直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題

1、、直角三角形的性質(zhì)1一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖，/1+Z 2= 度.2. 如圖， ABC中，/ BAC=90 , ADL BC, / ABC的平分線 BE交 AD于點(diǎn) F, AG 平分/ DAC 求證：/ BAD2 C;/ AEFW AFE AGL EF.3. 如下圖，在 ABC中, CD, BE是兩條高，那么圖中與/ A相等的角有4 .如圖， ABC中, ABAC, BE CF都是 ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 CQ=AB連接AP AQ QR求證： APQ是等腰直角三角形.二、含30角的直角三角形的性質(zhì)5.在Rt ABC中，/ ACB=60 , D

2、E是斜邊AC的中垂線，分別交 AB AC于 D E 兩點(diǎn).假設(shè)BD=2求AD的長(zhǎng)6 .如圖，/ AOPM BOP=15 , PC/ OA交 OB于 C, PDLOA于 D,假設(shè) PC=6求PD的長(zhǎng)7 .如下圖，矩形ABCD中, AB=AD E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD求/ EDC勺度數(shù)8 .如圖， ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為BC邊上的中點(diǎn)，DFL AB于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且 ED=EC 假設(shè) AE=2求AF的長(zhǎng)9 .如下圖，/ 1 = 7 2, AD=BD=4 CEL AD, 2CE=AC 求 CD 的長(zhǎng)10 .如圖，在 Rt ABC中, 7 ACB=90 , 7 B=30 ,

3、AD 平分7 BAC DEL AB 于 E,求證：(1) CD=DE (2) AC=BE (3) BD=2CD三、直角三角形斜邊中線問(wèn)題11.如圖，在 ABC中/ A=60 , BMLAC于點(diǎn)M, CNLAB于點(diǎn)N, P為BC邊的中 點(diǎn)，連接PM PN求證： PMN為等邊三角形；12 .銳角 ABC中, CD BE分別是AB, AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)， 連接DM EM(1) 假設(shè) DE=3 BC=8 求厶 DME的周長(zhǎng)；(2) 假設(shè)/ A=60o，求證：/ DME=6 ;(3) 假設(shè)BC=2DE,求/ A的度數(shù).13.如圖，在 ABC中, D是BC上一點(diǎn)，AB=AD E、F分別是AC

4、 BD的中點(diǎn)， EF=2,求AC的長(zhǎng)14 .如圖，在厶 ABC中, AB=6 AC=8 BC=10 P為邊 BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于 E,PF丄AC于 F, M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值15 .如圖，在 ABC中，/ ACB=90，/ B=20 , D在 BC上, AD=BD E 為 AB 的中點(diǎn)，AD CE相交于點(diǎn)F,求/ DFE等于多少16. 如圖，在Rt ABC中, / ACB=90 ,將邊BC沿斜邊上的中線 CD折疊到CB ,假設(shè)/B=50，求/ ACB =.17. 如圖， ABC中, AB=AC D為 AB中點(diǎn)，E 在 AC上，且 BE!AC,假設(shè) DE=5 AE=8求BC的長(zhǎng)度.1

5、8. 如圖,在平行四邊形 ABCD中,以AC為斜邊作Rt ACE又/ BED=90 .求證： AC=BD19. ：如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHLAB于 點(diǎn)H, CD平分/ ACB(1) 求證：/仁/2.(2) 過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長(zhǎng)線于E,求證：CM=EM(3) A AEB是什么三角形證明你的猜測(cè).20. 如圖，在厶ABC中，延長(zhǎng)CA到 D,使BA=BD延長(zhǎng)BA到E,使CA=CE 設(shè)P、M N分別是BG AD AE的中點(diǎn).求證： PMN是等腰三角形.四、等腰直角三角形問(wèn)題21. 如圖， ACB CDE為等腰直角三角形，/ CAB2 CDE=90，F(xiàn)

6、為BE的中 點(diǎn)，求證： AFL DF， AF=DF.22. 等腰直角三角形 ABC中, CD是斜邊AB上的高，AE平分/ CAB交 CD于 E， 在DB上取點(diǎn)F,使DF=DE求證：CF平分/ DCB23. 如圖， OBDfAOCA是等腰直角三角形，/ ODBM OCA=90 . M是線段AB 中點(diǎn)，連接DM CM CD假設(shè)C在直線OB上，試判斷厶CDM勺形狀.24. 如圖，點(diǎn) D在AC上, ABCffiAADE都是等腰直角三角形，點(diǎn) M為EC的中點(diǎn).(1) 求證： BM助等腰直角三角形；(2) 將圖中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45,如圖所示，那么(1)題中的結(jié) 論“ BMD為等腰直角三角形是否

7、仍然成立請(qǐng)說(shuō)明理由.25. ：如圖 ABC中, Z A=90 , AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別在線段 AB, AC上，且/ EDF=90(1) 求證： DEF為等腰直角三角形;(2)求證:S 四邊形 AED=SBDE+SxCDF；(3) 如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持/ EDF=90 , DEF 還仍然是等腰直角三角形嗎請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由.26. X ABC 中，/ ABC=45 , AB BC BEX AC 于點(diǎn) E, AD丄 BC 于點(diǎn) D.(1) 如圖1，作/ ADB的角平分線 DF交BE于點(diǎn)F,連接AF.求證：/ FAB=/ FBA(2) 如圖2,連接D

8、E,點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DG EG 依據(jù)題意補(bǔ)全圖形； 用等式表示線段AE BE DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.27. 如圖，在 ABC中,/ ACB=90 , AC=BC D 為 BC 中點(diǎn)，DEI AB 垂足為點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn)B作BF/ AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF AF、AD AD與CF交于點(diǎn)G.(1) 求證： acdx cbf(2) AD與 CF的關(guān)系是 ;(3) 求證： ACF是等腰三角形；(4) XACF可能是等邊三角形嗎 (填“可能或“不可能).直角三角形斜邊中線等腰直角三角形專題參考答案與試題解析1. 【解答】解：如圖，/ 1=/ 3,/ 2=/ 4 (對(duì)頂角相

9、等), / 3+/ 4=90,/ 1+Z 2=90故答案為： 90【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)， 對(duì)頂角相等， 熟記性質(zhì)是解 題的關(guān)鍵2. 如圖， ABC中，/ BAC=90 , ADL BC, / ABC的平分線 BE交 AD于點(diǎn) F, AG 平分/ DAC給出以下結(jié)論：/ BAD C;/AEF=/ AFE/ EBC2 C;AG 丄EF.其中正確的結(jié)論是A. B. C. D.【分析】根據(jù)同角的余角相等求出/ BAD C,再根據(jù)等角的余角相等可以求出/ AEF AFE根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出 AGL EF.【解答】解BAC=90 , ADL BC, C+ ABC=90

10、, BAD+ ABC=90 ， BAD C,故正確； BE是ABC的平分線， ABE CBE ABE AEF=90 , CBE+ BFD=90， AEF=/ BFD又 AFE=/ BFD對(duì)頂角相等, AEF=/ AFE 故正確；vZ ABE CBE只有/ C=30時(shí)EBC C,故錯(cuò)誤；v AEF= AFE AE=AFv AG平分DAC AGL EF,故正確.綜上所述，正確的結(jié)論是.應(yīng)選 C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的性質(zhì)， 等腰三角形三線合一的性質(zhì)， 同角的余 角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)， 熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角 度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3. 如下圖，在 ABC中，CD

11、 BE是兩條高，那么圖中與/ A相等的角的個(gè)數(shù) 有 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)【分析】根據(jù)條件 CD BE是兩條高可知：/ A+Z DCA=90，/ ABE+Z BHD=90，Z A+Z ABE=90，Z CHEZ HCE=90，再根據(jù)同角的余角相等即可得 到答案.【解答】解：CDL ABZ CDAZ BDH=90，Z A+Z DCA=90，Z ABE+Z BHD=90， BE! AC,Z A+Z ABE=90，Z CHE+Z HCE=90 ，Z A=Z BHD=Z CHE，應(yīng)選： B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)， 關(guān)鍵是根據(jù)垂直得到有哪些角互余.4. 如圖，

12、ABC中, ABAC，BE CF都是 ABC的高，P是BE上一點(diǎn)且BP=AC Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 CQ=AB連接AR AQ QR判斷 APQ勺形狀.【分析】利用BE、CF都是 ABC的高，求證Z仁Z 2,然后求證厶ACQ PBA 利用AQ=AR AQLAP,即可證明厶APQ是等腰直角三角形.【解答】解： APC是等腰直角三角形. BE CF 都是 ABC的 高， Z 1+Z BAE=90，Z 2+Z CAF=90 同角可等角的余角相等/ 仁/ 2又 AC=BP CQ=AB在厶AC內(nèi) PBA中 ACQA PBA AQ=AP/ CAQM BPA玄 3+90/ QAPM CAQ-Z 3=90 A

13、QL AP APC是等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌 握，難度不大，屬于根底題5. 2021秋？泰山區(qū)期中在Rt ABC中, / ACB=60 , DE是斜邊AC的中垂線, 分別交AB AC于D E兩點(diǎn).假設(shè)BD=2那么AD的長(zhǎng)是A. 3 B. 4 C. 5 D.【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/ A的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得 到 DA=D,C 解答即可.【解答】解：I/ ACB=60，/ B=90 ,/ A=30 ,v DE是斜邊AC的中垂線， DA=DC/ ACD/ A=30 ,v BD=2， AD=4應(yīng)選 B【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是

14、線段垂直平分線的性質(zhì)、 直角三角形的性質(zhì)， 掌握線段的 垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵6. 2021秋？大豐市月考如圖，/ AOPM BOP=15 , PC/ OA交 OB于 C, PD1OA于D,假設(shè)PC=6那么PD等于A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【分析】過(guò)點(diǎn)P作PEL OB于 E,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/ AOPM COP 然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/ PCEWAOB=30 ,再根據(jù)直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答.【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE!OB于 E, PC/ OA/ AOPM COP/ PCE

15、2 BOP# COPM BOP# AOPH AOB=30 ,又 PC=6 PE=PC=3 AOP# BOP PDL OA PD=PE=3 應(yīng)選 B.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 三角形 的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì) 以及平行線的性質(zhì) 作輔助 線構(gòu)造出含 30的直角三角形是解題的關(guān)鍵.7. 2021春？蘭溪市期末如下圖,矩形 ABCD中 , AB=AD E為BC上的一點(diǎn), 且AE=AD那么# EDC的度數(shù)是A. 30B. 75C. 45D. 15【分析】 根據(jù)矩形性質(zhì)得出# C=#ABC=90 AB=CD DC/ AB 推出 AE=2AB 得

16、出/AEB=30 =Z DAE求出/ EDC勺度數(shù)，即可求出答案.【解答】解：四邊形ABCD是矩形，/ C=Z ABC=90 , AB=CD DC/ AB, AB=AD E 為 BC上的一點(diǎn)，且 AE=AD AE=2AB/ AEB=30 , AD/ BC,/ AEBW DAE=30 , AE=AD/ADE2 AED= 180-/ EAD =75,vZ ADC=90 ,/ EDC=90 - 75 =15,應(yīng)選 D.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出ZABC和ZEBA的度數(shù)，題目比擬好，是一道綜合性比

17、擬強(qiáng)的題目.8. 2021春？重慶校級(jí)期末如圖， ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中 點(diǎn)，DF丄AB于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且ED=EC假設(shè) AE=2那么AF的長(zhǎng)為 A. B. 2 C. +1 D. 3【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH/ AC交BC的延長(zhǎng)線于H,證明 ABH是等邊三角形，求出CH得到BD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出 BF,計(jì)算即可.【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH/ AC交BC的延長(zhǎng)線于H,Z H=Z ACB=60，又Z B=60 , EBH是等邊三角形， EB=EH=B，H CH=AE=，2 ED=EC/ EDCM ECD 又/ B=Z H,/ BED2 HEC在厶 BED?3 HE

18、C中, BEDA HEC BD=CH=2 BA=BC=4 BF=BD=1 AF=3應(yīng)選： D【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、 直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的 性質(zhì)，掌握直角三角形中， 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、 等邊三角形的 三個(gè)角都是 60是解題的關(guān)鍵9. 2021春？古冶區(qū)校級(jí)期中如下圖，/ 仁/ 2, AD=BD=4 CE!AD2CE=AC那么CD的長(zhǎng)是A. 2 B. 3 C. 1D.【分析】在Rt AEC中，由于=，可以得到/仁/ 2=30，又AD=BD=4得到/B=Z 2=30,從而求出/ ACD=90，然后由直角三角形的性質(zhì)求出 CD【解答】解：在Rt AEC中，：

19、=,/ 仁/ 2=30,/ AD=BD=,/ B=Z 2=30,/ ACD=180 - 30X 3=90, CD=AD=2應(yīng)選 A【點(diǎn)評(píng)】 此題利用了：1直角三角形的性質(zhì)；2三角形內(nèi)角和定理；3等邊對(duì)等角的性質(zhì)10. 2021秋？包河區(qū)期末如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，/ B=30 , AD平分/ BAC DEI AB于 E,以下結(jié)論1 CD=DE 2 AC=BE 3 BD=2CD 4 DE=A中，正確的有A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 CD=DE AC=BE結(jié)合含30角的直角三角形 的性質(zhì)可得BD=2CD而AC和 BD不一定

20、相等，所以可得出答案.【解答】 解：I/ ACB=90，/ B=30，AD 平分/ BAC DEL AB, DC=DE / ADC/ ADE=60， AD平分/ CDE AC=AE在 Rt BDE中,/ B=30， BD=2DE=2CD在 Rt ADE中, DE=AE=AC正確的有1、2、3，應(yīng)選 C.【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查角平分線的性質(zhì)及含30角的直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.11. 2021秋？江陰市期中如圖，在 ABC中/ A=60，BMLAC于點(diǎn)M, CNLAB于點(diǎn)N, P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM PN那么以下結(jié)論：PM=PN厶PMh為 等邊三角形

21、；下面判斷正確是A.正確 B.正確 C.都正確D .都不正確【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；根據(jù)直角 三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出/ ABMNACN=30 ,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求 出/ BCN# CBM=6 ,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的 和求出/ BPN# CPM=12，從而得到/ MPN=6，又由得 PM=PN根據(jù)有一 個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確.【解答】解：BMLAC于點(diǎn)M, CNLAB于點(diǎn)N, P為BC邊的中點(diǎn)， PM=BCPN=BC PM=PN 正確；/ A=60 , BML AC于點(diǎn) M CNL AB于點(diǎn) N,

22、 / ABMM ACN=30 ,在厶 ABC中, Z BCN# CBIVF180- 60- 30X 2=60,點(diǎn) P 是 BC的中點(diǎn)，BMLAC, CNL AB PM=PN=PB=PCZ BPN=2Z BCN Z CPM=Z2 CBMZ BPN+Z CPM=(2 Z BCN+Z CBM)=2X 60 =120Z MPN=60 PMN是等邊三角形,正確； 所以都正確應(yīng)選： C【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性 質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12. 銳角厶ABC中, CD BE分別是AB AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn), 連接 DM，E

23、M(1) 假設(shè)DE=3 BC=8求厶DME勺周長(zhǎng)；(2) 假設(shè)Z A=60 ,求證：Z DME=6 ;(3) 假設(shè)BC=2DE,求Z A的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DM=BC=4EM=BC=4即可求出答案；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出Z ABC-Z ACB=120 ,根據(jù)直角三角形斜邊上中 線性質(zhì)求出 DM=BMEM=CM推出/ ABCM BDM / ACB2 CEM根據(jù)三角形內(nèi)角 和定理求出即可；(3)求出EM=EN解直角三角形求出/ EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出 即可【解答】解：(1)v CD BE分別是AB AC邊上的高，/ BDCM BEC=90

24、, M是線段BC的中點(diǎn)，BC=8 DM=BC=4EM=BC=4 DME勺周長(zhǎng)是 DE+EM+DM=3+4+4；1(2) 證明：I / A=60 ,/ ABC/ ACB=120,v/ BDCM BEC=90 , M是線段BC的中點(diǎn)， DM=BJVIEM=CM/ ABC/ BDM / ACBM CEM/ EMC/ DMBMABCM ACB=120，/ DME=18 - 120 =60;(3) 解：過(guò)M作MNLDE于N,v DM=E，M EN=DN=DE/ ENM=9 ,v EM=DM=BCDN=EN=DEBC2=2DE2，( 2EM 2=2 (2EN 2, EM=EN sin / EMN=/ EM

25、N=45 ,同理/ DMN=45 ,/ DME=90 ,/ DMB/ EMC=180 - 90 =90,vZ ABC=/ BDM / ACB2 CEM/ABCZACB= 180Z DMB180Z EMC =135,Z BAC=180 -Z ABCZ ACB =45.【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì), 三角形的內(nèi)角和定理, 解直角三 角形的性質(zhì), 直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用, 能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解 此題的關(guān)鍵,此題綜合性比擬強(qiáng),有一定的難度,注意：直角三角形斜邊上的中 線等于斜邊的一半.13. 2021春？永川區(qū)校級(jí)期中如圖，在 ABC中, D是BC上一點(diǎn)，AB=AD E、F

26、分別是AC BD的中點(diǎn)，EF=2,貝U AC的長(zhǎng)是A. 3B. 4 C. 5 D. 6【分析】連結(jié)AF.由AB=AD F是BD的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì) 得出AF丄BD.再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC=2EF=4【解答】 解：如圖，連結(jié) AFv AB=AD F是BD的中點(diǎn)， AF丄 BD.v在 Rt ACF中, Z AFC=90，E是 AC的中點(diǎn)，EF=2, AC=2EF=4應(yīng)選 B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)： 在直角三角形中， 斜邊上 的中線等于斜邊的一半.利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出 AF丄BD是解題的 關(guān)鍵14. 2021秋？姜堰市期

27、末如圖，在 ABC中，AB=6 AC=8 BC=10 P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEI AB于 E, PF丄AC于F, M為EF中點(diǎn)，貝U AM的最小值為A2 B C D3【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離， 垂線段最短，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AP最短時(shí)的長(zhǎng)，然后即可求出AM最短時(shí)的長(zhǎng).【解答】 解：連結(jié)AP,在厶ABC中，AB=6 AC=8 BC=10/ BAC=90， PEL AB, PF丄 AC四邊形AFPE是矩形， EF=AP M是EF的中點(diǎn)， AM=AP根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，即APL BC時(shí)，AP最短，同樣AM也最

28、短，當(dāng) APIBC時(shí)， ABPA CBA AP最短時(shí)，AP=當(dāng)AM最短時(shí)，AM= 應(yīng)選 B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形判定與性質(zhì)、 垂線段最短和直角三角形 斜邊上的中線的理解和掌握， 此題涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 有一定的拔高難度， 屬于中 檔題15. 2021?武隆縣模擬如圖，在 ABC中，/ ACB=90，/ B=20，D 在 BC 上, AD=BD E為AB的中點(diǎn)，AD CE相交于點(diǎn)F,/ DFE等于A. 40B. 50C. 60D. 70【分析】根據(jù)得，/ BAC=70，/ BAD/ B,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中 線等于斜邊的一半，得出/ ECBM B,從而得出/ ACE再由三角形

29、的內(nèi)角和定理 得/ AFC根據(jù)對(duì)頂角相等求出答案.【解答】解：I/ ACB=90，/ B=20 ,/ BAC=70 , AD=BD/ BAD/ B=20 ,/ DAC=50 , E為AB的中點(diǎn)， BE=CE/ ECB/ B=20 ,/ ACE=70 ,在厶 ACF中,/ ACF+Z AFC+Z FAC=180 ,/ AFC=60 ,v/ DFE=/ AFC=60 對(duì)頂角相等,應(yīng)選C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一 半，是根底知識(shí)要熟練掌握.16. 2021?江岸區(qū)模擬如圖，在 Rt ABC中,/ ACB=90，將邊BC沿斜邊上 的中線CD折疊到CB，假設(shè)

30、/ B=50，那么/ ACB = 10.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求 出/BCD / DCA勺度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出/ B CD的度數(shù)，計(jì)算即可.【解答】解：v/ ACB=90 , / B=50 ,/ A=40 ,v/ ACB=90 , CD是斜邊上的中線， CD=BD CD=AD/ BCD/ B=50 , / DCA/ A=40 ,由翻折變換的性質(zhì)可知，/ B CD/ BCD=50 ,/ ACB =Z B CDhZ DCA=10 ,故答案為：10.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、 翻折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形 中，斜邊上的中線等于斜

31、邊的一半是解題的關(guān)鍵.17. 2021秋？嵊州市期末如圖， ABC中, AB=AC D為AB中點(diǎn)，E在AC上,且BE! AC，假設(shè)DE=5 AE=8貝U BC的長(zhǎng)度為 2.【分析】由BEX AC，D為AB中點(diǎn)，DE=5根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊 的一半，即可求得AB的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得 BC的長(zhǎng).【解答】解：BE!AC，/ AEB=90，v D為AB中點(diǎn)， AB=2DE=Z 5=10,v AE=8 BE=6BC=2故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理.注意掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.18. 如圖，在平行四邊形 A

32、BC沖，以AC為斜邊作Rt ACE又/ BED=90 .求 證：AC=BD【分析】連接EO首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 AO=CO BO=DO即O為BD 和 AC的中點(diǎn)，在 Rt AEC中 EO=AC 在 Rt EBD中, EO=BD 進(jìn)而得到 AC=BD 再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論.【解答】證明：連接EQv四邊形ABCD是平行四邊形， AO=COBO=DO在 Rt EBD中,O為BD中點(diǎn)， EO=BD在 Rt AEC中, O為 AC中點(diǎn)， EO=AC AC=BD【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線， 關(guān)鍵是 掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

33、半19. ：如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHLAB于 點(diǎn)H, CD平分/ ACB(1) 求證：/ 1=Z 2.(2) 過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長(zhǎng)線于E,求證：CM=EM(3) A AEB是什么三角形證明你的猜測(cè).【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到 AM=CM=BMfe 等腰三角形到性質(zhì)得到/ CABM ACM由余角的性質(zhì)得到/ CAB2 BCH等量代換 得到/ BCHM ACM根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ ACDM BCD即可得到結(jié)論；(2) 根據(jù)EML AB, CHL AB,得到EM/ AB由平行線的性質(zhì)得到/ HCDM MED 由于

34、/ HCDM MCD于是得到/ MCD/MED即可得到結(jié)論；(3) 根據(jù)CM=EMkM=CM=BMf是得至U EM=AM=BMf出厶AEB是直角三角形,由 于EM垂直平分AB得到EA=EE于是得到結(jié)論.【解答】 證明：(1) Rt ABC中 , / ACB=90 , M是AB邊的中點(diǎn)， AM=CM=BM/ CAB2 ACM/ CAB=90/ ABCv CHL AB,/ BCH=9(0 / ABC/ CAB2 BCH/ BCHM ACMv CD平分/ ACB/ ACDM BCD/ ACD-Z ACM/ BCD-Z BCH即/仁/ 2;( 2)v EML AB CHL AB EM/ CH/ HCD

35、/ MEDv/ HCD=/ MCD/ MCD/MED CM=EJM(3)A AEB是等腰直角三角形,v CM=EM AM=CM=BMem=am=bm AEB是直角三角形，v EM垂直平分AB. EA=EB AEB是等腰三角形, AEB是等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 等腰直角三角形 的判定和性質(zhì) 角平分線的定義 線段垂直平分線的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì) 熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵20. 如圖，在厶ABC中，延長(zhǎng)CA到D,使BA=BD延長(zhǎng)BA到E,使CA=CE 設(shè)P、M N分別是BG AD AE的中點(diǎn).求證： PMN是等腰三角形.【分析】連接BM CN根據(jù)等

36、腰三角形三線合一得到/ BMC=9，根據(jù)直角三 角形的性質(zhì)得到MP=BC同理NP=BC得到答案.【解答】 證明：連接 BM、CN， BA=BD DM=M, BML AD,/ BMC=9 , 又 BP=PC MP=BC同理， NP=BC， MP=NP PMN是等腰三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)， 掌握直角三角形 斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵.21. 如圖， ACB CDE為等腰直角三角形，/ CAB2 CDE=90 , F為BE的中 點(diǎn)，求證：AF丄DF, AF=DF【分析】 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AF=BF=A

37、E，DF=BF=AE再根據(jù)等邊對(duì)等角可得/ ABF=/ BAF / DBF玄BDF然后根據(jù)三角形 的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/ AFD=/ ABC再根據(jù)等腰直角 三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】 證明：CAB/ CDE=90 , F為BE的中點(diǎn)，AF=BF=AE DF=BF=A, AF=DF./ ABF=/ BAF，/ DBF=/ BDF，由三角形的外角性質(zhì)得，/ AFD=/ ABF+/ BAF+/ DBF+/ BDF=2/ ABC， ABC是等腰直角三角形，/ ABC=45 ,/ AFD=90 , AF丄 DF,綜上所述，AF丄DF, AF=DF【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊

38、上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)， 等腰直角 三角形的性質(zhì), 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì), 熟記 各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵22. 等腰直角三角形 ABC中, CD是斜邊AB上的高，AE平分/ CAB交 CD于 E, 在DB上取點(diǎn)F,使DF=DE求證：CF平分/ DCB【分析】延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G,利用角平分線的性質(zhì)可知 EG=ED然后證明厶CEG FED得出CE=FE利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求出/ ECF= / BCF【解答】解：延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G,v DE=DF CD是斜邊AB上的高，/ DEF=45 ,vZ DCB=45 , EF/ BC,Z EFCZ FCB

39、 Z CGF=90 ,v AE平分 Z CABZ CGF=Z BDC=90 GE=DE在厶CGE與 FDE中, CGE FDE( ASA , CE=FEZ ECF=Z EFC/ ECF= BCF CF平分/ DCB【點(diǎn)評(píng)】 此題考查等腰三角形的性質(zhì)， 涉及全等三角形的性質(zhì)與判定， 等腰直角 三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高23. 如圖， OBDfAOCA是等腰直角三角形，/ ODBM OCA=90 . M是線段AB 中點(diǎn)，連接DM CM CD假設(shè)C在直線OB上，試判斷厶CDM勺形狀.【分析】 由厶O(píng)BD和厶O(píng)CA是等腰直角三角形得到/ACBK AD=90，ZOBD=45，

40、由M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到 DM=AM=BM CM=AM=B CM二DJML MBDMDBZ MCBMMBC理由三角形外角性質(zhì)得/ AMD=2 / MBDZ AMC=Z MBC 那么/ AMD/ AMC=2( / MBD/ MBC =2Z OBD=90，于 是可得到厶CDM為等腰直角三角形.【解答】解： CDM等腰直角三角形.理由如下： OBDH OCA是等腰直角三角形，/ ACB=/ ADB=90，/ OBD=45，而M為AB的中點(diǎn)，DM=AM=BMCM=AM=BM CM=DJMZ MBD/ MDBZ MCBM MBC/ AMD=2 MBDZ AMC=2 MBC/

41、AMD-Z AMC=2( Z MBD-Z MBC =2Z OBD=90，即 Z CMD=9，v CM=D， CDM等腰直角三角形.同理可得：第2個(gè)圖中 CDM等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、 三 角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵.24. 2021?渝中區(qū)模擬如圖，點(diǎn) D在AC上， ABCP ADE都是等腰 直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn).1求證： BM助等腰直角三角形；2將圖中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45,如圖所示，那么1題中的結(jié) 論“ BMD為等腰直角三角形是否仍然成立請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】1根據(jù)直角三角形斜邊上的

42、中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=M，CDM=EM=M然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以證明/ BMD=9，所以 BMD為等腰 直角三角形；2延長(zhǎng)DM交BC于N,先根據(jù)/ EDB2 ABC=90證明ED/ BC,然后根據(jù)兩直 線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出/ DEMHMCN從而證明厶EDMWA MNC全等，根據(jù)全等 三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=M,N然后即可證明BML DM且BM=DM【解答】1證明：點(diǎn)M是Rt BEC的斜邊EC的中點(diǎn)， BM=EC=MC/ MBCMMCB/ BME=2 BCM 2 分同理可證：DM=EC=MC/ EMD=2 MCD/ BMD=2BCA=90，4 分 BM=DM BMD!等腰

43、直角三角形.5分2 1題中的結(jié)論仍然成立.理由：延長(zhǎng)DM與 BC交于點(diǎn)N, 6分v DEL AB, CBL AB/ EDB2 CBD=90 , DE/ BC./ DEMMMCN又 v/ EMDMNMC EM=M, EDM MNC 8 分 DM=MNDE=NC=AD又 AB=BC， AB- AD=BG CN BD=BN BML DM 即/ BMD=9 . 9 分vZ ABC=90 , BM=DN=DM BMD!等腰直角三角形.10分【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半的性質(zhì)， 熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵， 難度 中等.25. 2

44、021秋？昌平區(qū)校級(jí)期中：如圖 ABC中, Z A=90 , AB=AC D是 斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別在線段 AB AC上，且Z EDF=901求證： DEF為等腰直角三角形；2求證：S 四邊形 AED=SBDE+SCDF；3如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持Z EDF=90 , DEF 還仍然是等腰直角三角形嗎請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由.【分析】1連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 ADL BC, AD=BDZ仁45, 從而得到Z仁ZB,再根據(jù)同角的余角相等求出Z 2=Z4,然后利用“ AAS證明 BDEP ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 DE=DF從而得證；2同理求

45、出厶ADEPA CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可得證；3依然成立，連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 AD=BD Z CAD=45 , 再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出Z DAFZ DBE然后利用“ AAS證明 BDE和厶ADF 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 DE=DF 從而得證.【解答】1證明：如圖，連接AD, vZ A=90 , AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)， ADI BC, AD=BQZ 1=45,./ 仁/ B=45 ,vZ EDF=90 ,:丄 2+Z 3=90,又 vZ 3+Z 4=90,.Z 2=Z 4,在厶 BDE?3 ADF中,. BDEA ADF( ASA,.

46、DE=DF又 vZ EDF=90 , DEF為等腰直角三角形；(2)解：同理可證， ADEA CDF 所以, S 四邊形 AED=SADf+SAAD=SxBDE+SCDF, 即S 四邊形 aed=Sabd+Sacdf；( 3)解：仍然成立如圖，連接 AD，VZ BA(=90o, AB=AC D是斜邊 BC的中點(diǎn), .ADL BC, AD=BD Z 1=45,vZ DAF=180 -Z 仁 180- 45 =135,Z DBE=180 -Z ABC=180 - 45 =135, .Z DAF=Z DBE，vZ EDF=90，.Z 3+Z 4=90，又vZ 2+Z 3=90,.Z 2=Z 4，在厶 BDEfy ADF中, bdea ADF( ASA,. DE=DF又/ EDF=90 , DEF為等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)， 全等三角形判定與性質(zhì)， 作輔助線 構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵26. (2021?汕頭校級(jí)自主