遞歸與分治策略計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析第PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1遞歸與分治策略計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析遞歸與分治策略計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析第第第1頁(yè)/共51頁(yè)nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)= n對(duì)這k個(gè)子問(wèn)題分別求解。如果子問(wèn)題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個(gè)子問(wèn)題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問(wèn)題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。第2頁(yè)/共51頁(yè)n對(duì)這k個(gè)子問(wèn)題分別求解。如果子問(wèn)題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個(gè)子問(wèn)題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問(wèn)題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(

2、n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n將求出的小規(guī)模的問(wèn)題的解合并為一個(gè)更大規(guī)模的問(wèn)題的解，自底向上逐步求出原來(lái)問(wèn)題的解。第3頁(yè)/共51頁(yè)n將求出的小規(guī)模的問(wèn)題的解合并為一個(gè)更大規(guī)模的問(wèn)題的解，自底向上逐步求出原來(lái)問(wèn)題的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)第4頁(yè)/共51頁(yè)n將求出的小規(guī)模的問(wèn)題的解合并為一個(gè)更大規(guī)模的問(wèn)題的解，自底向上逐步求出原來(lái)問(wèn)題的解。nT(

3、n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) 分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分而治之。第5頁(yè)/共51頁(yè)下面來(lái)看幾個(gè)實(shí)例。第6頁(yè)/共51頁(yè)例例1 1 階乘函數(shù)階乘函數(shù) 階乘函數(shù)可遞歸地定義為：00)!1(1!nnnnn邊界條件邊界條件遞歸方程遞歸方程邊界條件與

4、遞歸方程是遞歸函數(shù)的二個(gè)要素，遞歸函數(shù)只有具備了這兩個(gè)要素，才能在有限次計(jì)算后得出結(jié)果。第7頁(yè)/共51頁(yè)2.1 例例2 Fibonacci2 Fibonacci數(shù)列數(shù)列無(wú)窮數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，稱為Fibonacci數(shù)列。它可以遞歸地定義為：邊界條件邊界條件遞歸方程遞歸方程110)2() 1(11)(nnnnFnFnF第n個(gè)Fibonacci數(shù)可遞歸地計(jì)算如下：int fibonacci(int n) if (n 1時(shí)，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)構(gòu)成。 第12頁(yè)/共51頁(yè)2.1 例例5 5 整數(shù)劃分

5、問(wèn)題整數(shù)劃分問(wèn)題將正整數(shù)n表示成一系列正整數(shù)之和：n=n1+n2+nk，其中n1n2nk1，k1。正整數(shù)n的這種表示稱為正整數(shù)n的劃分。求正整數(shù)n的不同劃分個(gè)數(shù)。 例如正整數(shù)6有如下11種不同的劃分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。第13頁(yè)/共51頁(yè)(2) q(n,m)=q(n,n),mn;最大加數(shù)n1實(shí)際上不能大于n。因此，q(1,m)=1。(1) q(n,1)=1,n1;當(dāng)最大加數(shù)n1不大于1時(shí)，任何正整數(shù)n只有一種劃分形式，即nn111 (4) q(n,m)=q(n,m

6、-1)+q(n-m,m),nm1;正整數(shù)n的最大加數(shù)n1不大于m的劃分由n1=m的劃分和n1n-1 的劃分組成。(3) q(n,n)=1+q(n,n-1);正整數(shù)n的劃分由n1=n的劃分和n1n-1的劃分組成。2.1 例例5 5 整數(shù)劃分問(wèn)題整數(shù)劃分問(wèn)題前面的幾個(gè)例子中，問(wèn)題本身都具有比較明顯的遞歸關(guān)系，因而容易用遞歸函數(shù)直接求解。在本例中，如果設(shè)p(n)為正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)，則難以找到遞歸關(guān)系，因此考慮增加一個(gè)自變量：將最大加數(shù)n1不大于m的劃分個(gè)數(shù)記作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下遞歸關(guān)系。第14頁(yè)/共51頁(yè)11, 1),() 1,() 1,(1),(1),(mnmnmnmnmmn

7、qmnqnnqnnqmnq2.1 例例5 5 整數(shù)劃分問(wèn)題整數(shù)劃分問(wèn)題前面的幾個(gè)例子中，問(wèn)題本身都具有比較明顯的遞歸關(guān)系，因而容易用遞歸函數(shù)直接求解。在本例中，如果設(shè)p(n)為正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)，則難以找到遞歸關(guān)系，因此考慮增加一個(gè)自變量：將最大加數(shù)n1不大于m的劃分個(gè)數(shù)記作q(n,m)?？梢越(n,m)的如下遞歸關(guān)系。正整數(shù)n的劃分?jǐn)?shù)p(n)=q(n,n)。 第15頁(yè)/共51頁(yè)2.1 例例6 Hanoi6 Hanoi塔問(wèn)題塔問(wèn)題設(shè)a,b,c是3個(gè)塔座。開(kāi)始時(shí)，在塔座a上有一疊共n個(gè)圓盤，這些圓盤自下而上，由大到小地疊在一起。各圓盤從小到大編號(hào)為1,2,n,現(xiàn)要求將塔座a上的這一疊圓盤移到塔

8、座b上，并仍按同樣順序疊置。在移動(dòng)圓盤時(shí)應(yīng)遵守以下移動(dòng)規(guī)則：規(guī)則1：每次只能移動(dòng)1個(gè)圓盤；規(guī)則2：任何時(shí)刻都不允許將較大的圓盤壓在較小的圓盤之上；規(guī)則3：在滿足移動(dòng)規(guī)則1和2的前提下，可將圓盤移至a,b,c中任一塔座上。第16頁(yè)/共51頁(yè)在問(wèn)題規(guī)模較大時(shí)，較難找到一般的方法，因此我們嘗試用遞歸技術(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)n=1時(shí)，問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。此時(shí)，只要將編號(hào)為1的圓盤從塔座a直接移至塔座b上即可。當(dāng)n1時(shí)，需要利用塔座c作為輔助塔座。此時(shí)若能設(shè)法將n-1個(gè)較小的圓盤依照移動(dòng)規(guī)則從塔座a移至塔座c，然后，將剩下的最大圓盤從塔座a移至塔座b，最后，再設(shè)法將n-1個(gè)較小的圓盤依照移動(dòng)規(guī)則從塔座c移至塔座

9、b。由此可見(jiàn)，n個(gè)圓盤的移動(dòng)問(wèn)題可分為2次n-1個(gè)圓盤的移動(dòng)問(wèn)題，這又可以遞歸地用上述方法來(lái)做。由此可以設(shè)計(jì)出解Hanoi塔問(wèn)題的遞歸算法如下。2.1 例例6 Hanoi6 Hanoi塔問(wèn)題（由塔問(wèn)題（由a a移到移到b b） void hanoi(int n, int a, int b, int c) if (n 0) hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); 第17頁(yè)/共51頁(yè)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)清晰，可讀性強(qiáng)，而且容易用結(jié)構(gòu)清晰，可讀性強(qiáng)，而且容易用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明算法的正確性，因此它數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明算法的正確性，因此它為設(shè)計(jì)算

10、法、調(diào)試程序帶來(lái)很大方便。為設(shè)計(jì)算法、調(diào)試程序帶來(lái)很大方便。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：遞歸算法的運(yùn)行效率較低，無(wú)論是遞歸算法的運(yùn)行效率較低，無(wú)論是耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間還是占用的存儲(chǔ)空間都比耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間還是占用的存儲(chǔ)空間都比非遞歸算法要多。非遞歸算法要多。第18頁(yè)/共51頁(yè)解決方法：解決方法：在遞歸算法中消除遞歸調(diào)用，使其在遞歸算法中消除遞歸調(diào)用，使其轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。1 1、采用一個(gè)用戶定義的棧來(lái)模擬系統(tǒng)的遞歸調(diào)、采用一個(gè)用戶定義的棧來(lái)模擬系統(tǒng)的遞歸調(diào)用工作棧。該方法通用性強(qiáng)，但本質(zhì)上還是遞用工作棧。該方法通用性強(qiáng)，但本質(zhì)上還是遞歸，只不過(guò)人工做了本來(lái)由編譯器做的事情，歸，只不過(guò)人工做了本來(lái)由

11、編譯器做的事情，優(yōu)化效果不明顯。優(yōu)化效果不明顯。2 2、用遞推來(lái)實(shí)現(xiàn)遞歸函數(shù)。、用遞推來(lái)實(shí)現(xiàn)遞歸函數(shù)。3 3、通過(guò)、通過(guò)變換能變換能將一些遞歸轉(zhuǎn)化為尾遞歸，從而將一些遞歸轉(zhuǎn)化為尾遞歸，從而迭代求出結(jié)果。迭代求出結(jié)果。 后兩種方法在時(shí)空復(fù)雜度上均有較大改善后兩種方法在時(shí)空復(fù)雜度上均有較大改善，但其適用范圍有限。，但其適用范圍有限。第19頁(yè)/共51頁(yè)第20頁(yè)/共51頁(yè)第21頁(yè)/共51頁(yè)第22頁(yè)/共51頁(yè)第23頁(yè)/共51頁(yè)第24頁(yè)/共51頁(yè)因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加，因此大部分問(wèn)題滿足這個(gè)特征。這條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問(wèn)題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用

12、能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有這條特征，如果具備了前兩條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心算法貪心算法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃。這條特征涉及到分治法的效率，如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題，此時(shí)雖然也可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃較好。第25頁(yè)/共51頁(yè)divide-and-conquer(P) if ( | P | = n0) adhoc(P); /解決小規(guī)模的問(wèn)題 else divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解問(wèn)題 for (i=1,i=k,i+) yi=divide-and

13、-conquer(Pi); /遞歸的解各子問(wèn)題 return merge(y1,.,yk); /將各子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解 人們從大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計(jì)算法時(shí)，最好使子問(wèn)題的規(guī)模大致相同。即將一個(gè)問(wèn)題分成大小相等的k個(gè)子問(wèn)題的處理方法是行之有效的。這種使子問(wèn)題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡平衡(balancing)子問(wèn)題子問(wèn)題的思想，它幾乎總是比子問(wèn)題規(guī)模不等的做法要好。第26頁(yè)/共51頁(yè)一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問(wèn)題分成k個(gè)規(guī)模為nm的子問(wèn)題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問(wèn)題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問(wèn)題分解為k個(gè)子問(wèn)題以及用merge將k個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)

14、題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：11)()/() 1 ()(nnnfmnkTOnT通過(guò)迭代法求得方程的解：1log0log)/()(nmjjjkmmnfknnT第27頁(yè)/共51頁(yè)分析：如果n=1即只有一個(gè)元素，則只要比較這個(gè)元素和x就可以確定x是否在表中。因此這個(gè)問(wèn)題滿足分治法的第一個(gè)適用條件分析：比較x和a的中間元素amid，若x=amid，則x在L中的位置就是mid；如果xai，同理我們只要在amid的后面查找x即可。無(wú)論是在前面還是后面查找x，其方法都和在a中查找x一樣，只不過(guò)是查找的規(guī)?？s小了。這就說(shuō)明了此問(wèn)題滿足分治法

15、的第二個(gè)和第三個(gè)適用條件。 分析：很顯然此問(wèn)題分解出的子問(wèn)題相互獨(dú)立，即在ai的前面或后面查找x是獨(dú)立的子問(wèn)題，因此滿足分治法的第四個(gè)適用條件。給定已按升序排好序的給定已按升序排好序的n個(gè)元素個(gè)元素a0:n-1，現(xiàn)要在這，現(xiàn)要在這n個(gè)元素中個(gè)元素中找出一特定元素找出一特定元素x。分析：分析：該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；該問(wèn)題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決；該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題;分解出的子問(wèn)題的解可以合并為原問(wèn)題的解；分解出的子問(wèn)題的解可以合并為原問(wèn)題的解；分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的。分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相

16、互獨(dú)立的。 第28頁(yè)/共51頁(yè)給定已按升序排好序的給定已按升序排好序的n個(gè)元素個(gè)元素a0:n-1，現(xiàn)要在這，現(xiàn)要在這n個(gè)元素中個(gè)元素中找出一特定元素找出一特定元素x。據(jù)此容易設(shè)計(jì)出二分搜索算法二分搜索算法：template int BinarySearch(Type a, const Type& x, int l, int r) while (r = l) int m = (l+r)/2; if (x = am) return m; if (x am) r = m-1; else l = m+1; return -1; 算法復(fù)雜度分析：算法復(fù)雜度分析：每執(zhí)行一次算法的while循環(huán)， 待搜索數(shù)

17、組的大小減少一半。因此，在最壞情況下，while循環(huán)被執(zhí)行了O(logn) 次。循環(huán)體內(nèi)運(yùn)算需要O(1) 時(shí)間，因此整個(gè)算法在最壞情況下的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性為O(logn) 。第29頁(yè)/共51頁(yè) 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算位大整數(shù)的乘法運(yùn)算u小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低u分治法: X = Y = X = a 2n/2 + b Y = c 2n/2 + d XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd abcd復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析T(n)=O(n2) 沒(méi)有改進(jìn)沒(méi)有改進(jìn)11)()2/(4) 1 ()(nnnOnTOn

18、T第30頁(yè)/共51頁(yè) 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算位大整數(shù)的乘法運(yùn)算u小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低u分治法: XY = ac 2n + (ad+bc) 2n/2 + bd 為了降低時(shí)間復(fù)雜度，必須減少乘法的次數(shù)。XY = ac 2n + (a-b)(d-c)+ac+bd) 2n/2 + bd復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析T(n)=O(nlog3) =O(n1.59) 較大的改進(jìn)較大的改進(jìn)11)()2/(3) 1 ()(nnnOnTOnT第31頁(yè)/共51頁(yè) 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n n位大整數(shù)

19、的乘法運(yùn)算位大整數(shù)的乘法運(yùn)算u小學(xué)的方法：O(n2) 效率太低u分治法: O(n1.59) 較大的改進(jìn)u更快的方法?如果將大整數(shù)分成更多段，用更復(fù)雜的方式把它們組合起來(lái)，將有可能得到更優(yōu)的算法。最終的，這個(gè)思想導(dǎo)致了快速傅利葉變換快速傅利葉變換(Fast Fourier Transform)的產(chǎn)生。該方法也可以看作是一個(gè)復(fù)雜的分治算法。第32頁(yè)/共51頁(yè)A和B的乘積矩陣C中的元素Ci,j定義為: nkjkBkiAjiC1若依此定義來(lái)計(jì)算A和B的乘積矩陣C，則每計(jì)算C的一個(gè)元素Cij，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩陣C的所有元素所需的計(jì)算時(shí)間為O(n3)u傳統(tǒng)方法：O(n3)第33頁(yè)

20、/共51頁(yè)使用與上例類似的技術(shù)，將矩陣A，B和C中每一矩陣都分塊成4個(gè)大小相等的子矩陣。由此可將方程C=AB重寫(xiě)為：u傳統(tǒng)方法：O(n3)u分治法:222112112221121122211211BBBBAAAACCCC由此可得：2112111111BABAC2212121112BABAC2122112121BABAC2222122122BABAC復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析T(n)=O(n3)22)()2/(8) 1 ()(2nnnOnTOnT第34頁(yè)/共51頁(yè)u傳統(tǒng)方法：O(n3)u分治法:為了降低時(shí)間復(fù)雜度，必須減少乘法的次數(shù)。222112112221121122211211BBBBAAAACC

21、CC)(2212111BBAM2212112)(BAAM1122213)(BAAM)(1121224BBAM)(221122115BBAAM)(222122126BBAAM)(121121117BBAAM624511MMMMC2112MMC4321MMC731522MMMMC復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析T(n)=O(nlog7) =O(n2.81) 較大的改進(jìn)較大的改進(jìn)22)()2/(7) 1 ()(2nnnOnTOnT第35頁(yè)/共51頁(yè)u傳統(tǒng)方法：O(n3)u分治法: O(n2.81)u更快的方法?Hopcroft和Kerr已經(jīng)證明(1971)，計(jì)算2個(gè)矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進(jìn)一步

22、改進(jìn)矩陣乘法的時(shí)間復(fù)雜性，就不能再基于計(jì)算22矩陣的7次乘法這樣的方法了。或許應(yīng)當(dāng)研究或矩陣的更好算法。在Strassen之后又有許多算法改進(jìn)了矩陣乘法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜性。目前最好的計(jì)算時(shí)間上界是 O(n2.376)是否能找到O(n2)的算法？第36頁(yè)/共51頁(yè)基本思想：基本思想：將待排序元素分成大小大致相同的2個(gè)子集合，分別對(duì)2個(gè)子集合進(jìn)行排序，最終將排好序的子集合合并成為所要求的排好序的集合。 void MergeSort(Type a, int left, int right) if (leftright) /至少有2個(gè)元素 int i=(left+right)/2; /取中點(diǎn) merge

23、Sort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); /合并到數(shù)組b copy(a, b, left, right); /復(fù)制回?cái)?shù)組a 復(fù)雜度分析復(fù)雜度分析T(n)=O(nlogn) 漸進(jìn)意義下的最優(yōu)算法11)()2/(2) 1 ()(nnnOnTOnT第37頁(yè)/共51頁(yè)算法mergeSort的遞歸過(guò)程可以消去。初始序列49 38 65 97 76 13 2738 49 65 97 13 76 27第一步第二步38 49 65 97 13 27 76第三步13 27 38 49 65 76 97第38頁(yè)

24、/共51頁(yè)&最壞時(shí)間復(fù)雜度：最壞時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)&平均時(shí)間復(fù)雜度：平均時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)&輔助空間：輔助空間：O(n)第39頁(yè)/共51頁(yè)在快速排序中，記錄的比較和交換是從兩端向中間進(jìn)行的，關(guān)鍵字較大的記錄一次就能交換到后面單元，關(guān)鍵字較小的記錄一次就能交換到前面單元，記錄每次移動(dòng)的距離較大，因而總的比較和移動(dòng)次數(shù)較少。templatevoid QuickSort (Type a, int p, int r) if (pr) int q=Partition(a,p,r); QuickSort (a,p,q-1); /對(duì)左半段排序 QuickSort (a,q+1,r); /

25、對(duì)右半段排序 第40頁(yè)/共51頁(yè)templateint Partition (Type a, int p, int r) int i = p, j = r + 1; Type x=ap; / 將 x的元素交換到右邊區(qū)域 while (true) while (a+i x); if (i = j) break; Swap(ai, aj); ap = aj; aj = x; return j;初始序列6, 7, 5, 2, 5, 8j-;ji5, 7, 5, 2, 6, 8i+;ji5, 6, 5, 2, 7, 8j-;ji5, 2, 5, 6, 7, 8i+;ji完成6, 7, 5, 2, 5,

26、 85, 2, 5 6 7, 8第41頁(yè)/共51頁(yè)templateint RandomizedPartition (Type a, int p, int r) int i = Random(p,r); Swap(ai, ap); return Partition (a, p, r); 快速排序算法的性能取決于劃分的對(duì)稱性。通過(guò)修改算法partition，可以設(shè)計(jì)出采用隨機(jī)選擇策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，當(dāng)數(shù)組還沒(méi)有被劃分時(shí)，可以在ap:r中隨機(jī)選出一個(gè)元素作為劃分基準(zhǔn)，這樣可以使劃分基準(zhǔn)的選擇是隨機(jī)的，從而可以期望劃分是較對(duì)稱的。&最壞時(shí)間復(fù)雜度：最壞時(shí)間復(fù)雜度：O(n2)&

27、平均時(shí)間復(fù)雜度：平均時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)&輔助空間：輔助空間：O(n)或或O(logn)第42頁(yè)/共51頁(yè)給定平面上n個(gè)點(diǎn)的集合S，找其中的一對(duì)點(diǎn)，使得在n個(gè)點(diǎn)組成的所有點(diǎn)對(duì)中，該點(diǎn)對(duì)間的距離最小。 u為了使問(wèn)題易于理解和分析，先來(lái)考慮一維一維的情形。此時(shí)，S中的n個(gè)點(diǎn)退化為x軸上的n個(gè)實(shí)數(shù) x1,x2,xn。最接近點(diǎn)對(duì)即為這n個(gè)實(shí)數(shù)中相差最小的2個(gè)實(shí)數(shù)。假設(shè)我們用x軸上某個(gè)點(diǎn)m將S劃分為2個(gè)子集S1和S2 ，基于平衡子問(wèn)題平衡子問(wèn)題的思想，用S中各點(diǎn)坐標(biāo)的中位數(shù)來(lái)作分割點(diǎn)。遞歸地在S1和S2上找出其最接近點(diǎn)對(duì)p1,p2和q1,q2，并設(shè)d=min|p1-p2|,|q1-q2|，S中的

28、最接近點(diǎn)對(duì)或者是p1,p2，或者是q1,q2，或者是某個(gè)p3,q3，其中p3S1且q3S2。能否在線性時(shí)間內(nèi)找到能否在線性時(shí)間內(nèi)找到p3,q3？第43頁(yè)/共51頁(yè)u如果S的最接近點(diǎn)對(duì)是p3,q3，即|p3-q3|d，則p3和q3兩者與m的距離不超過(guò)d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。u由于在S1中，每個(gè)長(zhǎng)度為d的半閉區(qū)間至多包含一個(gè)點(diǎn)（否則必有兩點(diǎn)距離小于d），并且m是S1和S2的分割點(diǎn)，因此(m-d,m中至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。由圖可以看出，如果如果(m-d,m中有中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S1中最大點(diǎn)。中最大點(diǎn)。u因此，我們用線性時(shí)間就能找到區(qū)間(m-d,m和(m,m+

29、d中所有點(diǎn)，即p3和q3。從而我們用線性時(shí)間就可以將從而我們用線性時(shí)間就可以將S1的解和的解和S2的解合并成為的解合并成為S的解的解。能否在線性時(shí)間內(nèi)找到能否在線性時(shí)間內(nèi)找到p3,q3？第44頁(yè)/共51頁(yè)u下面來(lái)考慮二維的情形。選取一垂直線l:x=m來(lái)作為分割直線。其中m為S中各點(diǎn)x坐標(biāo)的中位數(shù)。由此將S分割為S1和S2。遞歸地在S1和S2上找出其最小距離d1和d2，并設(shè)d=mind1,d2，S中的最接近點(diǎn)對(duì)或者是d，或者是某個(gè)p,q，其中pP1且qP2。能否在線性時(shí)間內(nèi)找到能否在線性時(shí)間內(nèi)找到p,q？第45頁(yè)/共51頁(yè)u考慮P1中任意一點(diǎn)p，它若與P2中的點(diǎn)q構(gòu)成最接近點(diǎn)對(duì)的候選者，則必有distance(p，q)d。滿足這個(gè)條件的滿足這個(gè)條件的P2中的點(diǎn)中的點(diǎn)一定落在一個(gè)一定落在一個(gè)d2d的矩形的矩形R中中u由d的意義可知，P2中任何2個(gè)S中的點(diǎn)的距離都不小于d。由此可以推出矩形矩形R中最多只有中最多只有6個(gè)個(gè)S中的點(diǎn)中的點(diǎn)。u因此，在分治法的合并步驟中最多只需要檢查最多只需要檢查6n/2=3n個(gè)個(gè)候選者候選者能否在線性時(shí)間內(nèi)找到能否在線性時(shí)間內(nèi)找到p3,q3？證明證明:將矩形R的長(zhǎng)為2d的邊3等分，將它的長(zhǎng)為d的邊2等分，由此導(dǎo)出6個(gè)(d/2)(2d/3)的矩形。若矩形R中有多于6個(gè)S中的點(diǎn)，則由鴿舍原理易知至少有一個(gè)(d/2)(2d/3)的小矩形中有2個(gè)以上