工程力學第10章

1、魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編101 壓桿穩(wěn)定的概念及工程實例1011 壓桿穩(wěn)定的工程實例 如圖10-1所示，氣閥的挺桿、汽車液壓缸活塞桿等均屬于受軸向壓力作用的細長桿件。當軸向壓力達到某一數(shù)值時，細長桿件將會失去直線形式的平衡而變彎，從而喪失正常工作能力，當壓力過大時，甚至因變彎而折斷，這種失效形式稱為壓桿喪失穩(wěn)定性而失效。 圖10-1 受壓直桿的工程實例魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編101 壓桿穩(wěn)定的概念及工程實例1012 壓桿穩(wěn)定性的概念圖10-2 受壓直桿穩(wěn)定性實驗a) 受壓直桿 b) F小于Fcr時 c) F=F

2、cr時b)c)a) 為了說明壓桿穩(wěn)定性概念，現(xiàn)做一實驗。如圖10-2a所示，在一細長桿的兩端加軸向壓力F，當壓力F較小時，桿件保持直線平衡狀態(tài)。此時，若用一橫向力FQ給桿以橫向干擾，使桿微彎，隨即撤去干擾，則桿件能依靠材料的彈性抗力彈回，經(jīng)過幾次擺動后，恢復到直線平衡狀態(tài)。這說明桿件所處的直線平衡狀態(tài)經(jīng)得起干擾，是穩(wěn)定的。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編101 壓桿穩(wěn)定的概念及工程實例 當力F達到某一值 Fcr時，再用一橫向力FQ給桿以橫向干擾，使桿微彎，但去掉干擾后，桿件繼續(xù)保持微彎狀態(tài)（見圖10-2c）。說明桿件在Fcr作用下的直線形式平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

3、開始喪失了穩(wěn)定，簡稱為失穩(wěn)。因此定義： 受壓直桿保持其直線形式平衡狀態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。 魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力1021 臨界壓力 1臨界壓力的定義 使軸向受壓桿件由穩(wěn)定的直線形式平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軸向壓力的臨界值，稱為臨界壓力。 2臨界壓力的歐拉公式 對于等截面細長直桿，在1744年歐拉最早提出，在桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，桿件的臨界壓力大小由下面公式來求，即22()crEIFl （10-1） 式中 Fcr臨界壓力； I桿件橫截面對中性軸的慣性矩； 與支承情況相關(guān)的長度系數(shù)。魏道德魏道德工程力學工程

4、力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力 式（10-1）稱為臨界壓力的歐拉公式，由此公式可以看出，臨界壓力大小由桿件的材料、長度、截面形狀和尺寸及桿端的支承情況決定。l稱為相當長度。不同支承情況下的值列于表10-1中。應(yīng)用式（10-1）時，注意以下兩點： 1）歐拉公式只適用于材料的線彈性范圍，即桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限。 2）對于沿各個方向約束相同的情形（例如球鉸約束），I取截面的最小慣性矩，即I=Imin；對于沿不同方向具有不同約束條件的情形，計算時，應(yīng)根據(jù)截面慣性矩和約束條件，首先判斷失穩(wěn)時的彎曲方向，從而確定截面的中性軸以及相應(yīng)的慣性矩。 例10-1 如圖

5、10-3所示，一細長鋼制壓桿的截面為矩形，h=4cm，b=2cm，桿長l=100cm。桿的一端固定，另一端自由，材料的彈性摸量E=196GPa。試計算此壓桿的臨界壓力。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力 因IyIz，故壓桿失穩(wěn)彎曲時，截面繞y軸轉(zhuǎn)動，故取I=Iy計算臨界壓力，由式（10-1）得 解 根據(jù)題意，查表10-1可知，此壓桿的長度系數(shù)=2。壓桿截面為矩形，故截面繞y軸和z軸的慣性矩分別為 圖10-3 一細長鋼制壓桿33444 2cm2.67cm1212yhbI33442 4cm10.67cm1212zbhI22982223.14

6、196 102.67 10N12899N()(2 100 10)crEIFl魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力 由例10-1可知，如果壓桿截面對各形心軸的慣性矩不相等，則在計算臨界壓力時，應(yīng)取最小的形心軸慣性矩Imin來計算。 細長壓桿的臨界壓力除以其橫截面面積所得到的值，稱為臨界應(yīng)力，用cr表示。設(shè)壓桿的橫截面面積為A，則由式（10-1）可知臨界應(yīng)力為 1022 臨界應(yīng)力22()crcrFEIAlAIiA引入慣性半徑 2222()()crcrFEIElAlAi魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨

7、界壓力與臨界應(yīng)力li(10-2)令22crE （10-3） 得式中 壓桿的柔度，無量綱。壓桿的柔度綜合反映了壓桿的支承情況、長度、截面形狀和尺寸等因素對臨界應(yīng)力的影響。 式（10-3）臨界應(yīng)力的歐拉公式，并由此可以看出， 值越大，則臨界應(yīng)力越小，壓桿的穩(wěn)定性就越差。反之， 值越小，其臨界應(yīng)力越大，壓桿的穩(wěn)定性就越好。因此，柔度是壓桿穩(wěn)定性計算中的一個重要參數(shù)。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力1023 歐拉公式的適應(yīng)范圍與直線經(jīng)驗公式 1歐拉公式的適用范圍 由于臨界壓力的歐拉公式只在壓桿工作應(yīng)力處于材料的線彈性范圍內(nèi)，即桿內(nèi)應(yīng)力不超過材

8、料的比例極限P時才成立，因此歐拉公式的適用范圍可表示為或改寫為 22crE P 2PPEE 2PEP = （10-4） 魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力于是，歐拉公式的適用范圍又可寫為 P P稱為對應(yīng)于材料比例極限的柔度，是由材料本身性質(zhì)所決定的量，其值可由式（10-4）求出。如Q235A鋼，E=206GPa，P=200MPa，將他們代入式（10-4）得P100；又如鑄鐵，P80。P的壓桿稱為大柔度桿或細長桿。 2直線經(jīng)驗公式 工程中常遇到一些相對短粗的壓桿，其工作應(yīng)力往往介于材料的比例極限P與屈服點s（或屈服強度0.2）之間，也就是

9、其柔度 P，它不會因靜強度不夠而破壞，但可能會喪失穩(wěn)定性，其臨界應(yīng)力不能用歐拉公式計算。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力 研究表明， P的壓桿，其臨界應(yīng)力可用經(jīng)驗公式計算。常用的有直線經(jīng)驗公式和拋物線公式，這里只介紹直線經(jīng)驗公式。 對于合金鋼、鋁合金、鑄鐵和木材等材料制成的壓桿，當 P時，一般采用直線公式，其表達式為cr=a-b （10-5） 式中 a、b 與材料本身性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。幾種常 用材料的a、b值見表10-2。 使用直線經(jīng)驗公式時，要注意適用范圍。對塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不應(yīng)超過材料的屈服點s，否則，壓

10、桿因強度不足而失效。故cr=a-b abs sab （10-6） s稱為對應(yīng)于材料屈服點的柔度。如Q235A鋼的s=240MPa，a=310MPa，b=1.12MPa，將這些數(shù)據(jù)代入到式（10-5），得s60。于是，直線經(jīng)驗公式的適用范圍是sP。柔度在該范圍內(nèi)的壓桿稱為中柔度桿或中長桿。 對于s的壓桿稱為小柔度桿或粗短桿。此類壓桿在失穩(wěn)之前桿內(nèi)應(yīng)力已達到了材料的屈服點，將因強度不夠而破壞，屬于強度問題，為了統(tǒng)一起見，也把s看成是臨界應(yīng)力，即cr =s 。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力1024 臨界應(yīng)力總圖圖10-4 臨界應(yīng)力總圖 A

11、BCscrsPPcr= scr=a-b22crE 以柔度為橫坐標，以臨界應(yīng)力cr為縱坐標建立直角坐標，在此坐標系中繪出臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系曲線，該曲線稱為臨界應(yīng)力總圖（見圖10-4）。 細長桿的臨界應(yīng)力則低于材料的比例極限。圖中的虛線為歐拉公式的延長部分，它說明，如果對中長桿仍采用歐拉公式計算臨界應(yīng)力，則使壓桿偏于危險的一面，為什么？請讀者自行思考。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力 以上討論的是用塑性材料制成的壓桿。若壓桿由脆性材料制成，只需將屈服點s換成抗壓強度b即可。這時，粗短桿的破壞不是屈服，而是壓潰。 根據(jù)以上分析，將

12、各類柔度壓桿的臨界應(yīng)力計算公式歸納如下： 1) 對于細長桿（P），用歐拉公式cr =2E/2計算臨界應(yīng)力。 2) 對于中長桿（ s P，壓桿1是細長桿，應(yīng)采用歐拉公式計算其臨界應(yīng)力。 魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力22211224crcrEdEFAA 2） s 2P，壓桿2是中長桿，應(yīng)采用直線經(jīng)驗公式計算其臨界 應(yīng)力。 3） 3 s，壓桿3是粗短桿，其臨界應(yīng)力為材料的屈服點s。 （2）計算各壓桿的臨界壓力。 3329323.14(50 10 )206 10N156 10 N156kN4 160魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道

13、德 賈玉梅賈玉梅 主編主編102 臨界壓力與臨界應(yīng)力3329323.14(50 10 )206 10N156 10 N156kN4 16022222()()4crcrdFAA abab3 2633.14 (50 10 )(304 1.12 80) 10 N421 10 N421kN42326333.14 (50 10 )235 10 N44crcrssdFAA3461 10 N461kN魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編103 壓桿的穩(wěn)定性計算 要保證壓桿工作時不失穩(wěn)，壓桿的工作壓力F應(yīng)小于其臨界壓力Fcr，或工作應(yīng)力小于其臨界應(yīng)力cr，再考慮一定的安全儲備，壓

14、桿的穩(wěn)定性準則可以表示為 1031 壓桿的穩(wěn)定性準則crWFFncrWn或 式中 nw規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)，它一般比強度安全因數(shù)大。 對于鋼材，取nw=1.83.0；對于鑄鐵，取nw=4.55.5；對于木材，取nw=2.53.5。由于細長壓桿喪失穩(wěn)定的可能性比較大，為了保證安全，柔度較大的壓桿穩(wěn)定安全因數(shù)相應(yīng)較大。 在工程計算中，常采用安全因數(shù)法表示壓桿的穩(wěn)定性準則。即魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編103 壓桿的穩(wěn)定性計算crwFnFcrwnnw nw 式中 nw 壓桿工作穩(wěn)定安全因數(shù)。 壓桿的穩(wěn)定性計算同樣可以解決三類問題，即校核穩(wěn)定性、設(shè)計截面尺寸和確定許

15、可載荷。 例10-3 如圖10-5所示的螺旋千斤頂，螺桿旋出的最大長度l=400mm，螺紋小徑d1=40mm，最大起重量為80kN，螺桿材料為45鋼,P=100， s=60，規(guī)定穩(wěn)定安全因數(shù) nw=4。試校核該螺桿的穩(wěn)定性。 1032 壓桿的穩(wěn)定性計算舉例魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編103 壓桿的穩(wěn)定性計算解 （1）計算壓桿的柔度，選擇臨界應(yīng)力公式。根據(jù)題意，螺桿的桿端約束可簡化為上端自由、下端固定，查表10-1得長度系數(shù)=2。圖10-5 螺旋千斤頂 FFhdl將 4IdiA,代入式（10-2）得 2 400 480404lldi魏道德魏道德工程力學工程力

16、學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編103 壓桿的穩(wěn)定性計算 可見sy，當外力過大時，壓桿AB應(yīng)在xy平面內(nèi)發(fā)生彎曲而失穩(wěn)。 （2）計算壓桿AB的臨界應(yīng)力。因 z P，故壓桿AB在xy平面內(nèi)屬于細長桿，應(yīng)采用歐拉公式計算壓桿的臨界應(yīng)力。由式（10-3）得魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編103 壓桿的穩(wěn)定性計算229223.14206 10Pa114.8MPa133crE （3）確定壓桿AB的許可壓力。由壓桿的穩(wěn)定性準則（10-6）得壓桿AB的許可壓力為 633114.8 1040 1060 10N69kN4crcrwwFAnnF 魏道德魏道德工程力學工程力

17、學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編104 提高壓桿穩(wěn)定性的措施 提高壓桿的穩(wěn)定性，在于提高壓桿的臨界壓力或臨界應(yīng)力。因此，從分析臨界應(yīng)力計算公式入手，可找到提高壓桿穩(wěn)定性的一些途徑。 1選擇合理的截面形狀 細長桿和中長桿的臨界應(yīng)力cr =2E/2、cr =a-b均與柔度有關(guān)，柔度越小，臨界應(yīng)力越高，壓桿的穩(wěn)定性越好，因此，對于固定長度和約束方式的壓桿，在橫截面面積保持不變的情況下，應(yīng)選擇慣性矩較大的截面形狀，即盡可能選用材料遠離中性軸的截面形狀。如果考慮壓桿失穩(wěn)的方向性，那么對于壓桿兩端約束沿各個方向相同的情形（例如球鉸約束或固定端約束），則宜選用空心圓截面或者中空的正方形截面，以保證截

18、面對各個方向的形心軸的慣性矩都相同。但應(yīng)注意，空心截面的壁厚不能太薄，以免出現(xiàn)皺折而發(fā)生局部失穩(wěn)現(xiàn)象。魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編104 提高壓桿穩(wěn)定性的措施 對于壓桿端部約束沿各個方向不相同的情形（例如圓柱銷聯(lián)接），最理想的設(shè)計是使各個縱向平面內(nèi)有相等或相近的柔度。因此宜選用矩形或工字形截面，使壓桿在各個縱向平面內(nèi)有相同或相近的穩(wěn)定性。 （2）改善壓桿的約束情況、減小壓桿長度 根據(jù)柔度=l/i可知，降低長度系數(shù)，可使降低。在各種支座形式中，兩端固定支座的值最小。如圖10-7所示的支柱，除兩端要求焊接牢固外，還需要設(shè)置肋板以加強固定端部的約束。 綜合圖9-7d與9-7f可以看出，最大的合成彎矩可能在C或D截面處，為此只需對C、D兩截面的合成彎矩進行比較，即 圖10-7 支柱設(shè)置肋板加 強固定端部的約束 魏道德魏道德工程力學工程力學 魏道德魏道德 賈玉梅賈玉梅 主編主編104 提高壓桿穩(wěn)定性的措施 另 外，減小桿長l，降低柔度，可有效的提高壓桿的臨界應(yīng)力。在條件允許的情況下，應(yīng)盡量使l減小。工程中常通過改變結(jié)構(gòu)或增加中間約束的方法達到減小l的目的，從而提高壓桿的穩(wěn)定性