7_4 空間曲線

1、 第七七章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P321 例1)又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxza

2、o機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P322 例2)zyxo二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時當(dāng)bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P322 例3)例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos2

3、6(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()()(2222tzttyx例例2. 求空間曲線 :)(tx)(ty)(tz)( t繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點點 M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 設(shè)動點為 , ),(zyxM則 cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . ozyxM1M例如例如, 直線1xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)

4、所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyxxzoy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如又如, xoz 面上的半圓周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影

5、曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0,

6、122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (P325 例5)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) P120 題 1，2，3 , 7（展示空間圖形）P120 題1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)zxyo oaoa222azx222ayx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P120 題2 ozy15 xy3 xy15 xy3 xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz2x3思考思考: :by 對平面交線情況如何?,3時當(dāng)b交線情況如何?,3時當(dāng)bP120 題319422yx3y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P121 題 13022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P49 9, 10作業(yè)作業(yè)第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx備用題備用題求曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線