcxy atcth e)(分析系統(tǒng)是否分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。穩(wěn)定。解解001dd)(00aaacecha可見，只有當可見，只有當 時，才有有限值時，才有有限值 存在，系統(tǒng)才是存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。3K0a4.6.2 BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關系穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關系對于線性定常系統(tǒng)對于線性定常系統(tǒng)CxyBuAxx（12）平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 的漸近穩(wěn)定

33、性由的漸近穩(wěn)定性由A 的特征值決定。而的特征值決定。而BIBO的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點決定的。是由傳遞函數(shù)的極點決定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有極點都是的所有極點都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的極點?？赡艽嬖诹銟O點對消。所以，的極點。可能存在零極點對消。所以， 處的漸近穩(wěn)定就包含處的漸近穩(wěn)定就包含了了BIBO穩(wěn)定，而穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是穩(wěn)定卻可能不是 處的漸近穩(wěn)定。處的漸近穩(wěn)定。)(sG那么在什么條件下，那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)穩(wěn)定才有平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定呢？漸近穩(wěn)定呢？結論是：如果（結論是：如果（

34、12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系穩(wěn)定，且系統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在統(tǒng)是既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。0ex0ex4.7 4.7 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1 用用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構造到目前為止，尚沒有構造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。都是根據(jù)經驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1. 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)

35、方程為非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為00)()(fxfx 其中其中 和和 均為均為n維向量。維向量。 為非線性多為非線性多元函數(shù)，對各元函數(shù)，對各 都具有連續(xù)的偏導數(shù)。都具有連續(xù)的偏導數(shù)。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni構造構造Lyapunov函數(shù)如下函數(shù)如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 為為 正定對稱常數(shù)矩陣正定對稱常數(shù)矩陣nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xx

36、fxJ其中其中稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣（16）)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是負定的，則是負定的，則 是負定的。而是負定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致漸近穩(wěn)定的。如果是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取 ，這時，這時)(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST例例4-104-10 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為3221211xxxxxx試分析試