3、 三年級 奧數(shù)基礎教師

1、第三講 和倍、差倍問題教學目標本講主要學習三個主要知識點：1、理解掌握解決和差、和倍、差倍問題的一般方法；2、掌握并運用圖示法解答和差、和倍和差倍問題；3、通過量與倍數(shù)的對應關系，讓學生體會對應的數(shù)學思想 在今天這節(jié)課中，老師首先要引導學生通過具體的題目分析，來理解什么是“和差”“和倍”“差倍”問題，然后再通過相同類型題目的層層訓練，讓學生掌握運用圖示法解決“和差”“和倍”“差倍”問題的方法，通過講解量與倍的對應關系，使學生體會到數(shù)學中的對應思想 想 挑 戰(zhàn) 嗎 ？已知，是三個不同的數(shù)，并且，60，那么等于多少？分析：由第一、第二個式子可知，是的2倍，將它代換到第三個式子中，就是三個加2個等于

2、60，而，所以，60230，10，15，20，所以：10152045.你還記得嗎？1、6的4倍減去6是多少？分析：64-6=182、小明有5支鉛筆，小剛的鉛筆數(shù)是小明的3倍，請問小剛有多少支鉛筆？ 分析：53=15（支）3、王大媽家有10只雞，李大媽家的雞的數(shù)量是王大媽家雞的數(shù)量的2倍還多3只，那么李大媽家有多少只雞？分析：102+3=23（只）專題精講 （一）和差問題和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應用題解答這類應用題通常用假設法，同時結合線段圖進行分析解題時，我們可以假設小數(shù)增加到與大數(shù)同樣多，先求大數(shù)再求小數(shù)；也可以假設大數(shù)減少到與小數(shù)同樣多，先求小數(shù)再求

3、大數(shù)我們可以用以下的數(shù)量關系式表示： (和差)2大數(shù)(和差)2小數(shù)【例1】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）朝陽小學合唱團共有72名成員，其中男合唱隊員比女合唱隊員少6名，合唱團中男、女隊員各有多少名?分析：（法1）我們先用圖來表示題意： 已知男隊員比女隊員少6名，從線段圖上可以看出，假設男隊員增加6名，就和女隊員同樣多，那么合唱的人數(shù)就是72678(名)這78人就相當于女隊員人數(shù)的2倍，由此可知，女隊員有78239(名)，男隊員有39633(名) （法2） 也可以假設女隊員減少6名，那么就和男隊員同樣多，這時合唱團的人數(shù)是72666(名)這66人就相當于男隊員人數(shù)的2倍，由此可知男隊員的人數(shù)是66233(名

4、)，女隊員的人數(shù)是33639 (人)用圖表示：拓展電視機廠上半年下半年共生產(chǎn)電視機12萬臺，下半年比上半年多生產(chǎn)2萬臺，上半年和下半年各生產(chǎn)電視機多少臺？分析：用圖表示題意如下：假設上半年增加2萬臺，就和下半年一樣多，那么全年一共生產(chǎn)12+2=14（萬臺），相當于下半年的2倍，可知，上半年生產(chǎn)：142=7（萬臺），上半年生產(chǎn)：7-2=5（萬臺）【例2】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）小明期終考試語文和數(shù)學的平均分數(shù)是97分，語文比數(shù)學少6分，語文和數(shù)學各得了多少分? 分析： 題目中已知數(shù)學與語文成績之差是6分，而成績之和沒有直接給出，但告訴我們兩科的平均成績是97分，這樣可以通過計算，求出兩科的成績之和，再

5、分別求出兩科的成績（法1） 兩科的總成績972194(分)，數(shù)學的分數(shù) (1946)22002100(分)，語文分數(shù)100694(分)（法2）兩科的總成績972194(分) ，語文的分數(shù)(1946)2188294(分)，數(shù)學的分數(shù)946100(分)拓展 一部書有上、中、下三冊，上冊比中冊貴1元，中冊比下冊貴2元，這部書售價32元，上、中、下三冊各多少元?分析：我們用圖來表示題意 根據(jù)題意：我們可以中冊書的價格為基準(也可以用上冊或下冊的價格為基準)如果上冊書少1元，下冊書多2元，三冊書的價錢就相同了，也就是32元減去1元，再加上2元，結果是中冊書價錢的3倍這樣便可以求出中冊書的價格然后再分別求

6、上冊、下冊的價錢中冊書價格(3212)3 33311(元)，上冊書價格11112(元)，下冊書的價格1129(元).【例3】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）甲乙兩校共有學生2346人，如果甲校增加146人，乙校減少88人，兩校的學生人數(shù)就相等，你知道兩校實際各有多少人嗎? 分析： 我們用圖來表示題意： 已知兩校的人數(shù)和是2346人，而兩校人數(shù)的差沒有直接告訴我們只要求出兩校人數(shù)的差，就能解決問題了從圖上可以看出，甲校增加146人，乙校減少88人，兩校的學生人數(shù)就相等在甲校人數(shù)沒有增加，乙校人數(shù)沒有減少之前，兩校的人數(shù)相差：14688234 (人)，利用(和差)2大數(shù)，就可以求出乙校實際的人數(shù)： (23461

7、4688)21290(人)乙校 234612901056(人)甲校鞏固甲乙兩加工小組4天共加工服裝264件，已知甲組每天比乙組多加工6件甲乙兩組每天各加工多少件服裝? 分析: 已知兩組4天共加工服裝264件，可以知道兩組每天共加工服裝264466件根據(jù)甲組每天比乙組多加工6件，可以假設甲組每天少加工6件就和乙組每天的加工數(shù)同樣多，從兩組每天加工的總件數(shù)(2644)中減去6件，就相當于乙組每天加工件數(shù)的2倍 (1)甲、乙兩組每天共加工 264466(件); (2)假設甲組每天少加工6件，兩組每天共加工 66660(件); (3)乙組每天加工 60230(件); (4)甲組每天加工 30636(件

8、)或663036(件) 拓展 學而思學校基礎班和提高班共83人，提高班和精英班共86人，精英班和競賽班共88人，問基礎班和競賽班共多少人?分析：由題意，題目中的三個條件可以分別用三個等式表示： 基礎班提高班83(人) 提高班精英班86(人) 精英班競賽班88(人)所以，基礎、提高、精英、競賽四個班的總人數(shù)為：8388171(人)再用四個班的總人數(shù)減去提高班和精英班的人數(shù)，得出基礎班和競賽班的人數(shù)為：1718685(人)（二）和倍問題和倍問題，顧名思義就是已知兩個數(shù)的和以及這兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)分別是多少的應用題，它是常見的典型應用題之一要想順利地解答和倍應用題，最好的方法就是根據(jù)題目中

9、所給的條件和問題，畫出線段圖，使數(shù)量關系一目了然，從而正確迅速地列出算式這里大數(shù)是小數(shù)的2倍，倍數(shù)是2可以看出，小數(shù)為1倍數(shù)，大數(shù)為2倍數(shù)根據(jù)圖意，和所對應的倍數(shù)為(2+1)，那么每份是：和(倍數(shù)+1)，每份的數(shù)也就是一倍的教所以數(shù)量關系式可以這樣表示：兩數(shù)和(倍數(shù)+1)=小數(shù)(一倍數(shù))小數(shù)(一倍數(shù))倍數(shù)=大數(shù)(幾倍數(shù)) 或兩數(shù)和-小數(shù)(一倍數(shù))=大數(shù)(幾倍數(shù))【例4】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）中關村一小三、四年級的同學們一共制作了318件航模，四年級同學制作的航模件數(shù)是三年級的2倍，三、四年級的同學各制作了多少件航模?分析： 已知四年級同學制作的航模件數(shù)是三年級的2倍，可以想到三年級同學制作的航模件

10、數(shù)是1倍數(shù)兩個年級共制作了318件，這318件就相當于123倍，這樣就可以求得1倍數(shù)三年級同學的制作件數(shù)是：3183106(件)再根據(jù)四年級同學和三年級同學制作航模件數(shù)的倍數(shù)關系，求出四年級同學制作航模的件數(shù)是：1062212(件)拓展王同班上的自然角的4個籠子里養(yǎng)了32只兔子，每個籠子里小兔子的只數(shù)是大兔子的3倍，每只籠子里有幾只小兔子和幾只大兔子？分析：已知每個籠子里小兔子的只數(shù)是大兔子的3倍，可以知道每個籠子里兔子的倍數(shù)和是1+3=4倍，要求得一倍數(shù)，即大兔子的只數(shù)，還要找出每只籠子里大兔子和小兔子的和，所以，大兔子的只數(shù)為：324（1+3）=84=2（只），小兔子的只數(shù)：23=6（只）

11、【例5】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）小強和小明共有28本練習本，小強的練習本比小明的2倍少2本小強和小明各有幾本練習本? 分析： 從線段圖可以看出，如果讓小強增加2本練習本，那么就正好是小明練習本本數(shù)的2倍小強增加了2本練習本，兩人練習本的總本數(shù)也應增加2本，是282=30(本)30本正好是小明練習本本數(shù)的123倍，這樣就可以分別求出小強和小明各有多少本練習本 (282)(12) 30310(本)小明 102218(本)或281018(本)小強拓展 小白兔和小灰兔共有50個蘿卜，小灰兔的蘿卜比小白兔的2倍多2個小白兔和小灰兔各有多少個蘿卜?分析：由下面的線段圖可以得出： (502)(12) 48316(

12、個)小白兔162234（個）或501634（個）小灰兔【例6】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）甲乙丙三個數(shù)的和是360，已知甲是乙的3倍，乙是丙的2倍，求甲乙丙三個數(shù)各是多少?分析： 把丙看作一倍數(shù)，乙是丙的2倍，而甲就是丙的236倍，與丙相對應的倍數(shù)和就是1269倍，由此可分別求出三個數(shù) 360(1223) 3609 40丙 40280乙 803240甲拓展 甲乙丙三個數(shù)的和是359，已知甲是乙的3倍多8，乙是丙的2倍少9，求甲乙丙三個數(shù)各是多少?分析：把丙看作一倍數(shù)，乙是丙的2倍少9，而甲就是丙的236倍少（398），與丙相對應的倍數(shù)和就是1269倍，由此可分別求出三個數(shù) （359849）（1223）

13、3879 43丙 432977乙 7738239甲【例7】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）學而思學校三年級基礎班有圖書108本，提高班有圖書140本，要使基礎班圖書是提高班的3倍必須從提高班拿出多少本放入基礎班? 分析： 由于要求基礎班應有圖書為提高班的3倍，如果將提高班的應有圖書量看做一倍量，那么提高班圖書存量的總和相當于提高班應有圖書量的(13)倍量，從而可求出提高班應有圖書量再來具體看問題“必須從提高班拿出多少本放入基礎班”，很明顯用提高班原來的有圖書量減去應有圖書量，便可以解答了甲、乙兩倉庫有圖書的總量：108140248(本)，提高班應有圖書量：248 (13)62(本)，提高班拿出圖書數(shù)量： 1

14、406278(本)拓展一 學而思學校三年級基礎班有圖書108本，提高班有圖書140本，要使基礎班圖書是提高班的3倍多20本必須從提高班拿出多少本放人基礎班?分析： 將提高班的應有圖書量看做一倍量，那么提高班圖書存量的總和相當于提高班應有圖書量的(13)倍量20本，從而可求出提高班應有圖書量基礎班、提高班有圖書的總和108140248(本)，提高班應有圖書量：（24820） (13)57（本），提高班拿出圖書數(shù)量： 1405783(本)拓展二 某養(yǎng)殖廠養(yǎng)雞、鴨、鵝共1462只，雞的只數(shù)比鴨的4倍多132只，鵝的只數(shù)比鴨的2倍少70只這個養(yǎng)殖廠養(yǎng)的雞、鴨、鵝各有多少只? 分析： 把鴨的只數(shù)看作1份

15、，雞的只數(shù)看作4份，鵝的只數(shù)看作2份，雞、鴨、鵝的總只數(shù)就相當于鴨的：14 27(份)而雞、鴨、鵝的總只數(shù)可以看作：1462132 701400 (只)用總只數(shù)除以總份數(shù)，先求出鴨的只數(shù)，再求雞和鵝的只數(shù)鴨的只數(shù)：(146213270)(142)14007200(只)； 雞的只數(shù)：2004 132800 132932(只)； 鵝的只數(shù)：20027040070330(只)（三）差倍問題差倍問題就是已知兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)解答差倍問題的關鍵是找出兩個數(shù)的差，以及與差相對應的倍數(shù)差，從而求出一倍數(shù)，再求出其它的數(shù)解題時，我們一般也是先借助線段圖幫助自己分析題目的數(shù)量關系這類問題的數(shù)

16、量關系式是： 兩數(shù)差(倍數(shù)1)小數(shù)(一倍數(shù)) 小數(shù)(一倍數(shù))倍數(shù)大數(shù)(幾倍數(shù)) 或小數(shù)(一倍數(shù))兩數(shù)差大數(shù)(幾倍數(shù))【例8】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）李爺爺家養(yǎng)的鴨比鵝多18只，鴨的只數(shù)是鵝的3倍，你知道李爺爺家養(yǎng)的鴨和鵝各有多少只嗎?分析：與18只相對應，這樣就可以求出一倍數(shù)也就是鵝的只數(shù)，求出了鵝的只數(shù)，鴨的只數(shù)就容易求出來了鴨與鵝只數(shù)的倍數(shù)差是312（倍），鵝有1829(只)，鴨有 9327(只). 拓展媽媽將買來的糖平均分給姐姐和妹妹，如果姐姐給妹妹12塊，那么妹妹分得的糖的塊數(shù)是姐姐的2倍，姐妹倆原來各有多少糖？分析：從圖上可以看出，姐妹倆原來擁有的糖果數(shù)目相等，當姐姐給妹妹12塊后，妹妹比

17、姐姐多兩個12塊，也就是24塊，而妹妹的塊數(shù)是姐姐的2倍，他們的倍數(shù)差就是2-1=1倍，所以姐姐現(xiàn)在有：241=24（塊），原來有24+12=36（塊），妹妹也是36塊【例9】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）學而思學校買來白粉筆 比彩色粉筆多15箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的4倍還多3箱，學而思學校買來白粉筆和彩色粉筆各多少箱？分析：這不是一道典型的“差倍問題”，但我們可以通過適當?shù)淖冃?，將其作為一個典型的“差倍問題”來解決見上圖，由于白筆比彩筆的4倍多3箱，故把彩筆看做1倍數(shù)，(白筆3)就相當于彩筆的4倍，即彩筆比(白筆3)少3倍，注意此時白筆比彩筆多15312箱彩色粉筆的箱數(shù)1234(箱)，白色粉筆的箱數(shù)：

18、41519(箱) 拓展一 學而思學校買來白粉筆比彩色粉筆多15箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的4倍少3箱，學而思學校買來白粉筆和彩色粉筆各多少箱？ 分析：把彩筆看做1倍數(shù)，(白筆3)就相當于彩筆的4倍，即彩筆比(白筆3)少3倍，注意此時白筆比彩筆多15318箱彩色粉筆的箱數(shù)1836(箱)，白色粉筆的箱數(shù)：61521(箱)拓展二 有甲、乙兩艘貨船，甲船所載貨物是乙船的3倍若甲船增加貨物1200噸，乙船增加貨物900噸，則甲船所載貨物是乙船的2倍甲船原載貨物多少噸?分析：甲船所載貨物是乙船所載貨物的3倍，乙船增加900噸，甲船就應增加90032700(噸)，實際少增加270012001500(噸)少增加

19、的重量等于乙船現(xiàn)有貨物的321(倍)，所以甲船原載貨物(1 500900)31800(噸)【例10】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）兩個筐中各有蘋果若干千克，第一個筐中的蘋果是第二筐中的蘋果的4倍，如果從第一個筐中取出26千克蘋果，從第二個筐中取出2千克蘋果，則兩筐蘋果的重量相等你知道這兩個筐中原來各有蘋果多少千克嗎?分析：從圖中可以看出，第一個筐中的蘋果是第二筐的4倍，則第二筐的蘋果數(shù)是一倍數(shù)如果第二筐中取出2千克，剩下的重量就正好相當于1倍，那么兩筐蘋果的相差數(shù)26224(千克)，相當于第二筐原來重量的3倍兩筐蘋果的差和倍差都知道了，就可以求出兩筐蘋果原來的重量兩筐蘋果的倍數(shù)差是413（倍），兩筐蘋果相

20、差26224(千克)，第二筐原來有蘋果重量2438(千克) ，第一筐原來有蘋果重量8432（千克）.拓展實驗小學一校區(qū)人數(shù)比實驗小學二校區(qū)人數(shù)少540人，因為第三校區(qū)建成，從兩個校區(qū)各調(diào)走200人，這時實驗小學二校區(qū)人數(shù)恰好是實驗小學一校區(qū)人數(shù)的4倍，那么實驗小學一校區(qū)和實驗小學二校區(qū)原來各有多少人？分析：兩校區(qū)各調(diào)走200人之后還是相差540人，對應的倍數(shù)是：4-1=3倍，實驗小學一校區(qū)調(diào)走200人后剩下的人數(shù)是：540（4-1）=180（人），實驗小學一校區(qū)原有：180+200=380（人），實驗小學二校區(qū)為：380+540=920（人）【例11】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）兩筐千克數(shù)相同的蘋果，甲

21、筐賣出7千克，乙筐賣出19千克后，甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的3倍，兩筐蘋果各有多少千克? 分析： 設乙筐余下的千克數(shù)為1份，則甲筐余下的千克數(shù)為3份，甲、乙兩筐余下的蘋果相差312份原來甲、乙兩筐蘋果的千克數(shù)相同，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克，說明甲筐比乙筐少賣出19712千克，也就是乙筐余下的蘋果比甲筐少12千克，所以甲、乙兩筐余下的差是12千克，所對應的份數(shù)差是2，從而可以求出1份及兩筐蘋果原來的重量，甲、乙兩筐余下的蘋果數(shù)相差19712(千克)，乙筐余下蘋果的數(shù)是12(31)6(千克)，甲、乙兩筐各有蘋果的數(shù)量61925(千克). 拓展王先生有存款150萬元，李先生有存款80萬元，現(xiàn)在

22、兩人取出同樣的金額去投資，這時王先生余下的金額正好是李先生余下的3倍，王先生李先生各用了多少錢？分析：李先生余下的金額為一倍數(shù)，則王先生、李先生余下的金額相差3-1=2倍，所以，李先生余下的金額為：（150-80）2=35（萬元），花去了80-35=45（萬元），王先生與李先生用的錢一樣多，也是45萬元【例12】 （ 奧數(shù)網(wǎng)題庫）中關村三小原來參加室外活動的人數(shù)比室內(nèi)的人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的5倍，參加室內(nèi)、室外活動的一共有多少人? 分析： 原來室外人數(shù)比室內(nèi)人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣室外活動人數(shù)比室內(nèi)

23、活動人數(shù)多480502580人現(xiàn)在室外活動人數(shù)是室內(nèi)人數(shù)的5倍，也就是現(xiàn)在室內(nèi)活動人數(shù)是1份，室外人數(shù)是5份，室外人數(shù)與室內(nèi)人數(shù)的差相當于514份，這4份就是580人，從而可以求出1份及室內(nèi)、室外一共的人數(shù)，現(xiàn)在室外比室內(nèi)多的人數(shù)是480502580(人)，現(xiàn)在室內(nèi)有的人數(shù) 580(51)145(人)，室內(nèi)、室外一共有的人數(shù)145(15)870(人). 拓展甲、乙兩桶油，如果甲桶倒入8千克油，兩桶油就一樣重，如果從甲桶取出3千克油倒入乙桶，乙桶的油就是甲桶油的3倍，甲、乙兩桶原來各有多少油？分析：從條件可知，兩桶油一共相差8+3214（千克）的油，而倍數(shù)相差3-12倍.甲現(xiàn)在有油：（8+32）

24、72（千克），甲原有油7+310（千克），乙原有油：10+818（千克）專題展望在本講學習中，我們只學習了簡單的和差、和倍和差倍問題，在以后的學習中我們將繼續(xù)學習和差、和倍和差倍問題與植樹、行程等問題的綜合練習三1 （例2）園子里有兩棵梨樹，平均每棵收梨260千克，已知甲樹比乙樹少40千克，求甲、乙兩樹各收梨多少千克？分析：兩棵樹共收梨：2602=520（千克），甲樹收梨：（520-40）2=240（千克），乙樹收梨：240+40=280（千克）2 （例3）甲乙兩桶油共重82千克，如果從乙桶倒2千克油放入甲桶，則兩桶油的重量就相等甲乙兩桶油原來各有多少千克?分析：根據(jù)“從乙桶倒2千克油放人甲桶，則兩桶油的重量就相等”這個