正交設計教案

1、實驗設計DOE實驗設計DOE第第5 5章章 正交設計正交設計5.1 正交表與正交設計 5.1.1 正交表 5.1.2 用正交表安排實驗5.2 分析實驗結(jié)果 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析 5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析5.3 有交互作用的正交設計 5.3.1 表頭設計 5.3.2 分析實驗結(jié)果5.4 水平不等的正交設計 5.4.1 用混合水平正交表安排實驗 5.4.2 改造正交表5.5 獨立重復實驗5.6 篩選實驗5.7 正交設計與區(qū)組設計 5.7.1 拉丁方設計 5.7.2 其他區(qū)組設計思考與練習 實驗設計DOE第第5 5章章 正交設計正交設計 正交設計是多因素的優(yōu)化實驗設計方法，也稱為正交

2、試驗設計。它是從全面實驗的樣本點中挑選出部分有代表性的樣本點做實驗，這些代表點具有正交性。其作用是只用較少的實驗次數(shù)就可以找出因素水平間的最優(yōu)搭配或由實驗結(jié)果通過計算推斷出最優(yōu)搭配。 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 在20世紀40年代后期，日本統(tǒng)計學家田口玄一博士（Dr. Genichi Taguchi）使用設計好的正交表安排實驗, 這種方法簡便易行，從此正交設計在世界范圍內(nèi)普遍推廣使用。 田口玄一博士是著名的質(zhì)量專家，他以預防為主、正本清源的哲學方法運思，把數(shù)理統(tǒng)計、經(jīng)濟學應用到質(zhì)量管理工程中，發(fā)展出獨特的質(zhì)量控制技術。比如，頭腦風暴法、 OA 方法等，創(chuàng)立了

3、“質(zhì)量工程學（ Quality Engineering ）”，又叫“田口方法（ Taguchi Methods ）”，從而形成自己的質(zhì)量哲學，即：質(zhì)量不是靠檢驗得來的，也不是靠控制生產(chǎn)過程得來的；質(zhì)量，就是把顧客的質(zhì)量要求分解轉(zhuǎn)化設計參數(shù)、形成預期目標值，最終生產(chǎn)出來低成本且性能穩(wěn)定可靠的“物美價廉”的產(chǎn)品。本書編寫時參照了田口博士大加推薦的“ QE 方面最優(yōu)秀的英文版本”。 1924 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 實驗設計DOE5.

4、1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 田口玄一博士在多年研究和實踐的基礎上，創(chuàng)造性地提出了關于質(zhì)量的定義：“所謂質(zhì)量，是指產(chǎn)品上市后給社會帶來的損失。但是功能本身所產(chǎn)生的損失除外?！?田口把產(chǎn)品質(zhì)量與給社會帶來的損失聯(lián)系在一起，他認為，質(zhì)量好的產(chǎn)品就是上市后給社會帶來損失小的產(chǎn)品。這個定義保存了滿足社會需要的中心內(nèi)容，在本質(zhì)上它與 ISO 9000 ： 2000 給出的質(zhì)量定義是一致的，但是，田口的質(zhì)量定義強調(diào)了質(zhì)量的經(jīng)濟效果和設計的目的性。實驗設計DOE5.

5、1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計 田口博士還進一步提出了以質(zhì)量損失來評價質(zhì)量水平的概念和減少質(zhì)量損失的方法，在此基礎上，引發(fā)了以減少質(zhì)量波動、提高產(chǎn)品健壯性為目標的設計思想的重大變革，產(chǎn)生了極具創(chuàng)造性的以參數(shù)設計、容差設計方法為主的線外質(zhì)量管理方法、和以對質(zhì)量特性、過程反饋控制，對過程診斷、調(diào)節(jié)等方法為主的線內(nèi)質(zhì)量管理問世，田口的線內(nèi)外質(zhì)量管理方法在歐美統(tǒng)稱為“田口方法”。田口先生關于質(zhì)量的定義最有價值之處是引入了質(zhì)量損失的概念，開辟了定量研究質(zhì)量的道路。日本的眾多企業(yè)就是用田口的質(zhì)量管理方法進行質(zhì)量管理。 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計5.1.1

6、5.1.1 正交表正交表 定義定義5.1 正交試驗設計就是使用正交表（Orthogonal Array）來安排實驗的方法。 定義定義5.2 正交表是按正交性排列好的用于安排多因素實驗的表格。 表表 5.1 L9（34）正交表）正交表 因素 實驗號 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計5.1.1 5.1.1 正交表正交表 正交表的一般記法為Ln（a p），其中p是表的列數(shù)，n是

7、表的行數(shù)，表中的數(shù)字都由1到a這a個整數(shù)構成。字母L表示正交表，實際上是引用了拉丁方（Latin）的名稱。 常見的正交表有L4（23）、L8（27）、L16（215）、 L9（34）、 L27（313）、L16（45）、L25（56），以及混合水平L18（2137）等正交表。 用正交表安排實驗就是把實驗的因素（包括區(qū)組因素）安排到正交表的列，允許有空白列，把因素水平安排到正交表的行。具體來說，正交表的列用來安排因素，正交表中的數(shù)字表示因素的水平，用Ln（a p）正交表最多可以安排p個水平數(shù)目為a的因素，需要做n 次實驗（含有n個處理）。 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正

8、交設計5.1.1 5.1.1 正交表正交表 2 正交性正交性 正交表的列之間具有正交性，正交性可以保證每兩個因素的水平在統(tǒng)計學上是不相關的。正交性具體表現(xiàn)在兩個方面，分別是：（1）均勻分散性。在正交表的每一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如L9（34）正交表中，數(shù)字1, 2, 3在每列中各出現(xiàn)3次。（2）整齊可比性。對于正交表的任意兩列，將同一行的兩個數(shù)字看作有序數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，例如L9（34）表，有序數(shù)對共有9個，（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），它們各出現(xiàn)一次。實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與

9、正交設計正交表與正交設計5.1.1 5.1.1 正交表正交表 在得到一張正交表后，我們可以通過三個初等變換得到一系列與它等價的正交表 （1）正交表的任意兩列之間可以相互交換，這使得因素可以自由安排在正交表的各列上。 （2）正交表的任意兩行之間可以相互交換，這使得實驗的順序可以自由選擇。 （3）正交表的每一列中不同數(shù)字之間可以任意交換，稱為水平置換。這使得因素的水平可以自由安排。 實驗設計DOE5.1 5.1 正交表與正交設計正交表與正交設計5.1.1 5.1.1 正交表正交表 3 正交性的直觀解釋正交性的直觀解釋 以L9（34）正交表為例，9個實驗點在三維空間中的分布見圖5.1。圖中正方體的全

10、部27個交叉點代表全面實驗的27個實驗點，用正交表確定的9個實驗點均勻散布在其中。具體來說，從任一方向?qū)⒄襟w分為3個平面，每個平面含有9個交叉點，其中都是恰有3個是正交表安排的實驗點。再將每一平面的中間位置各添加一條行線段和一條列線段，這樣每個平面各有三條等間隔的行線段和列線段，則在每一行上恰有一個實驗點，每一列上也恰有一個實驗點?？梢娺@9個實驗點在三維空間的分布是均勻分散的。圖圖5.1 L9（34）正交表正交表9個實驗點的分布個實驗點的分布實驗設計DOE5.1.2 5.1.2 用正交表安排實驗用正交表安排實驗 用正交表安排實驗首先看因素的水平，選取與因素水平相同的正交表，然后看因素的數(shù)目，

11、因數(shù)的個數(shù)不能超過正交表的列數(shù)，允許有空白列。1 正交試驗的設計正交試驗的設計 【例【例5.1】 某化工廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，采收率低并且不穩(wěn)定，一般在60%80%之間波動。現(xiàn)在希望通過實驗設計，找出好的生產(chǎn)方案，提高采收率。 本例中的實驗指標是采收率。根據(jù)專業(yè)技術人員的分析，影響采收率的3個主要因素是反應溫度、加堿量、催化劑種類。每個因素分別取3個水平做實驗，得因素與水平表見表5.2。 實驗設計DOE5.1.2 5.1.2 用正交表安排實驗用正交表安排實驗 表表 5.2 因素與水平表因素與水平表 因素 水平 A B C 反應溫度（0C） 加堿量（kg） 催化劑種類 1 A1=80 B1=35

12、C1=甲種 2 A2=85 B2=48 C2=乙種 3 A3=90 B3=55 C3=丙種 對于以上這3 個因素3 個水平的實驗，如要做全面實驗，要做33=27次實驗。廠方希望能用少量的實驗找出最優(yōu)生產(chǎn)方案，而正交實驗設計正是解決這種問題的常用方法。實驗的設計見表5.3。 實驗設計DOE5.1.2 5.1.2 用正交表安排實驗用正交表安排實驗 表表5.3 用用L9（34）正交表安排實驗）正交表安排實驗 列號 1 2 3 4 因素 A B C 空白列 實驗號 反應溫度 （0C） 加堿量 （kg） 催化劑種類 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(80) 1 1 2(85) 2 2 3(90)

13、3 3 1(35) 2(48) 3(55) 1 2 3 1 2 3 1（甲） 2（乙） 3（丙） 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 實驗設計DOE5.1.2 5.1.2 用正交表安排實驗用正交表安排實驗 2 正交實驗的實施正交實驗的實施 通過以上用L9（34）正交表安排實驗可以看到，全部的實驗是同時設計好的，屬于整體設計。 這里需要強調(diào)一個問題，做實驗的順序要依照隨機化原則，其目的是盡量避免實驗因素外的其他因素對實驗的影響。例如操作人員、儀器設備、實驗環(huán)境等因素的影響。假如實驗員在實驗過程中對這項實驗逐漸熟悉，實驗的效果越來越好，后面的實驗采收率就有提高的趨勢。如果不

14、按隨機化原則安排實驗順序，實驗結(jié)果就會低估A因素的1水平（前3號實驗），高估A因素的3水平（后3號實驗）。這樣操作人員就成為實驗中不得不考慮的區(qū)組因素。 實驗設計DOE5.1.2 5.1.2 用正交表安排實驗用正交表安排實驗 2 正交實驗的實施正交實驗的實施 在實驗中要盡量保持實驗因素以外的其他因素固定，在不能避免的場合可以增加一個區(qū)組因素，也安排在正交表的一個列上。在分析實驗數(shù)據(jù)時區(qū)組因素也作為一個因素處理，可以避免對實驗結(jié)果的系統(tǒng)影響。比如實驗由3個人進行，則可以把人也看成一個因素，3個人便是3個水平，將其放在正交表的空白列上，那么該列的1，2，3水平對應的實驗分別由第一、第二、第三個人去

15、做，這樣就避免了因人員變動所造成的系統(tǒng)誤差。 實驗設計DOE5.2 5.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果分析正交實驗結(jié)果有兩種方法分析正交實驗結(jié)果有兩種方法: : 一一、直觀分析法直觀分析法 二、方差分析法。二、方差分析法。 實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析表表5.4 實驗結(jié)果直觀分析表實驗結(jié)果直觀分析表 因素 A B C 實驗結(jié)果 y 實驗號 反應溫度 （0C） 加堿量 （kg） 催化劑種類 采收率 （%） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(80) 1 1 2(85) 2 2 3(90) 3 3 1(35) 2(48) 3(55) 1 2 3 1

16、2 3 1（甲） 2（乙） 3（丙） 2 3 1 3 1 2 51 71 58 82 69 59 77 85 84 T1 T2 T3 180 210 246 210 225 201 195 237 204 123TTT 60 70 82 70 75 67 65 79 68 R 22 8 14 實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析 （1）直接看的好條件實驗結(jié)果的直觀分析。（1）直接看的好條件。從表中的9 次實驗結(jié)果看出，第8號實驗A3B2C1的采收率最高，為85%。但第8 號實驗方案不一定是最優(yōu)方案，還應該通過進一步的分析尋找出可能的更好方案。實驗設計DOE

17、5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析（2）算一算的好條件 （2）算一算的好條件。 表中T1、T2和T3這三行數(shù)據(jù)分別是各因素同一水平結(jié)果之和。例如，T1行A因素列的數(shù)據(jù)180是A因素3個1水平實驗值的和，而A因素3個1水平分別在第1、2、3號實驗，所以T1A= y1+y2+y3 = 51+71+58=180 注意到，在上述計算中，B因素的3個水平各參加了一次計算，C因素 的3個水平也各參加了一次計算。 其他的求和數(shù)據(jù)計算方式與上述方式相似，例如T2行C因素的求和數(shù)據(jù)237是C因素3個二水平實驗值的和，而C因素3個二水平分別在第2、4、9號實驗，所以T2C = y2+y4

18、+y9 = 71+82+84=237 同樣，在上述計算中A因素的3個水平各參加了一次計算，B因素的3個水平也各參加了一次計算。實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析（3）分析極差 （3）分析極差 確定各因素的重要程度。表5.4中的最后一行R是極差，它是、和各列三個數(shù)據(jù)的極差，即最大數(shù)減去最小數(shù) 例如A因素的極差RA=8260=22。 從表中看到： A因素的極差RA=22最大，表明A因素對采收率的影響程度最大。 B因素的極差RB=8最小，說明B因素對采收率影響程度不大。 C因素的極差RC=14大小居中，說明C因素對采收率有一定的影響，但是影響程度不大。 實驗設

19、計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析（4）畫趨勢圖（4）畫趨勢圖。80 85 90 35 48 55 甲 乙 丙 A 反應溫度() B 加堿量(kg) C 催化劑種類 90 50 采收率 y（%） 70 80 60 圖圖5.2 因素水平趨勢圖因素水平趨勢圖 實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析（5）成本分析 （5）成本分析。前面的分析說明選取加堿量B2=48 kg是合適的，但是由于加堿量對采收率影響不大，如果考慮生產(chǎn)成本的話，選B1=35 kg可能會更好。因為B1雖然平均采收率低5%，但少投入13 kg堿。這就需要進一步進行

20、經(jīng)濟核算，少投入13 kg堿和減少5%的采收率相比哪一樣更有利。 實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析（6）綜合分析與撒細網(wǎng) （6）綜合分析與撒細網(wǎng)。前面的分析表明，A3B2C2是理論上的最優(yōu)方案，還可以考慮把反應溫度A的水平進一步提高，加堿量B適當減少。這需要安排進一步的補充實驗，可以在A3B2C2附近安排一輪2水平小批量的實驗，其中催化劑固定為乙種，因素A再取一個比90更高的水平，因素B再取一個比48 kg略低的水平做實驗，稱為撒細網(wǎng)。如果實驗者對現(xiàn)有的實驗結(jié)果已經(jīng)滿意，也可以不做撒細網(wǎng)實驗。實驗設計DOE5.2.1 5.2.1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗

21、結(jié)果的直觀分析（7）驗證實驗（7）驗證實驗。 不論是否做進一步的撒細網(wǎng)實驗，都需要對理論最優(yōu)方案做驗證實驗。需要注意的是，最優(yōu)搭配A3B2C2或者A3B1C2只是理論上的最優(yōu)方案，還需要用實際的實驗做驗證。對這兩個方案各做兩次驗證實驗，實驗所得A3B2C2的兩次采收率分別為87%、88%。實驗A3B1C2的兩次采收率分別為87%、85%。兩者相差很小，從節(jié)約成本角度看最優(yōu)搭配A3B1C2是可行的。實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 在前面的直觀分析中，通過極差的大小來評價各因素對實驗指標影響的程度，其中極差的大小并沒有一個客觀的評價標準，為了解決這一問題，需要對數(shù)據(jù)

22、進行方差分析。正交設計是多因素實驗設計，一般包含3個以上的因素，其方差分析方法是雙因素實驗設計方差分析的推廣，仍然是通過離差平方和分解，構造F統(tǒng)計量，生成方差分析表，對因素效應和交互效應的顯著性做檢驗。 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 1 1 計算離差平方和計算離差平方和 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 1 1 計算離差平方和計算離差平方和 （2）因素的離差平方和。因素A的離差平方和為：21()aiiiSSAn Ty（5.2） 其中a = 3是A因素的水平數(shù)，ni 是在第i水平下所做實驗的次數(shù)，也就是計算 時所用到的數(shù)據(jù)個數(shù)。 本

23、例ni = n / a = 9 / 3 = 3，A因素在每一個水平下都是做了3次實驗。 是在前面的直觀分析方法中計算出的A因素的每一水平下的實驗平均值。 按照與上面相同的公式可以計算出SSB和SSC，只是把 分別作為B因素和C因素每一水平下的實驗平均值。iTiTiT實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 1 1 計算離差平方和計算離差平方和 （3）誤差平方和SSE。有兩種計算方法： 方法一：用空白列計算。 對空白列也按照上面計算因素離差平方和的公式計算出相應的離差平方和，就是誤差平方和SSE。如果空白列不止1列，就分別計算出每個空白列的離差平方和，這些空白列的離差平方和

24、之和就是誤差平方和，空白列自由度之和就是誤差平方和的自由度。實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 1 1 計算離差平方和計算離差平方和 （3）誤差平方和SSE。有兩種計算方法：方法二：用公式SSE = SSTSSASSBSSC計算誤差平方和，這是一個通用的方法。不考慮交互作用的一般公式為：誤差平方和=總離差平方和各因素離差平方和之和 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 1 1 計算離差平方和計算離差平方和 多數(shù)正交表滿足離差平方和分解式，即總離差平方和等于各列離差平方和之和，這時兩種方法是相同的。 有些正交表不滿足離差平方和分解式，這時方法

25、二仍然適用，而方法一不再適用。這時空白列離差平方和只是誤差平方和的一部分，空白列離差平方和的自由度小于誤差平方和的自由度，用空白列做誤差就會減小誤差平方和的自由度，從而降低方差分析的效率，使得一些對實驗指標有顯著影響的因素被誤認為沒有顯著影響。實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 2 2 方差分析表方差分析表 計算出各有關的離差平方和后，就可以進一步計算出下面的正交設計方差分析表。 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 2 2 方差分析表方差分析表直接用SAS軟件計算，計算程序為： DATA zhjiao1; INPUT A B C y; O

26、UTPUT;CARDS;1 1 1 511 2 2 711 3 3 582 1 2 822 2 3 692 3 1 593 1 3 773 2 1 853 3 2 84PROC ANOVA;CLASS A B C;MODEL y=A B C;MEANS A B C; RUN;實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 2 2 方差分析表方差分析表 SAS軟件的輸出結(jié)果占用的篇幅較大，為了節(jié)約篇幅，本書對輸出結(jié)果的格式都做了適當?shù)恼{(diào)整，這里省略了各水平下的均值輸出數(shù)據(jù)，方差分析表見表5.6： 表表 5.6 方差分析表（方差分析表（1） Source DF SS MS F Va

27、lue Pr F Model 6 1152 192 4.47 0.1943 Error 2 86 43 Corrected Total 8 1238 A 2 728 364 8.47 0.1057 B 2 98 49 1.14 0.4674 C 2 326 163 3.79 0.2087 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 2 2 方差分析表方差分析表 本例中3個因素的P值都大于0.05，這時還不能急于斷定3個因素都不顯著，而是要剔除一個最不顯著的因素。本例中B因素的P值=0.4674最大，是最不顯著的因素，剔除因素B后重新做方差分析。只需要把上面SAS程序中的“M

28、ODEL y=A B C;”語句改為“MODEL y=A C;”，其他語句不變，得新的方差分析表5.7。 表表 5.7 方差分析表（方差分析表（2） Source DF SS MS F Value Pr F Model 4 1054 263 5.73 0.0597 Error 4 184 46 Cor Total 8 1238 A 2 728 364 7.91 0.0407 C 2 326 163 3.54 0.130 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 3 3 計算問題計算問題 如果讀者手頭沒有SAS軟件，也可以用SPSS、Minitab等統(tǒng)計軟件完成以上方差分析

29、的計算工作。還可以借助Excel軟件，通過簡單的計算得到方差分析結(jié)果，見表5.8 。用Excel軟件計算方差分析的過程。（1）將數(shù)據(jù)輸入到區(qū)域“A1：E10”。（2）在單元格“B11”輸入公式“=SUMIF(B$2:B$10, $A2,$E$2:$E$10)/3”，計算出A因素1水平的實驗平均值=60，然后將公式復制到區(qū)域“B11：D13”。（3）在單元格“B14”內(nèi)輸入公式“=3*DEVSQ(B11:B13)”，計算出SSA=728，然后將公式復制到區(qū)域“C14：D14”。在單元格“E14”內(nèi)輸入公式“=DEVSQ(E2:E10)”，計算出SST=1238。在單元格“F14”內(nèi)輸入公式“=E

30、14-SUM(B14:D14)”，計算出SSE=86。實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 3 3 計算問題計算問題 （4）在區(qū)域“B15：E15”輸入各項目的自由度。在單元格“F15”內(nèi)輸入公式“=E15-SUM(B15:D15)”，計算出誤差自由度=2。（5）在單元格“B16”內(nèi)輸入公式“= B14/B15”，計算出MSA=364，然后將公式復制到區(qū)域“C16：F16”。（6）在單元格“B17”內(nèi)輸入公式“=B16/$F16”，計算出FA=8.465116，然后將公式復制到區(qū)域“C17：D17”。（7）在單元格B18內(nèi)輸入公式“=FDIST(B17,B15,$F1

31、5)”，計算出A因素的P值=0.105651，然后將公式復制到區(qū)域“C18：D18”。 經(jīng)過以上步驟就完成了方差分析的計算，把含有這個工作表的文件保存好，只需要做簡單修改就可以用于其他的正交設計結(jié)果的方差分析。在本例中，如果要刪除掉因素B重新做方差分析，則只需要簡單地把含有B因素的第C列刪除就可以了。 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析 3 3 計算問題計算問題 表表5.8 用用Excel計算方差分析計算方差分析 實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.2.2 實驗

32、結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析DCBA3213213213212.42.01.61.20.8yMain Effects Plot - LS Means for y實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.2.2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 因素間存在交互作用的正交設計實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計5.3.1 5.3

33、.1 表頭設計表頭設計 定義定義5.3 安排有交互作用的正交設計不僅要把實驗因素安排在正交表的列上，還要由正交表所附帶的交互作用表查出交互作用所在的列，把各因素和所考察的交互作用都安排在正交表的列上，稱為表頭設計。 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.1 5.3.1 表頭設計表頭設計 【例【例5.2】 在降低柴油機的耗油率（克/千瓦小時）研究中，根據(jù)專業(yè)技術人員的分析，影響耗油率的4個主要因素和水平見表5.9： 表表 5.9 因素水平表因素水平表 因素 名稱 單位 1 水平 2 水平 A 噴嘴器的噴嘴形式 類型 B 噴油泵柱塞直徑 毫米 16 14

34、C 供油提前角度 度 30 33 D 配氣相位 度 120 140 每個因素分別取2個水平做實驗。并且認為因素A與B之間可能存在交互作用AB，因素A與C之間可能存在交互作用AC?，F(xiàn)在希望通過實驗設計，找出好的因素水平搭配，降低柴油機的耗油率。 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.1 5.3.1 表頭設計表頭設計 本例中實驗指標耗油率y是望小特性，實驗指標數(shù)值越小越好。共有4個2水平因素，初步選用 正交表。 )2(78L)2(78L正交表正交表實驗號 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2

35、 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.1 5.3.1 表頭設計表頭設計 避免混雜原則表表 5.11 表頭設計表頭設計 表頭設計 A B AB C AC D 列號 1 2 3 4 5 6 7 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.1 5.3.1 表頭設計表頭設計 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計

36、5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果表表5.12 實驗結(jié)果與直觀分析表實驗結(jié)果與直觀分析表A B AB C AC D 空白 y 實驗號 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 228.6 2 1 1 1 2 2 2 2 225.8 3 1 2 2 1 1 2 2 230.2 4 1 2 2 2 2 1 1 218.0 5 2 1 2 1 2 1 2 220.8 6 2 1 2 2 1 2 1 215.8 7 2 2 1 1 2 2 1 228.5 8 2 2 1 2 1 1 2 214.8 2201T 5.65 2.75 4.425 7.025 2.35 0.5

37、5 2.725 2202T -0.025 2.875 1.2 -1.4 3.275 5.075 2.9 R 5.675 0.125 3.225 8.425 0.925 4.525 0.175 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果1 實驗結(jié)果的直觀分析實驗結(jié)果的直觀分析 直接看的好條件是第8號實驗A2B2C2D1，耗油率y=214.8，其中C因素的極差RC=8.425為最大，表明供油提前角度C對耗油率y的影響最大； 其次是A因素的極差RA=5.675為次大，表明噴嘴器的噴嘴形式A對耗油率y也有較大的影響； B因素

38、的極差RB=0.125很小，但是這并不能表明噴油泵柱塞直徑B對耗油率沒有影響，原因是第3列交互作用AB的極差為3.225并不很小，噴油泵柱塞直徑B與噴嘴器的噴嘴形式A之間可能存在交互作用。 第5列交互作用AC的極差為0.925也很小，這表明C與A之間不存在交互作用。 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果2 實驗結(jié)果的方差分析實驗結(jié)果的方差分析總離差平方和的計算公式仍為：niiyySST12)(本例n=8。各列離差平方和的計算公式仍為： 21()aiiiSSAn Ty其中a = 2是每列的水平數(shù)，ni = n /

39、 a = 8 / 2 =4，這時上面的公式簡化為： 2221214()2iiSSATyTT（）實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果用SAS軟件對數(shù)據(jù)做方差分析，計算程序為： DATA zhjiao2; INPUT A B C D y; OUTPUT; CARDS;1 1 1 1 228.61 1 2 2 225.81 2 1 2 230.21 2 2 1 218.02 1 1 1 220.82 1 2 2 215.82 2 1 2 228.5 2 2 2 1 214.8PROC ANOVA;CLASS A B

40、C D;MODEL y=A B C D A*B A*C; MEANS A B C; RUN;實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果表表 5.13 方差分析表方差分析表 Source DF SS MS F Value Pr F Model 6 269.867 44.9779 734.33 0.0282 Error 1 0.06125 0.06125 Cor Total 7 269.928 A 1 64.4112 64.4112 1051.61 0.0196 B 1 0.03125 0.03125 0.51 0.60

41、51 C 1 141.961 141.961 2317.73 0.0132 D 1 40.9512 40.9512 668.59 0.0246 A*B 1 20.8012 20.8012 339.61 0.0345 A*C 1 1.71125 1.71125 27.94 0.1190 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果 從方差分析表看到，B因素的P 值=0.6051最大，其次是交互作用AC的P值=0.1190也大于0.05。可以斷定B因素是不顯著的，但是交互作用AC的顯著性還需要進一步考察，方法是把最不顯著B

42、因素剔除后再重新做方差分析。 這時產(chǎn)生了一個計算困難，各種統(tǒng)計軟件都規(guī)定：如果方差分析模型中包含有某一交互作用，那么就必需同時包含構成這個交互作用的兩個因素。本例的方差分析模型中包含了交互作用AB，因此就不能剔除B因素后用軟件重新做方差分析。 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果解決的方法有兩個: 第一是仿照例2.5，利用表5.13中已計算出的各因素的離差平方和，借助Excel軟件作簡單的計算，就可以計算出剔除B因素后新的方差分析表。 第二是把交互作用AB和AC作為兩個因素AB和AC看待，把對應的列水平也輸入到

43、SAS程序的數(shù)據(jù)塊中，對程序作簡單修改就可以得到剔除B因素后的方差分析結(jié)果。實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果表表 5.14 剔除剔除 B 因素后的方差分析表因素后的方差分析表 Source DF SS MS F Value Pr F Error 2 0.0925 0.04625 Cor Total 7 269.928 A 1 64.4112 64.4112 1392.67 0.0007 C 1 141.961 141.961 3069.43 0.0003 D 1 40.9512 40.9512 885.43

44、 0.0011 A*B 1 20.8012 20.8012 449.76 0.0022 A*C 1 1.71125 1.71125 37.00 0.0260 實驗設計DOE5.3 5.3 有交互作用的正交設計有交互作用的正交設計 5.3.2 5.3.2 分析實驗結(jié)果分析實驗結(jié)果 從上面剔除B因素后的方差分析表中看到，這時交互作用AC的P值=0.0260F Model 9 16938.17 1882.01 5.32 0.014 Error 8 2832.35 354.04 Cor Total 17 19770.52 A 2 5904.06 2952.03 8.34 0.011 B 2 499.0

45、0 249.50 0.70 0.523 C 2 9997.34 4998.67 14.12 0.002 D 2 536.08 268.04 0.76 0.500 E 1 1.68 1.68 0.00 0.946 實驗設計DOE5.4 5.4 水平不等的正交設計水平不等的正交設計 5.4.1 用混合水平正交表安排實驗用混合水平正交表安排實驗 從方差分析表看到，因素B、D、E都不顯著，對一般情況的方差分析，應該逐一剔除最不顯著的因素，再重新做方差分析。由于正交設計的因素之間不相關，剔除一個因素時其他因素的離差平方和不變，而三個不顯著的因素B、D、E的P值都很大，所以可以同時將這三個因素剔除，得新的

46、方差分析表見表5.21。 表表 5.21 方差分析表（方差分析表（2） Source DF SS MS F PrF Error 13 2832.35 217.87 Cor Total 17 19770.52 1162.97 A 2 5904.06 2952.03 13.55 0.0007 C 2 9997.34 4998.67 22.94 0.0001 實驗設計DOE5.4 5.4 水平不等的正交設計水平不等的正交設計 5.4.2 改造正交表改造正交表 因素水平數(shù)不等的正交設計情況復雜多樣，不可能對所有情況都事先編制好水平數(shù)不等的正交表，這時可以通過對一張現(xiàn)有正交表（稱為基本表）的靈活改造而安

47、排水平數(shù)不等的正交設計。實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1 1 并列法并列法 【例【例5.4】 在Vc二步發(fā)酵的配方實驗中，共有七個影響因素,其中因素A“尿素”有6個水平,其他6個因素都是3個水平, 因素水平見下表5.22。 表表 5.22 因素水平表（單位：因素水平表（單位：%） 水 平 因素 符號 1 2 3 4 5 6 尿素 A CP0.7 CP1.1 CP1.5 工業(yè) 0.7 工業(yè) 1.1 工業(yè) 1.5 山梨糖 B 7 9 11 玉米漿 C 1 1.5 2 K2HPO4 D 0.15 0.05 0.1 CaCO3 E 0.4 0.2 0 MgSO4 F 0 0.01 0

48、.02 葡萄糖 G 0 0.25 0.5 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1 1 并列法并列法 不考慮因素的交互作用。常見的混合水平正交表只有L18（2137）表，可以安排一個2水平的因素和7個3水平的因素。本例有1個6水平的因素和6個3水平的因素，這時可以把L18（2137）正交表中的2水平列和一個3水平列合并生成一個6 水平列。具體方法為： （1，1）1 （1，2）2 （1，3）3（2，1）4 （2，2）5 （2，3）6 這樣就由L18（2137）生成了一張新的L18（6136） 混合水平正交表，可以安排1個6水平的因素和6個3水平的因素，實驗的安排和實驗結(jié)果見表5.23。

49、L18（6136）正交表是由L18（2137）正交表的前兩列生成的，容易驗證它符合正交表的兩個條件，確實是正交表。 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1 1 并列法并列法 表表5.23 用混合水平正交表用混合水平正交表 L18(6136) 安排實驗與實驗結(jié)果安排實驗與實驗結(jié)果 A B C D E F G 實驗號 1 2 3 4 5 6 7 氧化率 y（%） 1 1 1 3 2 2 1 2 65.1 2 1 2 1 1 1 2 1 47.8 3 1 3 2 3 3 3 3 29.1 4 2 1 2 1 2 3 1 70.0 5 2 2 3 3 1 1 3 68.1 6 2 3 1

50、2 3 2 2 41.5 7 3 1 1 3 1 3 2 63.0 8 3 2 2 2 3 1 1 65.3 9 3 3 3 1 2 2 3 59.0 10 4 1 1 1 3 1 3 45.7 11 4 2 2 3 2 2 2 56.4 12 4 3 3 2 1 3 1 42.0 13 5 1 3 3 3 2 1 70.0 14 5 2 1 2 2 3 3 58.3 15 5 3 2 1 1 1 2 53.6 16 6 1 2 2 1 2 3 66.3 17 6 2 3 1 3 3 2 66.7 18 6 3 1 3 2 1 1 50.0 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1

51、1 并列法并列法 本例中，因素A的自由度為6-1=5，離差平方和為：6213()iiSSATy其他各因素的自由度為3-1=2，離差平方和為： 3216()iiSSTy實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1 1 并列法并列法 計算7個因素的方差和均方見下表。均方最小的是D、F、G這3個因素，把他們合并為誤差，得B、A、C、E這4個顯著的因素P值分別為0.0003、0.0048、0.0054、0.0433。 A B C D E F G SS 718.71 1052.72 348.25 3.36 137.25 29.86 41.08 df 5 2 2 2 2 2 2 MS 143.74

52、526.36 174.13 1.68 68.63 14.93 20.54 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 1 1 并列法并列法 以上用并列法生成混合水平正交表時所使用的基本表L18（2137）是無交互作用的正交表，如果使用有交互作用的基本表，就要把相應的交互作用列去掉。例如把L8（27）正交表的前兩列并列生產(chǎn)一個4水平的列，前兩列的交互作用在第3列，這時要把第3列去掉，生成一張有1個4水平列和4個2水平列的混合水平正交表L8（4124）。其余情況依次類推。 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 2 2 擬水平法擬水平法 擬水平法是對水平較少的因素虛擬一個或幾個水平，使

53、它與其他因素的水平數(shù)相等。例如一個實驗中有3個因素，A因素有2個水平，B、C因素都是3水平的因素。如果直接使用混合水平正交表就要用L18（2137）混合表，需要做18次實驗，實際上是全面實驗。為了減少實驗次數(shù)，可以用L9（34）安排實驗。在A因素的兩個水平A1、A2中選擇出一個水平，例如選擇A1水平，然后虛擬一個A3水平，A3水平與A1水平實際上是同一個水平，這樣A因素形式上就有3個水平，就可以用L9（34）安排實驗了。 對含有擬水平的A因素計算離差平方和時，仍使用通用的公式：aiiiyTnSSA12)( 本例水平數(shù)a =2 是A因素的實際水平數(shù)，ni 是在第i水平下所做實驗的次數(shù)，n1 =

54、6，n2 = 3，SSA的自由度是2-1=1。 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 2 2 擬水平法擬水平法 用擬水平法改造的“正交表”不再具有正交性，計算離差平方和不用空白列法，而用公式 誤差平方和 = 總離差平方和各因素離差平方和之和誤差自由度 = 總自由度（n-1）各因素自由度之和 改造的“正交表”雖然不再具有正交性，但是用SAS軟件計算方差分析的程序與普通正交設計的計算程序是一樣的，只是因素的水平要取為實際的水平，不要取做擬水平，本書就不舉例說明了。實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 3 3 組合法組合法 一個實驗中有2個2水平因素和3個3水平因素，共有5個因素

55、，不考慮交互作用。如果用擬水平法，需要用L18（2137）或L27（313）正交表，實驗次數(shù)過多。這時可以把L9（34）的1個3水平列拆分成2個2水平的列，或者看作是將2個2水平的列組合成1個3水平的列，通常的方法是：1（1，1） 2（1，2） 3（2，1） 用組合法改造的“正交表”也不具有正交性，并且上面的改造方法有一個明顯的缺陷，兩個2水平列的（2，2）水平組合沒有出現(xiàn)。 實驗設計DOE5.4.2 改造正交表改造正交表 3 3 組合法組合法 也可以采用其他的靈活改造方式，例如把基本表L9（34）的第一列的9個實驗用下面的方法改造為兩個2水平列： 這樣兩個2水平列的4種水平組合方式就都出現(xiàn)了

56、，當然這樣改造的實驗同樣也不具有正交性。 實驗號 基本表水平 改造表水平1 1 （1，1）2 1 （1，1）3 1 （2，2）4 2 （1，2）5 2 （1，2）6 2 （2，2） 7 3 （2，1） 8 3 （2，1） 9 3 （2，2） 實驗設計DOE5.5 5.5 獨立重復實驗獨立重復實驗 正交實驗的目的是為了減少實驗次數(shù)，對同一個處理（通常只做一次實驗，在一些特殊場合下對同一個處理也有必要做多次獨立的重復實驗，分為以下兩種不同情況： （1）相同操作獨立重復實驗。在多數(shù)場合下，對每個處理準備好實驗條件是困難的，而在同一個實驗條件下重復做幾次實驗是容易的。這時相同處理下的實驗誤差不能反映操

57、作方法的誤差，僅反映樣品之間的誤差。這種場合下的一種簡單的數(shù)據(jù)分析方法是把同一個處理下的幾次實驗數(shù)值做平均，用平均數(shù)作為該處理下的實驗指標數(shù)值。 （2）隨機順序獨立重復實驗。這種場合要求對每個處理下的重復實驗要重新準備實驗條件，相同處理下的實驗誤差既包含操作方法的誤差，也包含樣品之間的誤差。本書以下講到的重復實驗都是指這種隨機順序獨立重復實驗。實驗設計DOE5.5 5.5 獨立重復實驗獨立重復實驗 【例例5.5】 在對中藥赤芍提取工藝改進實驗中，以提取率為實驗指標，采用L9（34）正交表作重復實驗，因素水平如下： 表表5.24 因素水平表因素水平表 水平 溶劑量 A(倍) 提取時間 B(h)

58、提取次數(shù) C 1 8 0.5 1 2 10 1 2 3 12 1.5 3 正交表的第一列作為空白列，3個實驗因素A、B、C分別安排在正交表的第2、3、4列上，實驗結(jié)果見表5.25。 實驗設計DOE5.5 5.5 獨立重復實驗獨立重復實驗 表表5.25 實驗安排與實驗結(jié)果實驗安排與實驗結(jié)果空白 溶劑量 提取時間 提取次數(shù) 提取率 y（%） 實驗號 D A B C y1 y2 1 1 1 1 1 54.40 50.10 2 1 2 2 2 81.58 81.58 3 1 3 3 3 77.65 86.47 4 2 1 2 3 77.95 78.75 5 2 2 3 1 60.62 65.33 6

59、2 3 1 2 73.44 73.21 7 3 1 3 2 82.60 95.53 8 3 2 1 3 71.26 84.15 9 3 3 2 1 61.55 59.70 1T 71.96 73.22 67.76 58.62 2T 71.55 74.09 73.52 81.32 3T 75.80 72.00 78.03 79.37 實驗設計DOE5.5 5.5 獨立重復實驗獨立重復實驗 解解 用SAS軟件計算方差分析，計算程序為： DATA zhjiao1; INPUT D A B C y; OUTPUT;CARDS;1 1 1 1 54.41 2 2 2 81.581 3 3 3 77.65

60、2 1 2 3 77.952 2 3 1 60.622 3 1 2 73.443 1 3 2 82.63 2 1 3 71.263 3 2 1 61.551 1 1 1 50.11 2 2 2 81.581 3 3 3 86.472 1 2 3 78.752 2 3 1 65.332 3 1 2 73.213 1 3 2 95.533 2 1 3 84.153 3 2 1 59.7PROC ANOVA;CLASS A B C D; MODEL y= D A B C; RUN;實驗設計DOE5.5 5.5 獨立重復實驗獨立重復實驗 和無重復實驗的方差分析計算程序相比有兩點不同： 第一，對k次重復