圓錐曲線中距離的最值問題

1、圓錐曲線中距離的最值問題沙洋中學(xué)張仙梅一.求圓錐曲線上一點(diǎn)到對(duì)稱軸上一定點(diǎn)的距離的最值x21,例1：已知橢 圓1+y2=1,點(diǎn)a ( - , 0),點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，求|pa|的最值。變式1:已知橢 圓 言+、二1，點(diǎn)a (0 , 2),點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn)，求|pa|的最值。22 .a (0 , 2),點(diǎn)p是雙曲線上任意一點(diǎn)，求|pa|的變式2:已知雙曲線匕土 1169 最值。2 -1變式3:已知拋物線y 4x ,點(diǎn)a (一 , 0),點(diǎn)p是拋物線上任意一點(diǎn)，求|pa|的最 -2值。變式4:已知橢 圓 +y2=i和圓x2(y 4)2二1各有一點(diǎn)a、b, 4求ab的最大值。變式5:一通 -

2、x2 c22 一已知橢 圓一+y2=i和圓x (y-3) 一 5各有一點(diǎn)a、b,求ab的最大值。10二.求圓錐曲線上一點(diǎn) p到定直線的距離的最值x2例2:已知橢圓c:92y .-1 ,直線 l: x+2y+18=0。(1)在橢圓上求一點(diǎn)(2)在橢圓上求一點(diǎn)4pi,使點(diǎn)pi到直線l的距離最近，并求出最近距離。p2,使點(diǎn)p2到直線l的距離最遠(yuǎn)，并求出最遠(yuǎn)距離。x2 v2 一變式1:已知橢 圓c: 1 ,直線l： x-y-24=0。916(1)在橢圓上求一點(diǎn) p1,使點(diǎn)p1到直線l的距離最近，并求出最近距離。(2)在橢圓上求一點(diǎn) p2,使點(diǎn)p2到直線l的距離最遠(yuǎn)，并求出最遠(yuǎn)距離。變式2：已知拋物線

3、c： x2 4y ,直線l： xy-2 0。在拋物線求一點(diǎn) p,使點(diǎn)p到直線l的距離最近，并求出最近距離。三.利用第一定義求最值_ ，一 ,一x2y2 .一 ,一例3:設(shè)fi、f2分別是橢 圓c: -1的左右焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，m為圓43(x-4)2+(y-3)2=1上一點(diǎn)，則|pm|+|pf 1|的最大值等于 ,最小值等于 變式1:已知直線l經(jīng)過拋物線c: y2.4x的焦點(diǎn)f,且與拋物線相交于 a b兩點(diǎn)。(1)若af =4,求點(diǎn)a的坐標(biāo)；(2)求線段ab的長(zhǎng)的最小值。(3)過a、b兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為 c、d,求ac bd的最小值。12變式2：已知在直線l： x-y-9 =

4、0上任取一點(diǎn)p,過點(diǎn)p以橢 圓c： 土一工 二1的焦 點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓。(1)點(diǎn)p在何處時(shí)，所求橢圓的長(zhǎng)軸最短?(2)求長(zhǎng)軸最短時(shí)橢圓方程。四.利用第二定義求最值已知定點(diǎn)p,焦點(diǎn)f,當(dāng)與焦點(diǎn)f的相應(yīng)準(zhǔn)線和點(diǎn) p在圓錐曲線兩側(cè)時(shí)，在圓錐曲線上求一1點(diǎn)m使mp 1 mf取最小值的問題，就要用第二定義求。e22例4:已知橢 圓c: x_-_y_二1內(nèi)有一點(diǎn)p (1,-1) ,f為橢 圓的右焦點(diǎn)，在橢 圓上有43點(diǎn)m ,使mp 2 mf取得最小值，求點(diǎn) m的坐標(biāo)及最小值。. 一x變式1 :已知點(diǎn) p (1,-3) ,f為橢圓162上一二1的右焦點(diǎn)，在橢 圓上有一點(diǎn) q,當(dāng)121qf -|pq取得最小值時(shí)，求點(diǎn) q的坐標(biāo)及最小值。變式2：如圖所示，b地在a地的正東方向4km處，c地在b地的北偏東300方向2km處。 河流的沿岸pq （曲線）上任意一點(diǎn)到 a的距離比到 b的距離遠(yuǎn)2km,現(xiàn)要在曲線 pq上選 一處m建一座碼頭，向b、c兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物，經(jīng)測(cè)算，從 m到b、c修建公路的費(fèi)用分別為 a萬(wàn)元/km,2a萬(wàn)元/km ,那