平行四邊形典型問題分類解析

1、平行四邊形典型問題分類解析為了開闊同學們的視野，特就一些平行四邊形典型問題分類選解幾例，希望同學們從中得到啟示1證明線段垂直這就為證明垂直提供了充分的條件例 1 已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中， AB = 2 BC， M為 AB的中點，求證： CM DM分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)， 不僅對角相等， 而且相鄰角的角也互補， 有已知中 AB = 2 BC和M為 AB的中點，可以得到相等的角其中有內(nèi)錯角相等，也有等邊對等角性質(zhì)的應用，使CDM DCM = 90 ，可使問題得到解決證明：在平行四邊形 ABCD中， AB CD， AD = BC，例1圖 AM D= CDM， BMC = DCM，

2、 AB = 2 BC， M是 AB的中點， AD = AM = BM = BC ADM = AMD， BMC =BCM ADM = CDM， BCM = DCM，11 CDM = ADC， DCM = BCD22又 ADC BCD = 180 ， CDM DCM =90 ，即 DM C= 90 CM DMCM、DM所在的三角形兩銳角互余，由三角形內(nèi)角評析：本題通過利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)，證明了 和定理得出 DMC = 90 ，從而得到結(jié)論這是證明兩線段互相垂直的常用方法2證明線段平行例 2 如圖， AB、 CD交于點 O， AC DB， AO = BO，E、F 分別為 OC、OD的

3、中點，連結(jié) AF、 BE求證： AF BE分析：從已知條件可證 AOC BOD，得到 OC = OD，又有 E、F為 OC、OD 中點，則 OE = OF，判定四邊形 AFBE為平行四邊形，即有 AF BE證明：連結(jié) BF、AE， AC DB， C =DC D,在 AOC和 BOD中，有AOCBOD ,AO BO. AOC BOD， OC = OD又 E、F 為 OC、OD的中點， OE = OF，四邊形 AFBE是平行四邊形， AF BE評析：學習了平行四邊形以后，又多了一種證明平行線的方法3證明線段相等例 3 如圖， ABC中， AB = AC，P是 BC上的一點， PEAC，PF AB，

4、分別交 AB、AC于 E、F，請猜出線段PE、PF、AB之間存在什么關系，并證明你的猜想分析：從已知條件中不難證明PF = AE，PE = BE，從而 PE、 PF、AB之間滿則關系式PE PF = AB即猜想結(jié)論： PEPF = AB證明： PEAC， BPE = CAB = AC， B = C， BPE = B， PE = BEPEAC，PFAB，四邊形 AEPF是平行四邊形， PF = AE BEAE = AB， PE PF = AB 評析：在解決此類探索性問題時，一般通過對已知條件的分析、比較、概括探索出結(jié)論，這就是對猜想問題的 常用解題思路4求線段的長度例 4 如圖，在四邊形 ABC

5、D中， AB = 6 ，BC = 8 ，A =120 ，B = 60 ，C =150 ，求 AD的長 分析：要求 AD的長度，需要借助輔助線把問題轉(zhuǎn)化，由A 和 B的關系可以判定 ADBC，這樣不妨過點 C作AB的平行線，構(gòu)成一個平行四邊形，然后利用角之間的關 系與平行四邊形的性質(zhì)，使問題得以解決解：點 C作 CE AB交 AD于 E， A B = 180 ， ADBC， 四邊形 ABCE是平行四邊形AE = BC = 8 ，CE = AB = 6 ，BCE = A = 120 又 BCD =150 ， DCE = 30 而D = 360 120 60 150 =30 ， D =DCE = 3

6、0 ， DE = CE， AD = 8 6 = 14 評析：在判定 AD BC后，輔助線的添加是解題的關鍵，雖然輔助線的添加在解題時沒有一定規(guī)律可循，但可以通過分析已知條件與待求結(jié)論，從中得到啟發(fā)，從而正確地作出輔助線證題技巧面積法由于等底等高的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半 ; 相似三角 形面積的比等于相似比的平方 ; 等高三角形面積的比等于底的比 , 等底三角 形面積的比等于高的比 ; 同底 （ 或等底 ） 等高 （ 同高 ） 的三角形的面積相等 . 因 此 , 題目中如有平行線、角平分線或等底等高的三角形時，可試用面積法處 理。 例 1已知: 如圖 1. ABCD ，F(xiàn)、E 分別在

7、 BC、CD 上，DGAF 于 G，BH AE于 H，若 DG=BH，則 AF=AE證明：連結(jié) BE、 DFABCDS ADF= S 2 ABCD S ABE= S ADF S ABE=S12 DGAF BH AE S ABE=S ADF= DG=BH AF=AE12圖2 例 2 如圖 2, OO1和 OO2外切于點 P,AB 過點 P交 OO1和 OO2于 A、B，BH切OO2 于 B，交 OO1 于 C、H， （ 1）求證： BCP HAP2)若 APPB=3 2且 C為 AB中點，求 HABC 證明 (1) 過點 P作兩圓的公切線交 BH于點 E 由切線長定理知 BE=PE 所以 2=3由弦切角定理知 4=5 又 4= 3所以 5=21=A又1 是圓內(nèi)接四邊形 APCH的外角 , 所以所以 BCP HAP(2) 因為 BCP HAP 所以SHAPHABC因為 HAP和 BHP同高 .SPBC所以SHAPSPBHAPPB又 HBP和 BCP同高. 且 C為 BH的中點 ,所以 ,SBCPSPBH所以 ,SHAPSPBC例 3 已知:如圖 3, Sx 之間的函數(shù)關系式= 3BDE= y 寫出 y 與解: DEBCADE ABCSADESABCAD2A