第四章金屬自由電子理論5頁(yè)

1、第四章 金屬自由電子理論1.金屬自由電子論作了哪些假設(shè)？得到了哪些結(jié)果？解：金屬自由論假設(shè)金屬中的價(jià)電子在一個(gè)平均勢(shì)場(chǎng)中彼此獨(dú)立，如同理想氣體中的粒子一樣是“自由”的，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)由薛定諤方程來描述；電子滿足泡利不相容原理，因此，電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計(jì)而服從量子的費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)。根據(jù)這個(gè)理論，不僅導(dǎo)出了魏德曼佛蘭茲定律，而且而得出電子氣對(duì)晶體比熱容的貢獻(xiàn)是很小的。2.金屬自由電子論在空間的等能面和費(fèi)米面是何形狀？費(fèi)米能量與哪些因素有關(guān)？解：金屬自由電子論在空間的等能面和費(fèi)米面都是球形。費(fèi)米能量與電子密度和溫度有關(guān)。3.在低溫度下電子比熱容比經(jīng)典理論給出的結(jié)果小得多，為什么？解：因?yàn)樵诘蜏貢r(shí)，大多

2、數(shù)電子的能量遠(yuǎn)低于費(fèi)米能，由于受泡利原理的限制基本上不能參與熱激發(fā)，而只有在費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)從而對(duì)比熱容有貢獻(xiàn)。4.馳豫時(shí)間的物理意義是什么？它與哪些因素有關(guān)？解：馳豫時(shí)間的物理意義是指電子在兩次碰撞之間的平均自由時(shí)間，它的引入是用來描寫晶格對(duì)電子漂移運(yùn)動(dòng)的阻礙能力的。馳豫時(shí)間的大小與溫度、電子質(zhì)量、電子濃度、電子所帶電量及金屬的電導(dǎo)率有關(guān)。5.當(dāng)2塊金屬接觸時(shí)，為什么會(huì)產(chǎn)生接觸電勢(shì)差？解：由于2塊金屬中的電子氣系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí)高低不同而使熱電子發(fā)射的逸出功不同，所以這2塊金屬接觸時(shí)，會(huì)產(chǎn)生接觸電勢(shì)差。6.已知一維金屬晶體共含有個(gè)電子，晶體的長(zhǎng)度為，設(shè)K。試求：（1）電子的狀態(tài)密度；（

3、2）電子的費(fèi)米能級(jí)；（3）晶體電子的平均能量。解：(1)該一維金屬晶體的電子狀態(tài)密度為： （1） 考慮在空間中，在半徑為和的兩線段之間所含的狀態(tài)數(shù)為： （2） 又由于 所以 （3） 將（2）和（3）式代入（1）式，并考慮到每個(gè)狀態(tài)可容納2個(gè)自旋相反的電子，得該一維金屬晶體中自由電子的狀態(tài)密度為： （4） （2）由于電子是費(fèi)米子，服從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，即在平衡時(shí)，能量為的能級(jí)被電子占據(jù)的幾率為： （5） 于是，系統(tǒng)中的電子總數(shù)可表示為： （6） 由于K，所以當(dāng)，有，而當(dāng)，有，故（6）式可簡(jiǎn)化為：由此可得： （7）（3）在K時(shí)，晶體電子的平均能量為： 7.限制在邊長(zhǎng)為的正方形中的個(gè)自由電子，電子的能

4、量為。試求：（1）能量之間的狀態(tài)數(shù)；（2）此二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度的費(fèi)米能量；（3）電子的平均能量。解：（1）K空間中，在半徑為和的兩圓面之間所含的狀態(tài)數(shù)為 （1）這也就是能量在之間的狀態(tài)數(shù)，由電子的能量表達(dá)式可得 （2）將（2）式代入（1）式，并考慮到每個(gè)狀態(tài)可容納2個(gè)自旋相反的電子，這樣可得能量在之間的狀態(tài)數(shù)為（2）由（1）問可知，該系統(tǒng)的自由電子的狀態(tài)密度為在絕對(duì)零度下，由下式由此可得此二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度的費(fèi)米能量為（3）電子的平均能量為8.金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數(shù)為。試計(jì)算絕對(duì)零度時(shí)電子氣的費(fèi)米能量（以eV表示）解：由題意可求得金屬鋰的電子濃度為 /m3故絕對(duì)零度時(shí)金屬鋰的電子氣的費(fèi)

5、米能量為 JeV9.在低溫下金屬鉀的摩爾比熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫成若1mol的鉀有個(gè)電子，試求鉀的費(fèi)米溫度和德拜溫度。 解：根據(jù)金屬自由電子氣模型，低溫下金屬的總比摩爾熱容為： 上式中，所以有： 故： J 又由 得K 而 K10.試比較1mol金屬鈉在30K和0.3K時(shí)的德拜比熱容，并與電子比熱容比較。已知鈉的德拜溫度K，鈉的費(fèi)米能級(jí)eV。解：在30K時(shí)，1mol金屬鈉的德拜比熱容為 J/K而其電子比熱容為 J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為在0.3K時(shí)1mol金屬鈉的德拜比熱容為 J/K而其電子比熱容為 J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為11.有一鎢絲，長(zhǎng)0.05m，橫截面積的直徑為11

6、0-4m。試求2000K時(shí)鎢絲的熱電子發(fā)射電流。已知鎢的電子逸出功為4.5eV。解：由里查孫杜師曼定律可知鎢絲的熱電子發(fā)射電流密度為 A/m2故熱電子發(fā)射電流為 A12.室溫下利用光電效應(yīng)已測(cè)得銀及銫的光電效應(yīng)閥值分別為4.8eV和1.8eV。求：（1）采用里查孫杜師曼公式分別估算銀及銫在室溫下的熱電子發(fā)射電流密度；（2）若溫度上升至800K時(shí)，其熱電子發(fā)射電流密度為多少？（3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，求出室溫下它們的接觸電勢(shì)差。解：（1）在室溫下銀的熱電子發(fā)射電流密度為 A/m2在室溫下銫的熱電子發(fā)射電流密度為 A/m2（2）在800K時(shí)銀的熱電子發(fā)射電流密度為 A/m2在800K時(shí)銫的熱電子發(fā)射電流密度為 A/m2（3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，它們的接觸電勢(shì)差為 V13.利用電子漂移速度的方程證明在頻率下的電導(dǎo)率為。其中。解：設(shè)電場(chǎng)為，則有或 齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為，則有從上式可求出特解的待定系