數(shù)學論文席位的公平分配問題

1、數(shù)學建模論文席位的公平分配問題姓名：學號：18 15 20 公平的委員分配問題摘要: 1.我們首先是用慣例分配法來解決這委員分配問題的,由于方法來解決存在很大的缺陷,因此,通過組內(nèi)的討論,我們想出了q值法來解決此問題，發(fā)現(xiàn)這樣能作到相對公平。我們這一組開始就考慮到了該怎樣分配能作到相對公平，就這個問題，我們開始了研討。我們采用慣例分配法分析發(fā)現(xiàn)：各樓所得到的委員數(shù)a 、b 、c樓分別為：3、3、4人，而q值法其結果為：a、 b、 c樓分別為：2、3、5人。 2.“取其精華，去其糟粕”我們發(fā)現(xiàn)q值法能很好的解決委員分配問題，q 值法：我們用qi=(pi*pi)/n(n+1),其中i=a、 b、

2、c,pi為第 i樓的人數(shù)，n為分配到的委員數(shù)，我們采用將剩下的一位委員名額分給q值最大的一方。通過計算得到qa=9204.16、qb=9240.75、qc=9331.2比較得到：qaqbqc,所以我們決定把剩下的一名委員分給c樓。 3.我們用慣例分配法發(fā)現(xiàn)有一名委員不好分配，不知道分給誰更公平些。建議：我們的思維不能太單一了，在考慮問題方面要做到全面些，這樣才會少走彎路。（無論在哪方面都一樣。）關鍵字：委員分配、比例法、q值法 1.1問題的重述 分配問題是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，它涉及到如何將有限的人力或其他資源以“完整的部分”分配到下屬部門或各項不同任務中.分配問題涉及的內(nèi)容十分廣泛，例如

3、：學校共有1000學生，235人住在a樓，333人住b樓，432人住c樓，學校要組織一個10人委員會，試用慣例分配法和q值方法分配各樓的委員數(shù)并比較結果。1.2問題的分析 數(shù)學中通常人們用比例的方法來分配各個樓要派出幾個人來組建委員會，當比例中有小數(shù)時人們有按照慣例使得各組中小數(shù)最大的組擁有更多的人數(shù)。然而人們是怎樣分配的呢？又因為沒棟樓所占比例不是整數(shù)，可以會出現(xiàn)不公平的現(xiàn)象。為了讓席位分配更加公平我們不應該采用比例法，要引用不比例法更好的q值法對其進行求解。這樣才能更好的解決在分配席位中出現(xiàn)的不公平問二、模型的假設符號設定2.1假設 ： 1.委員是以整數(shù)計量的，并且為有限個，設為n個;2.

4、每個單位有有限個人，委員是按各集體的人員多少來分配的3每個單位的每個人都具有相同的選舉權利；4每個單位至少應該分配到一個名額，如果某個單位，一個名額也不應該分到的話，則應將其剔除在分配之外；5在名額分配的過程中，分配是穩(wěn)定的，不受任何其他因素所干擾.6.在分配中不會存在性別歧視，男女平等。2.2符號設定： pi-第i樓的人數(shù) ni-第i樓分配的委員數(shù) n-第i樓的委員數(shù)ni的計算的整數(shù)部分三、模型的建立與求解建模分析：目標：慣例分配法和q值分配法問題在數(shù)學上，代表名額分配問題的一般描述是：設名額數(shù)為n，共有s個單位，各單位的人數(shù)分別為pi,i=1,2,s.問題是如何尋找一組整數(shù)q1,qs使得q

5、1+q2+?qs=n，其中qi是第i個單位所獲得的代表名額數(shù)，并且“盡可能”地接近它應得的份額pin/(p1+p2+ps)，即所規(guī)定的按人口比例分配的原則. 如果對一切的i=1,2,s，嚴格的比值恰好是整數(shù)，則第i個單位分得qi名額，這樣分配是絕對公平的，每個名額所代表的人數(shù)是相同的.但由于人數(shù)是整數(shù)，名額也是整數(shù)，qi是整數(shù)這種理想情況是極少出現(xiàn)的，這樣就出現(xiàn)了用接近于qi的整數(shù)之代替的問題.在實際應用中，這個代替的過程會給不同的單位或團體帶來不平等，這樣，以一種平等、公正的方式選擇qi是非常重要的，即確定盡可能公平（不公平程度達到極?。┑姆峙浞桨? 按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

6、- hamilton (哈密頓)方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？在數(shù)學上，代表名額分配問題的一般描述是：設名額數(shù)為n，共有s個單位，各單位的人數(shù)分別為pi,i=1,2,s.問題是如何尋找一組整數(shù)q1,qs使得q1+q2+?qs=n，其中qi是第i個單位所獲得的代表名額數(shù)，并且“盡可能”地接近它應得的份額pin/(p1+p2+ps)，即所規(guī)定的按人口比例分配的原則.如果對一切的i=1,2,s，嚴格的比值恰好是整數(shù)，則第i個單位分得qi名額，這樣分配是絕對公平的，每個名額所代表的人數(shù)是相同的.但由于人

7、數(shù)是整數(shù)，名額也是整數(shù)，qi是整數(shù)這種理想情況是極少出現(xiàn)的，這樣就出現(xiàn)了用接近于qi的整數(shù)之代替的問題.在實際應用中，這個代替的過程會給不同的單位或團體帶來不平等，這樣，以一種平等、公正的方式選擇qi是非常重要的，即確定盡可能公平（不公平程度達到極?。┑姆峙浞桨?hamilton (哈密頓)方法哈密頓方法具體操作過程如下 先讓各個單位取得份額qi的整數(shù)部分qi； 計算ri=qi-qi，按照從大到小的數(shù)序排列，將余下的席位依次分給各個相應的單位，即小數(shù)部分最大的單位優(yōu)先獲得余下席位的第一個，次大的取得余下名額的第二個，依此類推，直至席位分配完畢. 上述6個樓的21個名額的分配結果見表1. 哈密頓

8、方法看來是非常合理的，但這種方法也存在缺陷.譬如當s和人數(shù)比例不變時，代表名額的增加反而導致某單位名額qi的減少.表1樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù) a235235/10003b333333/10003c432432/10004考慮上述 棟樓所選人員名額分配問題.因為有10生代表參加該委員會時可能出現(xiàn)不公平問題這樣算a棟會多同時對b、c兩棟都不公平。因此決定增加一席位用q值法進行分配分配情況見下表表2樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù)人數(shù)a235235/10002.5853b333333/10003.6634c432432/10004.7524顯然，這個結果對于c是不公平的，總名額多了一個，但是只有a b增加

9、名額而c名額不變。q值法眾所周知，pi/ni表示第i個單位每個代表名額所代表的人數(shù).很顯然，當且僅當pi/ni全相等時，名額的分配才是公平的.但是，一般來說，它們不會全相等，這就說明名額的分配是不公平的，并且pi/qi中數(shù)值較大的一方吃虧或者說對這一方不公平.同時我們看到，在名額分配問題中要達到絕對公平是非常困難的.既然很難作到絕對公平，那么就應該使不公平程度盡可能的小，因此我們必須建立衡量不公平程度的數(shù)量指標.不失一般性，我們考慮a，b雙方席位分配的情形（即s=2）.設a，b雙方的人數(shù)為p1,p2，占有的席位分別為n1,n2，則a，b的每個席位所代表的人數(shù)分別為p1/n1，p2/n2，如果p

10、1/n1=p2/n2，則席位分配是絕對公平的，否則就是不公平的，且對數(shù)值較大的一方不公平.為了刻劃不公平程度，需要引入數(shù)量指標，一個很直接的想法就是用數(shù)值|p1/n1-p2/n2|來表示雙方的不公平程度，稱之為絕對不公平度，它衡量的是不公平的絕對程度.顯然，其數(shù)值越小，不公平程度越小，當|p1/n1-p2/n2|=0時，分配方案是絕對公平的.用絕對不公平度可以區(qū)分兩種不同分配方案的公平程度，例如：顯然第二種分配方案比第一種更公平.但是，絕對不公平度有時無法區(qū)分兩種不公平程度明顯不同的情況：第一種情形顯然比第二種情形更不公平，但它們具有相同的不公平度，所以“絕對不公平度”不是一個好的數(shù)量指標，我

11、們必須尋求新的數(shù)量指標.這時自然想到用相對標準，下面我們引入相對不公平的概念.如果p1/n1p2/n2，則說明a方是吃虧的，或者說對a方是不公平的，稱為對a的相對不公平度；如果p1/n1p2/n2，此時與前一種情形相比后一種更公平.建立了衡量分配方案的不公平程度的數(shù)量指標ra，rb后，制定分配方案的原則是：相對不公平度盡可能的小.假設a，b雙方已經(jīng)分別占有n1，n2個名額，下面我們考慮這樣的問題，當分配名額再增加一個時，應該給a方還是給b方，如果這個問題解決了，那么就可以確定整個分配方案了，因為每個單位至少應分配到一個名額，我們首先分別給每個單位一個席位，然后考慮下一個名額給哪個單位，直至分配

12、完所有名額.不失一般性，假設p1/n1p2/n2，這時對a方不公平，當再增加一個名額時，就有以下三種情形：情形1：p1/（n1+1）p2/n2，這表明即使a方再增加一個名額，仍然對a方不公平，所以這個名額應當給a方；情形2：p1/（n1+1）p2/(n2+1)，這表明b方增加一個名額后，對a方更加不公平，這時對a的相對不公平度為公平的名額分配方法應該是使得相對不公平度盡可能的小，所以若情形1發(fā)生，毫無疑問增加的名額應該給a方；否則需考察rb(n1+1,n2)和ra(n1,n2+1)的大小關系，如果rb(n1+1,n2)ra(n1,n2+1)，則增加的名額應該給a方，否則應該給b方.注意到rb(

13、n1+1,n2)ra(n1,n2+1)等價于，名額（席位）分配問題應該對各方公平是理所當然的，問題的關鍵是在于建立衡量公平程度的即合理又簡明的數(shù)量指標.惠丁頓法所提出的數(shù)量指標是相對不公平值ra，rb，它是確定分配方案的前提.在這個前提下導出的分配方案分給q值最大的一方無疑是公平的.但這種方法也不是盡善盡美的，這里不再探討.引入公式于是知道增加的席位分配可以由qk的最大值決定，且它可以推廣到多個組的一般情況。用qk的最大值決定席位分配的方法稱為q值法。對多個組（m個組）的席位分配q值法可以描述為 1先計算每個組的q值： qk , k=1,2,m2求出其中最大的q值qi（若有多個最大值任選其中一

14、個即可） 3將席位分配給最大q值qi對應的第i組。這種分配方法很容易編程處理。 模型求解 按應分配的整數(shù)部分分配，余下的部分按q值分配。 本問題的整數(shù)名額是10如下： 表3：樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù)a2350.2352b3330.3333c4320.4324對10個席位的分配求q值：qa=2352/（22）=90.24 qb=3332/（33）=92.40 qc=4322/（44）=93.31比較qa、qb、qc，qc最大因此最后一個席位因分給c樓，所以人數(shù)為： a：2 b；3 c：5四、模型評注以上的兩中分配方法在生活中的用途很廣，但q值法對席位等的分配要比比例法更加公平精確。q值模型系統(tǒng)地給席位的分配方案，便于指導工作實踐模型原理簡單明了且公平準確，容易理解與靈活運用建模的方法和思想對其他類型也適合，易于推廣到其他領域。五、最后總結：q值法的應用應在對分配不公平的問題中進行，