圓壓軸八大模型題-切割線互垂

1、圓壓軸題八大模型題（二）瀘州市七中佳德學校 易建洪引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結(jié)論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型2 切割線互垂在Rt ABC中，點E是斜邊AB上一點，以EB為直徑的O O與AC相切于點D,與BC相交于 點F.圖(3)2(5) DB =BC BE;2(6) AD =AE AB.圖AD=20,AE=10,求 r;(2) AB=40,BC=24,求 r

2、.圖(2)(3) AC=32 , AE=10,求 r.(4) / ABD2 CBD.【分析】(1)在 Rt ADO中, (10+r) =r +2 0 ,得 r=15.(2) 由 DO/ BC,得 D0 空，型丄得：r=15.BC AB 2440(3) 在 Rt ADO中, AD= (10 r)2 r2 , DO=r, AO=10+r,由 DC/ BC,包 得，r=15.AC AB(4) 連結(jié) DO,DO=BO/ ODB2 OBD;由 DO/ BC得/ CBD=/ ODBABD2 CBD.(5) 由 Rt BCB Rt BDE得 bD=BC BE.(6) 由厶 ADEA ABD得 AD=AE A

3、B.圖圖(5)圖(6)(11)DC=12,CF=6,求CQh任意線段的長.(7) DCFA DGE;(10)DC=12,CF=6,(8) DF =CF BE;求 r 和 BF.(9) AG:AC=1:2,BD=10.求 r.【分析】(7) 由/ EBD玄 FBD得 DE=DF/. DE=DF又/ DFC2 DEG,/ C=Z DGE=90 得厶 DCFA DGE.(8) 由厶 CDFA DBE得 CL -DE ,且 DE=DF/ dF=CF BE.DF BE(9) 由厶 AD&A ABC得 AG:AC=DG:BC=1:2,設 DG=k,貝U DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10,

4、a k=2 5 , BG=BC=2k=4 5 ,由 Rt DBGs Rt EBD 得 DB=GB EB, a 102=4 5 EB, a EB=5 5 ,r= LL2(10) / C=/ CFG=/ CDG=90 得矩形 DGFCDG=CF=6,DC=GF=GE=12,在 Rt GEO中, GO+EG=EO, (r-6) 2+122=r2.a r=15-6=9，由中位線定理得 BF=2GO=18.(11) 如圖，在 Rt DCO中, CO= 122 1 52 = 3 41 , GO=15-6=9,由 DO/ CB得 ,CP - - a po=3 CO=41 .GO OP 955同理可得圖中CO

5、上其它線段的長度.圖a【典例】(2018 四川成都)如圖，在 Rt ABC中,/ C= 90, AD平分/ BAC交 BC于點 D, O為 AB 上一點，經(jīng)過點 代D的O O分別交AB AC于點E, F,連接OF交AD于點G(1) 求證：BC是O O的切線；(2) 設AB= x, AF= y,試用含x, y的代數(shù)式表示線段 AD的長；5(3) 若 BE= 8, sinB=，求 DG的長.13【分析】(1)連接OD由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內(nèi)錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到(圖 2-1 )OD與 BC垂直，即可得證；(2) 連接DF,由(1)

6、得到BC為圓O的切線，由弦切角等于夾弧所對的圓周角，進而得到三角形ABD與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD(3) 連接EF,設圓的半徑為r,由sin B的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin / AEF= sin B,進而求出DG的長即可.解：(1)證明：如圖，連接 OD/ AD為/ BAC的角平分線，/ BAD=/ CAD/ OA= OD :丄 ODAfZ OAD :丄 ODAfZ CADa OD/ AC/ C= 90,./ ODG 90,.ODL BC BC為圓O的切線；(2)連接DF,由(1 )知BC為O O的切線,:

7、丄 FDC=Z DAF / CDA=Z CFD/ AFD=Z ADB I / BAD=Z DAFAB ADAD AF513，即，AD= AB- AF= xy ,貝U AD= . xy(3)連接 EF,在 Rt BOD中 , sin B= D OB設圓的半徑為r,可得513解得：r = 5 , AE= 10 , AB= 18 ,/ AE是直徑，/ AFE=/ C= 90 , EF/ BC / AEF=/ B , sin / AEF=AFAE AF= AE?sin / AEF= 10X55013，/ AF/ OD -DG13,即 DG=AD23AFOD135013510132313 AD= . A

8、BgAF18 501330、1313，30.1323【點撥】利用直角三角形、 相似三角形的邊與邊之間的和差倍分關系，勾股定理的關系，比例線段的關系等設元建方程求線段的長度；因此善于分解圖形，由線與角之間關系，構(gòu)建基本圖形模型，如母子型相似，共邊角相似，8字型相似，A字型相似等。當出現(xiàn)求線段的一部分，還要考慮用局部占總體的比例來求解?！咀兪竭\用】1. （2018 瀘州）如圖，已知 AB CD是O O的直徑，過點 C作O0的切線交AB的延長線于點 P,O O的弦DE交AB于點F ,且DF= EF.(1) 求證：C(O= OF?OP(2) 連接EB交CD于點G 過點G作GHL AB于點H,若PC=

9、4, PB= 4，求GH的長.解：(i)證明： PC是O O的切線，OCL PCPCO= 90,/ AB 是直徑，EF= FD AB丄 ED, / OF圧/ OCP= 90,(圖 2-2 )/ FO圧/ COP.A OF3A OCP = , Ot OCOC= OF?OP(2)解：如圖作 CML OP于 M 連接 EC EO 設 OC= OB= r.在 Rt pooK： pC+ oC= pO,( 4) 2 + r2 =( r + 4) 2,. r = 2,/ CM= = ,/ DC是直徑，/ CEB/ EFM=/ CM三90,圖 c四邊形EFM(是矩形， EFB CMB,在 Rt OEF中, O

10、F= = , EC= 2OF=,： EC/ OB = = , GH/ CM=， GH=2. ( 2018 云南昆明)如圖， AB是O O的直徑，ED切OO于點C, AD交O O于點F , / AC平 分/ BAD 連接 BF( 1 )求證： ADL ED；(2)若 CD= 4, AF= 2,求O O的半徑.解：(1)證明：連接 OC如圖，T AC平分/ BAD / 1 = / 2, / OA= OC / 1 = / 3 ,圖 2-3 )/ 2=/ 3 OC/ AD/ ED切OO于點 C, OCL DE ADL ED；(2)解：0C交BF于H,如圖， AB為直徑，/ AFB= 90,易得四邊形C

11、DFH為矩形，- FH= CD= 4，/ CHF= 90, OHL BF, BH= FH= 4, BF= 8,在 Rt ABF中，AB= = = 2,O O的半徑為.AD垂直于過點C的切線，垂,FC與AB相交于點 G連接圖 2-4 )3. ( 2018 江蘇蘇州)如圖，AB是O O的直徑，點 C在O O上 足為D, CE垂直AB垂足為E.延長DA交O O于點F,連接I OC.(1) 求證：CD= CE(2) 若AE= GE求證： CEO!等腰直角三角形.證明：(1)連接AC CD是O O的切線， OCL CD T ADL CDDC=Z D= 90 , AD/ OCDA(=Z ACO T OC=

12、 OA / CA(=Z ACO / DA(=Z CAO/ CE1 ABCEA= 90 ,在厶 CDAm CEA中 ,CDA CEA( AAS, CD= CE( 2)證法一：連接 BC/ CDA CEA / DCA=Z ECAT CEL AG AE= EG CA= CG Z ECA=Z ECG T AB是O O的直徑， / ACB= 90, t CEL AB, / ACE=Z B, tZ B=Z F,Z F=Z ACE=Z DCA=Z ECGTZ D= 90 Z DCFZ F= 90Z F=Z DCA=Z ACE=Z ECG=Z AOC= 2Z F= 45 CEO!等腰直角三角形；證法二：設Z F= x,則Z AO= 2Z F= 2x ,/AD/ OC / OA AOG