概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件(第六章)

1、第六章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1 引言引言6.2 總體和樣本總體和樣本6.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布6.16.1引引 言言u(píng) 在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，許多問題的不確定現(xiàn)象都是由隨機(jī)因素的影響所造成的u 通常情況下，需要經(jīng)過對(duì)實(shí)際中大量數(shù)據(jù)的處理或理論分析，可以確定這些隨機(jī)因素所要服從的概率分布，根據(jù)其概率分布規(guī)律利用一些統(tǒng)計(jì)方法可對(duì)所研究的問題做出估計(jì)、推斷和預(yù)測(cè)u 具體地講，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法是研究從一定總體中隨機(jī)抽取一部分（稱為樣本）的性質(zhì)，來推斷和預(yù)測(cè)總體的性質(zhì)的一類有效方法u概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和

2、分析帶研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的問題做出推測(cè)和預(yù)測(cè)，直至有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的問題做出推測(cè)和預(yù)測(cè)，直至采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)論、統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這這樣說：但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這這樣說：概率論是數(shù)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用.

3、但是它們但是它們是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系前面講的知識(shí)都屬于概率論的范疇，在那里，隨機(jī)變量及其概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在概率論的許多問題中，概率分布通常被假定為已知的，而一切的計(jì)算推理均基于這個(gè)已知的分布進(jìn)行。例如，已知隨機(jī)變量 求其數(shù)學(xué)期望和方差(3)XE這里的參數(shù)我們是假定已知的，在實(shí)際問題中事先 并不知道，需要我們自己去加以判定。再來看一個(gè)例子：再來看一個(gè)例子： 某公司要采購(gòu)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品要么是正品，要么是次品。若設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為p(一般是未知的),則從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，用X表示抽到的次品數(shù)，不難看出X服從0

4、-1分布。當(dāng)分布中的參數(shù)p是不知道的。而p的大小決定了該批產(chǎn)品的質(zhì)量，它直接影響采購(gòu)行為的經(jīng)濟(jì)效益，因此人們對(duì)p提出一些問題，例如，“p的大小是多少？”，“p大概落在什么范圍內(nèi)” 從這個(gè)例子中我們可以看出，在概率論中研究的隨機(jī)變量，它們的分布往往假定為已知的。但在實(shí)際問題中，我們所考察的隨機(jī)現(xiàn)象雖然可以用某個(gè)隨機(jī)變量X去描述它們，但隨機(jī)變量X的概率分布往往是未知的，這就需要我們用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來解決此類實(shí)際問題。一、總體與個(gè)體一、總體與個(gè)體總體總體：研究對(duì)象的全體。如一批燈泡。個(gè)體：個(gè)體：組成總體的每個(gè)元素。如某個(gè)燈泡。注：對(duì)多數(shù)實(shí)際問題，總體中的個(gè)體是一些實(shí)在的人或物。比如，我們要研究某大學(xué)

5、的學(xué)生身高情況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問題的總體，而每個(gè)學(xué)生即是一個(gè)個(gè)體。 事實(shí)上，每個(gè)學(xué)生都有許多特征：性別、年齡、身高、體重等等，而在該問題中，我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何，對(duì)其他的特征不予考慮。這樣，每個(gè)學(xué)生（個(gè)體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值身高就是個(gè)體，而將所有的身高全體看成總體。 6.2 總體和樣本總體和樣本 這樣一來，若拋開實(shí)際背景，總體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大有小，有的出現(xiàn)機(jī)會(huì)多，有的出現(xiàn)機(jī)會(huì)少，因此用一個(gè)概率分布去描述和歸納是恰當(dāng)?shù)?從這個(gè)意義上看，總體就是一個(gè)分布總體就是一個(gè)分布，而其數(shù)量指標(biāo)而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個(gè)分布的隨機(jī)變量，就是服從這個(gè)分布的隨機(jī)變量，以后說“從總體中抽樣

6、”與“從某分布中抽樣”是同一個(gè)意思。例1：考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則總體=該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品=由0或1組成的一堆數(shù) 設(shè)P表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表示XP011-PP不同的P反映了總體的差異。比如：兩個(gè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為：XP010.9830.017XP010.9150.085 顯然第一個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)于第二個(gè)工廠，但是在實(shí)際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對(duì)之進(jìn)行估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)要研究的問題。二、樣本二、樣本樣本：樣本：為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體

7、，記其指標(biāo)值為 , 則nxxx,.,21nxxx,.,21稱為總體的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量稱為樣本容量，或簡(jiǎn)稱樣本量，樣品：樣品：樣本中的個(gè)體例2：啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g,由于隨機(jī)性，事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g?，F(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取10瓶測(cè)定其凈含量，得到如下結(jié)果：641 635 640 637 642 638 645 643 639 640這是一個(gè)容量為這是一個(gè)容量為10的樣本的觀測(cè)值，對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的樣本的觀測(cè)值，對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。的瓶裝啤酒的凈含量。抽樣：抽樣：從總體X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的取值過程。 從

8、總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對(duì)總體作出較可靠的推斷，就希望樣本能很好的代表總體。這就需要對(duì)抽樣方法提出一些要求，最常用的是“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本(x1,x2,xn)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1. 樣本具有隨機(jī)性：每一個(gè)樣品Xi與總體X具有相同的分布（要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本）2. 樣本具有獨(dú)立性：x1,x2,xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量（即要求樣本中每一個(gè)樣品的取值不影響其他樣品的取值）說明說明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由概率論知，若總體概率論知，若總體X具有密度函數(shù)具有密度函數(shù)f

9、(x)，則樣本，則樣本（x1,x2,xn）具有聯(lián)合密度函數(shù)：）具有聯(lián)合密度函數(shù)：niinnnxfxfxfxfxxxf12121)()()()(),(例3：設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E(),其概率密度為0, 00,)(xxexfxX則來自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 的聯(lián)合概率密度為nxxx,.,21其他, 0),.,2 , 1(0,)()()(121nixexfxfxfixnnXXXnii例4：考慮電話交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)的呼喚次數(shù)X,求來自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 的樣本分布。解：由概率論知識(shí)，X服從泊松分布P(),其分布律為)0(!)(exxXpxpxX則來自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 的聯(lián)合分布律為

10、nxxx,.,21nnxnXXXexxxxpxpxpnii!)()()(21211nxxx,.,216.3 統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布 樣本來自總體，樣本觀測(cè)值中含有總體的各種信息，但這些信息較為分散，有時(shí)顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中的有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工，其中最常用的一種方法就是構(gòu)造關(guān)其中最常用的一種方法就是構(gòu)造關(guān)于樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。于樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義：設(shè)定義：設(shè) 為取自總體的樣本，若關(guān)于樣本的函為取自總體的樣本，若關(guān)于樣本的函數(shù)數(shù) 中不含有任何未知參數(shù)，則稱中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為

11、統(tǒng)為統(tǒng)計(jì)量。計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。抽樣分布。例如：若x1,x2,xn為樣本，則 都是統(tǒng)計(jì)量；而當(dāng) 未知時(shí)，211,nniiiixx, 2211() ,nniiiixx都不是統(tǒng)計(jì)量。nxxx,.,21),.,(21nxxxTT 一些常用的統(tǒng)計(jì)量一些常用的統(tǒng)計(jì)量一些常用的統(tǒng)計(jì)量一些常用的統(tǒng)計(jì)量例如：某單位收集到20名青年人某月的娛樂支出費(fèi)用數(shù)據(jù)79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 108 110 113 118 125樣本均值4 .99X樣本方差9368.133)4 .99125()4 .9984()4 .9979(1201)

12、(11222122niiXXns樣本標(biāo)準(zhǔn)差5731.119368.1332ss-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4 正態(tài)分布正態(tài)分布),(2N密度函數(shù)：222)(21)(pxexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(p其中為均值，2為方差，x.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xexpjdyexyx2221)(Fp， 分布函數(shù) 幾個(gè)在統(tǒng)計(jì)中常用的概率分布幾個(gè)在統(tǒng)計(jì)中常用的概率分布 有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的

13、密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”0510152000.020.040.060.080.10.120.140.16分位數(shù)。的卡方分布的為自由度為的稱滿足（，對(duì)給定的當(dāng)隨機(jī)變量nnnPn)()() 10)(22222注：分位數(shù)的值可以人表中查到。307.18)10(,05. 0,1005. 02n例如：-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4分位數(shù)。分布的的為自由度為的稱滿足（，對(duì)給定的當(dāng)隨機(jī)變量tnntnttPntt)()() 10)(注：分位數(shù)的值可以人表中查到。8125. 1)10(,05. 0,1005. 0tn例如：00.51

14、1.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線分位數(shù)。分布的的與為自由度為的稱滿足（對(duì)給定的當(dāng)隨機(jī)變量FnmnmFnmFFPnmFF),(),() 10),(注：分位數(shù)的值可以人表中查到。33. 3)10, 5(,05. 0,10, 505. 0Fnm例如：3 . 033. 31)10, 5(1)5 ,10(),(),(05. 095. 01FFnmFnmF本章小結(jié)本章小結(jié)1. 總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本2. 統(tǒng)計(jì)量及其常用分布統(tǒng)計(jì)量及其常用分布3. 分布、分布、t分布、分布、F分布分布24. 正態(tài)總體的抽樣

15、分布正態(tài)總體的抽樣分布總體、個(gè)體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的概念，要求：識(shí)記識(shí)記考核的知識(shí)點(diǎn)考核的知識(shí)點(diǎn)1. 總體與樣本總體與樣本2. 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量2.1 統(tǒng)計(jì)量的概念，要求：識(shí)記識(shí)記2.2 樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩的概念，要求：識(shí)記識(shí)記3. 幾種統(tǒng)計(jì)量的分別幾種統(tǒng)計(jì)量的分別3.1 分布、t分布、F分布的結(jié)構(gòu)性定義及性質(zhì)，要求：識(shí)記識(shí)記23.2 分位數(shù)的概念，要求：領(lǐng)會(huì)領(lǐng)會(huì)3.3 查表計(jì)算常用分布的分位數(shù)，要求：簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用4. 正態(tài)總體的抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布，要求：簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用定義定義 6.1 (統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量)12,nx xx設(shè)為取自某總體的樣本,若樣本12

16、(,),.nTT x xxT不函數(shù)中則稱含有任何未知數(shù)為統(tǒng)計(jì)參量量統(tǒng)計(jì)量的分布成為抽樣分布抽樣分布.21211(1),.nnniiiix xxxx注： 若為樣本 則都是統(tǒng)計(jì)量2211(2),() ,.niixx 當(dāng) ,未知時(shí)等均不是統(tǒng)計(jì)量121211.,1nnniix xxxxxxnnxx樣樣本均值：設(shè)為取自某總體的樣本,其算術(shù)平均值稱為，一般用 表示,即本本均均值值1222122.,1()1.nniix xxsxsxxns樣本方差：設(shè)為取自某總體的樣本 則它關(guān)于樣本均值 的平均偏差平方和樣方差稱為，其算術(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差本本幾個(gè)重要概念幾個(gè)重要概念123.,nx xx樣本矩設(shè)是樣本,則統(tǒng)

17、計(jì)量11nkkiiaxnk稱為,特別地,樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本 階原點(diǎn)矩樣本均值.統(tǒng)計(jì)量11()nkkiibxxn2.nSk稱為 表示二階樣本樣本 階中心中心矩矩幾個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量的分布幾個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量的分布21(.)卡布方分布分12,(0,1),nXXXN定義設(shè)獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則2222122,nXXXn的分布稱為自由度為 的分布分布22( ).n記為2. F分布分布221212( ),( ),Xm Xn XX定義設(shè)與相互獨(dú)立 則稱12,( , )mnFFFXmXnnFm的分布是自由度為 與 的 分布 記為,.mn其中 稱為稱分子自由度分母自由度為( , ),0,( , )( , )FF m nP FF m nF m nmnF當(dāng)隨機(jī)變量時(shí) 對(duì)給定的稱滿足的數(shù)是自由度為 與 的 分布的 分位數(shù).11( ,)( , )F n mFm n注：3 .t分布分布21212(0,1),( ),XXXNXn定義設(shè)與相互獨(dú)立,且則稱12,XtXnnt的分布是自由度為 的 分布(.)tt n記為2.xs一般正態(tài)總體的和樣本的抽均值樣本方樣分布差重要結(jié)論重要結(jié)論212,( ,),nx xxN 定理 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本 其樣本均值和樣本方差分別為11niixxn2211()1niisxxn和和則有則有2(1);xs與 相互獨(dú)立222(1)(2)(1).nsn() (1).n