高一數(shù)學(xué) 必修 4 第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

1、第三章 三角恒等變換3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式一、教材分析兩角差的余弦公式是人教a版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動參與，獨立思索，自己得出相應(yīng)的結(jié)論。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：.引導(dǎo)學(xué)生建立兩角差的余弦公式。通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。2、過程與辦法：在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會合作交流的能力。3、情感，態(tài)度與價值觀：通過課題背景的設(shè)計，增強學(xué)生

2、的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。三、教學(xué)重點難點重點： 兩角差余弦公式的探索和簡單應(yīng)用。難點： 探索過程的組織和引導(dǎo)。四、學(xué)情分析之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及平面向量的運算和應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上，要考慮如何利用任意角的正弦余弦值來表示，牢固的掌握這個公式，并會靈活運用公式進(jìn)行下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。五、教學(xué)方法1.自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式。2.探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程。3.反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距六、課前準(zhǔn)備1.學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)兩角差的余弦公式，理解兩種方法的推理過程。2.教師準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)

3、案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時安排：1課時八、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 以學(xué)校教學(xué)樓為背景素材（見課件）引入問題。并針對問題中的用計算器或不用計算器計算求值，以激趣激疑，導(dǎo)入課題。 教師問：想一想: 學(xué)校因某次活動的需要,需從樓頂?shù)腸點處往該點正對的地面上的a點處拉一條鋼繩,為了在購買鋼繩時不至于浪費,你能算一算到底需要多長鋼繩嗎? (要求在地面上測量,測量工具:皮尺,測角器)問題：（1）能不能不用計算器求值 ： ， ，（2）設(shè)計意圖：由給出的背景素材，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，喚起學(xué)生解決問題的興趣，和拋出新知識引起學(xué)生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方

4、向。（二）、研探新知1.三角函數(shù)線法：問：怎樣作出角、的終邊。怎樣作出角的余弦線om怎樣利用幾何直觀尋找om的表示式。設(shè)計意圖：盡量用動畫課件把探索過程展示出來，使學(xué)生能從幾何直觀角度加強對公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識。（1） 設(shè)角終邊與單位圓地交點為p1，。（2） 過點p作pmx軸于點m，那么om就是 的余弦線。（3） 過點p作paop1于a，過點a作abx軸于b，過點p作pcab于c那么 oa表示 ，ap 表示，并且于是 om=ob+bm =ob+cp =oa+ap = 最后要提醒學(xué)生注意，公式推導(dǎo)的前提條件：、都是銳角，且2.向量法：問：結(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個向量，它們怎么表示？ 怎樣利用向量數(shù)

5、量積的概念和計算公式得到結(jié)果。 對探索的過程進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用向量知識解決一個數(shù)學(xué)問題的過程，體會向量方法解決數(shù)學(xué)問題的簡潔性。如圖,建立單位圓 o由向量數(shù)量積的概念,有aobxy 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有因為 、都是任 意 角,所以也是任意角,但由誘導(dǎo)公式以總可找到一個，使得 。 于是對于任意角、都有 例1. 利用差角余弦公式求的值 （求解過程讓學(xué)生獨立完成，注意引導(dǎo)學(xué)生多方向、多維度思考問題）解法1：解法2：變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）； （2） （讓學(xué)生聯(lián)系公式和本題的條件，考慮清楚要計算，應(yīng)作那些準(zhǔn)備。

6、） 解：由，得又由，是第三象限角，得所以讓學(xué)生結(jié)合公式，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。變式訓(xùn)練：（三）、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1.利用兩角和（差）的余弦公式，求【點評】：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會靈活運用.2.求值 3化簡 提示：利用拆角思想的變換技巧（設(shè)計意圖：通過變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對公式的理解和應(yīng)用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進(jìn)思維的創(chuàng)新。） （四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，要求

7、同學(xué)們掌握公式的推導(dǎo)，能熟練運用公式，注意公式的逆用。在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，學(xué)會靈活運用.課下完成本節(jié)的課后練習(xí)以及課后延展作業(yè)，課本習(xí)題2.3.4(設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。)九、板書設(shè)計兩角差的余弦公式1.三角函數(shù)線法 2.向量法例1 變式訓(xùn)練 例2 變式訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1. 2.3. 4.十、教學(xué)反思本節(jié)主要考察如何用任意角的正弦余弦值來表示，回顧公式 的推導(dǎo)過程，觀察公式的特征，注意符號區(qū)別以及公式中角，的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解

8、決問題.設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過自己小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，加深對公式及其推導(dǎo)過程（包括發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學(xué)化的過程）的理解。3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)：理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用。2.過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生親身經(jīng)歷“從已知入手，研究對象的性質(zhì)，再聯(lián)系所學(xué)知識，推導(dǎo)出相應(yīng)公式?！边@一研究過程，培養(yǎng)他們觀察、分析、聯(lián)想、歸納、推理的能力。通過階梯性的強化練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過對兩角和與差的三角恒等變換特點的研究，培

9、養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求索精神；使學(xué)生逐步養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、及時總結(jié)的好習(xí)慣。二、教學(xué)重難點教學(xué)重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運用；教學(xué)難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用。三、教學(xué)過程（一）新課引入創(chuàng)設(shè)情境 引入課題：想一想：由上一節(jié)所學(xué)的兩角差的余弦公式：，同學(xué)們很容易想到：那 這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切的公式：(二)講授新課探索新知一兩角和的余弦公式思考：由，如何求分析：由于加法與減法互為逆運算，結(jié)合兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式，將上式中以-b代b得cos(+)=coscossinsin1、上述公式就是兩角和的余弦公式，記作 。由兩角和的

10、余弦公式：，我們現(xiàn)在完成課前的想一想：探索新知二思考：前面我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦，請同學(xué)們猜想一下：會不會有兩角和與差的正弦公式呢？如果有，又該如何推導(dǎo)呢？在第一章中，我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同學(xué)們是否還記得如何實現(xiàn)由余弦到正弦的轉(zhuǎn)化呢？結(jié)合與，我們可以得到 2、上述公式就是兩角和的正弦公式，記作。那 將上式 中以-b代b得3、上述公式就是兩角差的正弦公式，記作。探索新知三用任意角的正切表示的公式的推導(dǎo):根據(jù)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系，我們可以推得：4、上述公式就是兩角和的正切公式，同理5、上述公式就是兩角差的正切公式，注意：兩角和與差的正切公式在應(yīng)用過程中，1、必須在定義域范圍

11、內(nèi)使用上述公式。 即：tana，tanb，tan(ab)只要有一個不存在就不能使用這個公式。2、注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。（三）課堂練習(xí)五、課后作業(yè)：六、小結(jié)1 、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、推導(dǎo)及應(yīng)用; 2、利用公式可以求非特殊角的三角函數(shù)值,化簡三角函數(shù)式和證明三角恒等式,靈活使用使用公式。3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一 、教學(xué)目標(biāo)（一）知識與技能1.能從兩角和的正弦、余弦、正切公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；理解化歸思想在推導(dǎo)中的作用。2.能正確運用（順向、逆向、變形運用）二倍角公式求值、化簡、證明，增強學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力；3.

12、揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強化學(xué)生的參與意識，并培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力.4.結(jié)合三角函數(shù)值域求函數(shù)值域問題。（二）過程與方法1.讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.2.通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力；通過綜合運用公式，掌握有關(guān)技巧，提高分析問題、解決問題的能力。(三)情感、態(tài)度與價值觀1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各種變形，增強學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知

13、識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.2.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì).二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點：二倍角的理解及其靈活運用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)，多媒體教學(xué)；四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和（差）的正弦、余弦和正切公式，；(二) 復(fù)習(xí)練習(xí)：（三）公式推導(dǎo)：我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動手，把上述公式中看成即可），；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （四）例題講解例一、（公式鞏固性練習(xí)）求值： 12si

14、n15cos15 22cos222.5-1 3、 5、例二、已知求的值解：由得又因為于是；練習(xí)： 五、歸納總結(jié)：1、二倍角公式是和角公式的特例，體現(xiàn)將一般化歸為特殊的基本數(shù)學(xué)思想方法。2、二倍角公式與和角、差角公式一樣，反映的都是如何用單角的三角函數(shù)值表示復(fù)角（和、差、倍）的三角函數(shù)值，結(jié)合前面學(xué)習(xí)到的同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可以解決三角函數(shù)中有關(guān)的求值、化簡和證明問題。六、作業(yè)：教科書p160習(xí)題3.1的第14、15、17題3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 兩角差的余弦公式教學(xué)分析 本節(jié)是以一個實際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題.在用方程的思想分析

15、題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存在研究像tan(45+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實際問題中存在研究像sin與tan(45+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.以實例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際問題的聯(lián)系,增強學(xué)生的應(yīng)用意識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,同時也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程. 本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生對cos(-)的結(jié)果進(jìn)行探究,讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力,進(jìn)行猜想,給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗證其真假.這也展示了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上

16、的三角函數(shù)線進(jìn)行探索、推導(dǎo),讓學(xué)生動手畫圖,構(gòu)造出-角,利用學(xué)過的三角函數(shù)知識探索存在一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).方案二,利用向量知識探索兩角差的余弦公式時,要注意推導(dǎo)的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時,聯(lián)系向量知識,體會向量方法的作用;結(jié)合有關(guān)圖形,完成運用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;探索過程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會其中的細(xì)節(jié),抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索,然后再反思,予以完善;補充完善的過程,既要運用分類討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式. 本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué),教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面:要使學(xué)生了解公式的由來;使學(xué)生認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征,加以記憶;使學(xué)生掌握公式的

17、推導(dǎo)和證明;通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用,靈活運用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”,了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強化題目的訓(xùn)練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2.過程與方法：通過兩角差的余弦公式的運用,會進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明,體會化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運用,使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點,自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.情感，態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會探究的樂趣,認(rèn)識到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯

18、證與聯(lián)系的觀點看問題.創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強化學(xué)生的參與意識,從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點:通過探究得到兩角差的余弦公式.教學(xué)難點:探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo).三、課時安排1課時三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)，多媒體教學(xué)；五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)播放多媒體,出示問題,讓學(xué)生認(rèn)真閱讀課本引例.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識布列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存在研究像tan(45+)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要;實際問題中存在研究像sin與tan(45

19、+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.在此基礎(chǔ)上,再一般化而提出本節(jié)的研究課題進(jìn)入新課. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們在初中時就知道cos45=,cos30=,由此我們能否得到cos15=cos(45-30)=?這里是不是等于cos45-cos30呢？教師可讓學(xué)生驗證,經(jīng)過驗證可知,我們的猜想是錯誤的.那么究竟是個什么關(guān)系呢？cos(-)等于什么呢？這時學(xué)生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎(chǔ).（二）推進(jìn)新課新知探究提出問題請學(xué)生猜想cos(-)=?利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線,如何用、的三角函數(shù)來表示cos(-)呢

20、？利用向量的知識,又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(-)=?細(xì)心觀察c(-)公式的結(jié)構(gòu),它有哪些特征？其中、角的取值范圍如何？如何正用、逆用、靈活運用c(-)公式進(jìn)行求值計算？ 活動:問題,出示問題后,教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想,有的同學(xué)可能就首先想到cos(-)=cos-cos的結(jié)論,此時教師適當(dāng)?shù)狞c撥,然后讓學(xué)生由特殊角來驗證它的正確性.如=60,=30,則cos(-)=cos30=,而cos-cos=cos60-cos30=,這一反例足以說明cos(-)cos-cos. 讓學(xué)生明白,要想說明猜想正確,需進(jìn)行嚴(yán)格證明,而要想說明猜想錯誤,只需一個反例即可. 問題,既然cos(-)c

21、os-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題,是-這個角的余弦問題,我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？圖1如圖1,設(shè)角的終邊與單位圓的交點為p1,pop1=,則pox=-.過點p作pm垂直于x軸,垂足為m,那么om就是角-的余弦線,即om=cos(-),這里就是要用角、的正弦線、余弦線來表示om.過點p作pa垂直于op1,垂足為a,過點a作ab垂直于x軸,垂足為b,過點p作pc垂直于ab,垂足為c.那么,oa表示cos,ap表示sin,并且pac=p1ox=.于是,om=ob+bm=ob+cp=oacosa+apsina=coscos+sinsin,所以

22、,cos(-)=coscos+sinsin. 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,以上的推理過程中,角、-是有條件限制的,即、-均為銳角,且,如果要說明此結(jié)果是否對任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項推廣工作的過程比較繁瑣,由同學(xué)們課后動手試一試.圖2 問題,教師引導(dǎo)學(xué)生,可否利用剛學(xué)過的向量知識來探究這個問題呢?如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)作單位圓o,以ox為始邊作角、,它們的終邊與單位圓o的交點分別為a、b,則=(cos,sin),=(cos,sin),aob=-. 由向量數(shù)量積的定義有=|cos(-)=cos(-), 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有 =(cos,sin)(cos,sin)=co

23、scos+sinsin, 于是,cos(-)=coscos+sinsin. 我們發(fā)現(xiàn),運用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo),過程相當(dāng)簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中,角-必須符合條件0-,以上結(jié)論才正確,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究當(dāng)-是任意角時,以上公式是否正確的問題.當(dāng)-是任意角時,由誘導(dǎo)公式,總可以找到一個角0,2),使cos=cos(-),若0,則=cos=cos(-).若,2,則2-0,且=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,對于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(c(-) 此公式給出了任意角、的正弦、余弦值與其差角-的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公

24、式,簡記為c(-).有了公式c(-)以后,我們只要知道cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了. 問題,教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式c(-)的結(jié)構(gòu)特征,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶,特別是運算符號,左“-”右“+”.或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空,如:cos(a-b)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了. 問題,對于公式的正用是比較容易的,關(guān)鍵在于“拆角”的技巧,而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特別是變形應(yīng)用,這就需要

25、學(xué)生具有較強的觀察能力和熟練的運算技巧.如cos75cos45+sin75sin45=cos(75-45)=cos30=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15的值. 活動:先讓學(xué)生自己探究,對有困難的學(xué)生教師可點撥學(xué)生思考題目中的角15,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15=45-30或者15=60-45,從而就可以直接套用公式c(-)計算求值.教師不要包辦,充分讓學(xué)生自己獨立完成,在學(xué)生的具體操作下,體會公式的結(jié)構(gòu),公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法.對于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵其換個角度繼續(xù)

26、探究.解:方法一:cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=方法二:cos15=cos(60-45)=cos60cos45sin60sin45= 點評:本題是指定方法求cos15的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要學(xué)生將這個非特殊角拆分成兩個特殊角的差的形式,靈活運用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會.變式訓(xùn)練1.不查表求sin75,sin15的值.解:sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45si

27、n30=sin15=點評:本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學(xué)生只要細(xì)心分析,利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式,不難得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110cos20sin110sin20.解:原式=cos(110-20)=cos90=0.點評:此題學(xué)生一看就有似曾相識而又無從下手的感覺,需要教師加以引導(dǎo),讓學(xué)生細(xì)心觀察,再結(jié)合公式c(-)的右邊的特征,逆用公式便可得到cos(110-20).這就是公式逆用的典例,從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲

28、求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式c(-)即可求解.從已知條件看,還少cos與sin的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出,但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時,角、所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號.本例可由學(xué)生自己獨立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點評:本題是直接運用公式c(-)求值的基礎(chǔ)練習(xí),但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備.特別是運用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時,一定要弄清角的范圍,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號.教師可提醒學(xué)生注意這點,養(yǎng)成良好

29、的學(xué)習(xí)習(xí)慣.變式訓(xùn)練已知sin=,(0,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.解:當(dāng),)時,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.當(dāng)(0,)時,且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin= 點評:本題與例2的顯著的不同點就是角的范圍不同.由于(0,),這樣cos的符號可正、可負(fù),需討論,教師引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論的思想,對角進(jìn)行分類討論,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性.教師強調(diào)分類時要不重不漏.思路2例1 計算:(1)cos(-15);(2)

30、cos15cos105sin15sin105;(3)sinxsin(x+y)cosxcos(x+y). 活動:教師可以大膽放給學(xué)生自己探究,點撥學(xué)生分析題目中的角-15,思考它可以拆分為哪些特殊角的差,如-15=15-30或-15=45-60,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15)=cos15再求值.讓學(xué)生細(xì)心觀察(2)(3)可知,其形式與公式c(-)的右邊一致,從而化為特殊角的余弦函數(shù).解:(1)原式=cos15=cos(45-30)=cos45cos30sin45sin30=(2)原式=cos(15-105)=cos(-90)=cos90=0.(3)原式=cosx-(x+y)=cos

31、(-y)=cosy. 點評:本例重點是訓(xùn)練學(xué)生靈活運用兩角差的余弦公式進(jìn)行計算求值,從不同角度培養(yǎng)學(xué)生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力,為后面公式的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).例2 已知cos=,cos(+)=,且、(0, ),求cos的值. 活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的條件與所求,讓學(xué)生探究、+、之間的關(guān)系,也就是尋找已知條件中的角與所求角的關(guān)系.學(xué)生通過探究、討論不難得到=(+)-的關(guān)系式,然后利用公式c(-)求值即可.但還應(yīng)提醒學(xué)生注意由、的取值范圍求出+的取值范圍,這是很關(guān)鍵的一點,從而判斷sin(+)的符號進(jìn)而求出cos.解:、(0,),+(0,).又cos=,cos(+)=,sin=

32、sin(+)=又=(+)-,cos=cos(+)cos+sin(+)sin= 點評:本題相對于例1難度大有提高,但是只要引導(dǎo)適當(dāng),學(xué)生不難得到=(+)-的關(guān)系式,繼而運用公式解決.但值得注意的是+的取值范圍確定,也是很關(guān)鍵的,這是我們以后解題當(dāng)中常見的問題.變式訓(xùn)練1.求值:cos15+sin15.解:原式=cos15+sin15)=(cos45cos15+sin45sin15)=cos(45-15)= cos30=.2.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.解:(sin+sin)2=()2,(cos+cos)2=()2,以上兩式展開兩邊分別相加得2+2cos(-)=1,

33、cos(-)=. 點評:本題又是公式c(-)的典型應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵就是將已知中的兩個和式兩邊平方,從而得到公式c(-)中coscos和sinsin的值,即可求得cos(-)的值,本題培養(yǎng)了學(xué)生綜合運用三角函數(shù)公式解決問題的能力.3.已知銳角、滿足cos=,tan(-)=,求cos.解:為銳角,且cos=,得sin=.又0,0,-.又tan(-)= 0,cos(-)=.從而sin(-)=tan(-)cos(-)=.cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.(1)cos(-)=coscos+sinsin=sin.(2)cos(2-)=co

34、s2cos+sin2sin=cos.2.3.4.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用,還可變用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題.然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識點小結(jié):(1)怎么聯(lián)系有關(guān)知識進(jìn)行新知識的探究？(2)利用差角余弦公式方面:對公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識;三角變換的特點.2.教師畫龍點睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo),要正確熟練地運用公式進(jìn)行解題,在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號.多對題目進(jìn)行一題多解,從中比較最佳解決問題的途徑,以達(dá)到優(yōu)化解題過程,規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路,強化數(shù)學(xué)思

35、想方法之目的.作業(yè)課本習(xí)題3.1 a組2、3、4、5.設(shè)計感想1.本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式,因此本節(jié)課的設(shè)計流程為“實際問題猜想探索推導(dǎo)記憶應(yīng)用”.它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體,進(jìn)行主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.同時充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)、證明新知識,并學(xué)會記憶公式的方法,靈活運用公式解決實際問題,從而培養(yǎng)學(xué)生獨立探索數(shù)學(xué)知識的能力,增強學(xué)生的應(yīng)用意識,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.2.縱觀本教案的設(shè)計,學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)出公式c(-)后就是應(yīng)用,同時如何訓(xùn)練公式的正用、逆用、變形用也是本節(jié)的重點難點.而學(xué)生從探究活動過程中學(xué)會了怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,又發(fā)現(xiàn)了怎樣逆用公式及

36、活用公式,那才是深層的,那才是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教育的最終目的.3.教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué),學(xué)是中心,會學(xué)是目的,根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點,本節(jié)主要是教給學(xué)生“研究問題、猜想探索公式、驗證特殊情形、推導(dǎo)公式、學(xué)習(xí)應(yīng)用”的探索創(chuàng)新式學(xué)習(xí)方法.這樣做增強了學(xué)生的參與意識,教給了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo),獲取新知的途徑,讓學(xué)生真正嘗到探索的喜悅,真正成為教學(xué)的主體.學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的美,產(chǎn)生一種成功感,從而提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3.3簡單的三角恒等變換 一教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：通過二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力。理解并

37、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形，體會三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力。2、過程與方法：通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力3、情感，態(tài)度與價值觀：通過課題背景的設(shè)計，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。二、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個公式為依據(jù)，推導(dǎo)半角公式、積化和

38、差、和差化積公式。教學(xué)難點：認(rèn)識三角變換的特點，并能運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力。三、教學(xué)法與課時安排：探究法與自主學(xué)習(xí)，1課時四、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)公式： 公式變形： 2、例1：試以表示【設(shè)計意圖】：在熟練掌握倍角公式的基礎(chǔ)上，理解角的倍、半間的相對性，提高學(xué)生的公式變換能力，培養(yǎng)學(xué)生運用方程思想、換元思想解決數(shù)學(xué)問題的能力?！編熒顒印浚航處煶鍪締栴}，讓學(xué)生自主探究，教師重在引導(dǎo)學(xué)生分析角的倍、半間的關(guān)系。并注意從一般思路引導(dǎo)：要用一個表示另一個，如果能找到它們之間的一個關(guān)系式，那么根據(jù)方程思想，問題差不多就可以得到解決了。師生教師重點提出的倍角，是

39、什么關(guān)系？的倍角。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從之間的關(guān)系出發(fā)思考的關(guān)系，從而建立這兩個三角式之間的關(guān)系：，由此利用方程思想即可解出想要的關(guān)系。教師也可從代換的角度直接從倍角公式出發(fā)變形得到：在倍角公式中以，然后進(jìn)行變形，即刻得到用的結(jié)論，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系求得。解：由 ，可以得到；由 ，可以得到所以總結(jié)：掌握各個公式的推導(dǎo)過程，是理解和運用公式的首要環(huán)節(jié)，熟練地運用公式進(jìn)行升冪和降冪。3、思考：（1）已知，如何求（2）代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢？【設(shè)計意圖】：思考（1）重點培養(yǎng)學(xué)生的靈活運用公式的能力，從而引入半角公式，增強學(xué)生對三角公式的進(jìn)一步理解；思考（2）主要引導(dǎo)學(xué)生對“所包含的角，以及

40、這些角的三角函數(shù)種類的差異”對三角變換的影響進(jìn)行認(rèn)識，從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點?！編熒顒印浚航處熖岢鰡栴}，進(jìn)行巡視學(xué)生自主思考，寫出結(jié)論；教師上述公式稱為半角公式，讓學(xué)生思考“”如何選??？學(xué)生自主探究，相互交流。教師進(jìn)行總結(jié)，“”號由所在象限決定。師生對第二個問題的思考，通過師生共同分析得出：代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換；對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角式恒等變換的重要特點。4

41、、變式訓(xùn)練：求證：（教科書p142練習(xí)第1題）【設(shè)計意圖】：變式訓(xùn)練給出了的關(guān)系式，是對例1結(jié)論的進(jìn)一步理解和延伸?！編熒顒印浚簬熒才艑W(xué)生黑板板書，其他學(xué)生自主探究，根據(jù)解題情況共同點評，總結(jié)規(guī)律。解：方法一：方法二：5、例2：求證：（）、；（）、【設(shè)計意圖】：本例引出的和差化積和積化和差公式，有其結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)特點，反映了角的三角函數(shù)與角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系。另外，兩式之間又反映了由角建立的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的對應(yīng)轉(zhuǎn)換即映射反演的思想方法?！編熒顒印浚航處煶鍪绢}目，讓學(xué)生自主探究。學(xué)生自主分析，對于（1）式可能得出如下問題思路：從等式左式不好下手，但從右式出發(fā)容易變形，利用和（差）的正弦公式展開、合并，從而得出