單因素方差分析完整實(shí)例

1、什么是單因素方差分析單因素方差分析 是指對(duì)單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方 法。單因素方差分析是兩個(gè) 樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而 確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種 統(tǒng)計(jì)方法。單因素方差分析相關(guān)概念因素：影響研究對(duì)象的某一 指標(biāo)、變量。水平：因素變化的各種狀態(tài)或因素變化所分的等級(jí)或組別單因素試驗(yàn)：考慮的因素只有一個(gè)的試驗(yàn)叫單因素試驗(yàn)。單因素方差分析示例例如，將抗生素注入人體會(huì)產(chǎn)生抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的現(xiàn)象，以致減少了藥效。下表列出了 5種常用的抗生素注入到牛的體內(nèi)時(shí)，抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比。現(xiàn)需要在顯著性水平a =下檢

2、驗(yàn)這些百分比的均值有無(wú)顯著的差異。設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同。青四鏈紅氯霉素環(huán)素霉素霉素霉素在這里，試驗(yàn)的指標(biāo)是抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比，抗生素為因素，不同的5種抗生素就是這個(gè)因素的五個(gè)不同的水平。假定除抗生素這一因素外，其余的一切條件都相同。這就是 單因素試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是要考察這些抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值有無(wú)顯著的差 異。即考察抗生素這一因素對(duì)這些百分比有無(wú)顯著影響。這就是一個(gè)典型的單因素試驗(yàn)的方差分析問題。單因素方差分析的基本理論與通常的統(tǒng)計(jì)推斷問題一樣，方差分析的任務(wù)也是先根據(jù)實(shí)際情況提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H,然后尋找適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行 假設(shè)檢驗(yàn)。本節(jié)將借用

3、上面的實(shí)例來討論單因素試驗(yàn)的方差 分析問題。在上例中，因素A （即抗生素）有s （ =5）個(gè)水平在每一個(gè)水平 八j（j = b ZJ伙）下進(jìn)行了 n = 4次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如上表所示的結(jié)果。這些結(jié)果是一個(gè) 隨機(jī)變量。表中的數(shù)據(jù)可以看成來自 s個(gè)不同總體（每個(gè)水平對(duì)應(yīng)一個(gè)總體）的樣本值，將各個(gè) 總體的均值依次記為 心肥、）卩&則按題意需檢驗(yàn)假設(shè)鳳：旳=#2 =山Hi :口丄屮2,心不全相等為了便于討論，現(xiàn)在引入總平均口1用p = -EA工譏j其中：再引入水平A的效應(yīng)S j|5j =閔一 j = 1,2 顯然有砒L *克血+逐人=j表示水平A下的總體平均值與總平均的差異。利用這些記號(hào)，本例的假設(shè)就

4、等價(jià)于假設(shè)I= * = i, = 0Hi :幾抵, 妃不全為零因此，單因素方差分析的任務(wù)就是檢驗(yàn)s個(gè)總體的均值 是否相等，也就等價(jià)于檢驗(yàn)各水平 A的效應(yīng)是否都等于零。2.檢驗(yàn)所需的統(tǒng)計(jì)量假設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同，即假定各個(gè)水平月/j =2廠！ 下的樣本廠1負(fù)工論：“呻來自正態(tài)總體 N 3,廳2），口 j與/未知，且設(shè)不同水平 A下的樣本之間相 互獨(dú)立，則單因素方差分析所需的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以從總平方和的分解導(dǎo)出來。下面先引入：水平A下的樣本平均值數(shù)據(jù)的總平均1 聞巧Tl工1=1總平方和：總平方和St反映了全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，因此St又稱為總變差。將其分解為其中：fl 礎(chǔ)= （呵-王叮

5、產(chǎn)i=i$a = EE（-）2 = Z 陽(yáng)歸一計(jì)）上述Se的各項(xiàng) g - 乳表示了在水平A下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由 隨機(jī)誤 差所引起的，因此Se叫做誤差平方和。SA的各項(xiàng)（克打一更）表示了在水平A下的樣本平均值 與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平 A以及隨機(jī)誤差所引起的，因此 Sa叫做因素A的效應(yīng)平方和?？梢宰C明S與Se相互獨(dú)立，且當(dāng)頂：X = & =九=0為真時(shí)，Sa與Se分別服 從自由度為s - 1, n - s的x 2分布，即S / d 2? x 2(s - 1)S / /? x 2(n -s)于是，當(dāng):：i-加為真時(shí)(S/j/($ -1)=弟7(昌 一 1)這就是單因素方差分析所需的服從F分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量3.假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域通過上面的分析可得，在顯著性水平a下，本檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)?凡(出1, n 5)為了方便分析比較