乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)和穩(wěn)定裕度ppt課件

1、第14講程向紅奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)和穩(wěn)定裕度控制系統(tǒng)的校正5.3.5 極坐標(biāo)圖的普通外形ReIm0型系統(tǒng)0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2000) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 00型系統(tǒng)：極坐標(biāo)圖的起點0是一個位于正實軸的有限值 極坐標(biāo)圖曲線的終點位于坐標(biāo)原點，并且這一點上的曲線與一個坐標(biāo)軸相切。11型系統(tǒng)：90的相角是j極坐標(biāo)是一條漸近于平行與虛軸的直線的線段幅值為零，且曲線收斂于原點，且曲線與一個坐標(biāo)軸相切。在總的相角中項產(chǎn)生的02在總相角中180的相角是由2)(j項產(chǎn)生的2型系統(tǒng)：Re01mn2mn3mn圖5-34b高頻區(qū)域內(nèi)的極坐

2、標(biāo)圖 假設(shè))(jG的分母多項式階次)(jG的軌跡將沿者順時針方向收斂于原點時， )(jG軌跡將與實軸或虛軸相切高于分子多項式階次，那么當(dāng)5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion)C(s)R(s)G(s)H(s)圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)為)()(1)()()(sGsHsGsRsC為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程0)()(1sGsH的全部根，都必需位于左半s平面。)()(sGsH的極點和零點能夠位于右半s平面，但假設(shè)閉環(huán)傳送函數(shù)的一切極點均位于左半s平面，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 雖然開環(huán)傳送函數(shù)充要條件5.5.2影射定理設(shè))(sF為兩個s的多項式之比，并設(shè)P為)

3、(sF的極點數(shù)，Z為)(sF的零點數(shù)，它們位于s平面上的某一封鎖曲線內(nèi)，)(sF的任何極點和零點。于是，s平面上的這一封鎖曲線影射到)(sF平面上，也是一條封鎖曲線。當(dāng)變量s順時針經(jīng)過封鎖曲線時)(sF平面上，相應(yīng)的軌跡順時針包圍)(sF原點的總次數(shù)R等于Z-P。且有多重極點和多重零點的情況。設(shè)上述封鎖曲線不經(jīng)過在假設(shè)R為正數(shù)，表示)(sF的零點數(shù)超越了極點數(shù)；)(sF的極點數(shù)超越了零點數(shù)。)()(sGsH很容易確定)()(1)(sGsHsF的P數(shù)。因此，假設(shè)，)(sF的軌跡圖中確定了R，那么s平面上封鎖曲線內(nèi)的零點數(shù)假設(shè)R為負(fù)數(shù)，表示在控制系統(tǒng)運用中，由很容易確定。 )()()()(sAsB

4、sGsH)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsF兩者的極點數(shù)一樣5.5.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的運用為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封鎖曲線包圍整個右半s平面。這時的封鎖曲線由整個j軸(從到該封鎖曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向為順時針方向)。由于奈奎斯特軌跡包圍了整個右半s平面，所以它包圍了)和右半s平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構(gòu)成)()(1sGsH的一切正實部的極點和零點。)()(1sGsH那么不存在閉環(huán)極點，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 假設(shè)在右半s平面不存在零點，平面sj0圖5-37 s平面內(nèi)的封鎖曲線ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHj

5、G)()(jHjG1平面GH曲線對原點的包圍，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH軌跡對-1+j0點的包圍這一判據(jù)可表示為：PRZZ函數(shù))()(1)(sGsHsF在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)R對-1+j0點順時針包圍的次數(shù)P函數(shù))()(sGsH假設(shè)P不等于零，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必需0Z或PR，這意味著必需反時針方向包圍-1+j0點P次。5.5.5關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點闡明式中在右半s平面內(nèi)的極點數(shù)假設(shè)函數(shù))()(sGsH在右半s平面內(nèi)無任何極點，那么RZ 因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，)()(jHjG的軌跡必需不包圍-1+j0點。5.5.6)()(sHsG含有位于j上極點和/或零點的特殊情況平面

6、sj0j0j j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00變量s沿著j軸從 j運動到0j，從0j到0j，變量s沿著半徑為1的半圓運動，再沿著正j軸從0j運動到j(luò)) 1()()(TssKsHsG對于包含因子, 3 , 2,1s的開環(huán)傳送函數(shù))()(sGsH，當(dāng)變量s沿半徑為(1)的半圓運動時，)()(sGsH的圖形中將有個半徑為無窮大的順時針方向的半圓環(huán)繞原點。例如，思索開環(huán)傳送函數(shù)：) 1()()(2TssKsHsGjes jeseKsHsGj22)()(lim當(dāng)s平面上的9090時，)()(sGsH的相角180180平面sj0j0j j j1ABC平面GHReImFED001在右半

7、s平面內(nèi)沒有極點，并且對一切的正K值，軌跡包圍01j點兩次。所以函數(shù))()(1sGsH在右半s平面內(nèi)存在兩個零點。因此，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 假設(shè)在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含)()(1sGsH和P個極點，并且當(dāng)s變量順時針沿奈奎斯特軌跡運動時，不)()(1sGsH經(jīng)過的任何極點或零點，那么在)()(sGsH平面上相對應(yīng)的曲線將沿順時針方向包圍01j點PZR次負(fù)R值表示反時針包圍01j點。5.6穩(wěn)定性分析的Z個零點a)不包圍-1+j0假設(shè)這時)()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒有極點，闡明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否那么，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。點。假設(shè)反時針方向包圍的次數(shù)，等于)()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒有極點數(shù)，那

8、么系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。點。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 c)順時針包圍-1+j0b)反時針包圍-1+j0例5-3 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為：) 1)(1()()(21sTsTKsGsH)()(jGjH的軌跡如圖5-41所示。)()(sGsH在右半s平面內(nèi)沒有任何極點，并且)()(jGjH的軌跡不包圍01j，所以對于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6圖5-41 例5-3中的)()(jGjH極坐標(biāo)圖 例5-4 設(shè)系統(tǒng)

9、具有以下開環(huán)傳送函數(shù)：) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：增益K較小增益K較大。平面GHReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRPjjjj00小K值時是穩(wěn)定的 大K值時是不穩(wěn)定的 例5-5 設(shè)開環(huán)傳送函數(shù)為：) 1() 1()()(122sTssTKsGsH該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于1T和2T相對大小。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ReIm00121TT 平面GH平面GHReIm00121TT 點矢量穿過01)()(jjHjG 21TT )()(sGsH的軌跡不包圍01j系統(tǒng)是穩(wěn)定的21TT )()(sGsH的軌跡經(jīng)

10、過01j點，這闡明閉環(huán)極點位于軸上j平面GHReIm00121TT 21TT )()(sGsH的軌跡順時針方向包圍01j點兩次，因此系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 始開例5-6 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有以下) 1()()(TssKsHsG試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。平面GHReIm100開環(huán)傳送函數(shù)：)()(jGjH極坐標(biāo)圖 圖5-44解)1(TjjK)(1 (2TjK)(1 ()1 (2TjTjK2)(1)1 (TjTjKarctg90 00, 00,2)(1)1 (TjTjKarctg90)1(Tj)1(Tj)1(Tj)()(sGsH在右半s平面內(nèi)有一個極點Ts11P圖5-44

11、中的奈奎斯特圖闡明，)()(sGsH軌跡順時針方向包圍-1+0點一次1R2PRZ這闡明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。平面GHReIm100)()(jGjH極坐標(biāo)圖 圖5-44)1()()(TjjKjHjG)1(Tj)1(TjjK)1(Tj)(1 (2TjK)(1 ()1 (2TjTjK2)(1)1 (TjTjKarctg90 00, 00,2)(1)1 (TjTjKarctg90)1(Tj例5-7 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有以下開環(huán)傳送函數(shù)試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1,) 1()3()()(KsssKsHsG圖5-45)()(jGjH極坐標(biāo)圖平面GHReIm1K) 1()3(4)

12、 1(332222jKjjjKjKK) 1()3() 1(42223KKjGH) 13(4)3(jKjGH4)0(jKjGH4)0(00)(jjGH00)(jjGH) 1(3)()(jjjKjHjG) 1)(1() 1)(3(jjjjjK解0K40漸近線-10-8-6-4-202-15-10-5051015Real AxisImag Axis1-10-8-6-4-202-80-60-40-20020406080Real AxisImag Axis漸近線Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-8-7-6-5-4-3-2-10-150-100-50050100

13、1500 dB漸近線1,) 1() 3()()(KsssKsHsG圖5-45)()(jGjH極坐標(biāo)圖)()(sGsH在右半s平面內(nèi)有一個極點1s1P因此開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的)()(sGsH軌跡逆時針方向包圍-1+j0一次1R0PRZ闡明)()(1sGsH沒有零點位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是一個開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。 圖5-45闡明平面GHReIm001KK43繼續(xù)例5-7例5-8 一單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為) 1)(1()(32221sTsTsTTKsG式中312,TTTK和均為正值。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益K與時間常數(shù)312,TTT和之間滿足什么

14、關(guān)系？ 解 ：頻率特性)(23222221)(1)()1()(jeTTTTKjG322121)(arctgTTTTarctg0)0(jKjG00)(jjG) 1(1)()(32221jTjTjTTKjG-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5Real AxisImag Axis2, 3, 2, 1321KTTT-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5Real AxisImag Axis2, 3, 2, 1321KTTT) 1(1)()(32221jTjTjTTKjG1)()()(32232213321jTTjTTTTjTTTKjTTTTTTT

15、TK)()(12321322312令虛部為零即可 0232132TTTTT32132TTTTTc與負(fù)實軸相交于312323122312)(1)(1)(TTTTTTTTKTTTKjGcc1)(1313231TTTTTTK 1)(313231KTTTTTT展開？與負(fù)實軸的交點-2-1012345678-6-4-20246Real AxisImag Axis8, 3, 2, 1321KTTT-2-1012345678-6-4-20246Real AxisImag Axis8, 3, 2, 1321KTTT5.7.1相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大時K小時K圖5-46) 1() 1)(1()()

16、 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 的極坐標(biāo)圖對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時，)(jG的軌跡經(jīng)過-1+j0點。對于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 )(jG的軌跡對-1+j0點點的接近程度，可以用來度量穩(wěn)定裕量(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實踐系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。 )(jG5.7相對穩(wěn)定性相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain cross-over frequency)為c1)()()(cccjHjGjA定義相角裕度為)()(180ccjHjG相角裕度的含義是度，那么系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，

17、假設(shè)開環(huán)相頻特性再滯后當(dāng)0 時，相位裕量為正值；0為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必需為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點為0分貝和180時，相位裕度為負(fù)值。當(dāng)LogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase MarginStable SystemUnstable System0dB902701800dBcxcx增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phase cross-over frequency) 12()()()(kjHjGx

18、xx, 1, 0 k定義幅值裕度為)()(1xxjHjGh幅值裕度h對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大h倍，那么系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定形狀。)()(log20 xxjHjGh的含義是，假設(shè)以分貝表示，那么有當(dāng)增益裕度以分貝表示時，假設(shè)1h0)(dBh增益裕度為正值；1h，那么0)(dBh正增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 假設(shè)增益裕度為負(fù)值。xLogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase Ma

19、rginStable SystemUnstable System0dB902701800dBcxcxReImh1PlaneGPositive Gain MarginPositive Phase Margin-11ReImh1PlaneGNegative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System)(jG)(jG0)(dBh0判別系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20 xxjHjGh一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，由于這類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸不相交。因此，實際上一階或二階系統(tǒng)不能夠是不

20、穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，由于在推導(dǎo)系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。假設(shè)計及這些小的滯后，那么所謂的一階或二階系統(tǒng)能夠是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益該當(dāng)減少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？只用增益裕度和相位裕度，都缺乏以闡明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必需同時給出這兩個量。 6030 與增益裕度該當(dāng)大于6分貝。 5.7.2關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點闡明控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對-1

21、+j0點 接近程度的度量。這兩個裕度可以作為設(shè)計準(zhǔn)那么。對于最小相位系統(tǒng)，只需當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化呵斥的影響，并且指明了頻率值。為了得到稱心的性能，相位裕度該當(dāng)在之間，例5-9 一單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為)05. 01)(2 . 01 ()(sssKsGK=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求經(jīng)過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解：180)()()(xxxjHjG18005. 02 . 090)(xxxarctgarctg即9005. 02 . 0 xxarc

22、tgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05. 02 . 0105. 02 . 0 005. 02 . 01xx 10 x相位穿越頻率x增益裕度)()(log20)(xxjHjGdBh)05. 01)(2 . 01 (1log20 xxxjjj22)1005. 0(1log20)102 . 0(1log2010log20dB281720 在x處的開環(huán)對數(shù)幅值為根據(jù)K=1時的開環(huán)傳送函數(shù)c1)()(ccjHjG)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjG1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctga

23、rctg 76104180)(180c相位裕度增益穿越頻率截止頻率 Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dBhc1K5 . 2K2 . 5KcK)(dBh)(dBh 由題意知10h1 . 0)(xjG1 . 0)0025. 01)(04. 01 (22xxxK 5 . 225. 0141101 . 0K驗證能否滿足相位裕度的要求。根據(jù) 40的要求，那么得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005. 02

24、 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 . 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22cccK 2 . 502. 128. 14K不難看出，5 . 2K就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。 例5-11 設(shè)一單位反響系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么求ttr)(時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由圖得)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG看對數(shù)幅頻特性10-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/de

25、c-40dB/dec-40dB/dec0.010.115rad/sdB)(L)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG1lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222K1110010K10K)2 . 01)(1001 ()101 (10)(sssssG由于是最小相位系統(tǒng)，因此可經(jīng)過計算相位裕度能否大于零來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知1c在c處4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc那么得6 .73)(180c單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為1 . 01011vssKe 0 系統(tǒng)穩(wěn)定5.7.3

26、 規(guī)范二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)呼應(yīng)與頻率呼應(yīng)之間的關(guān)系S(S+2n)n2R(s)C(s)圖3-8 標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)方塊圖_在圖3-8所示的規(guī)范二階系統(tǒng)中，單位階躍呼應(yīng)中的最大超調(diào)量可以準(zhǔn)確地與頻率呼應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)絡(luò)在一同。因此，從本質(zhì)上看，在頻率呼應(yīng)中包含的系統(tǒng)動態(tài)特性信息與在瞬態(tài)呼應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動態(tài)特性信息是一樣的。)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG書上例5-13p203設(shè)截止頻率14)(2222nccncjGc那么有22224nncc 422244ncnc24)4(44222222nnnc )214(2422nc24214(ncnarctg290)(根據(jù)相位裕度的定義 ncc

27、arctg290180)rctg 242142 arctg上式闡明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。14)(2222nccncjG 00.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090圖5-51規(guī)范二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系相位裕度與阻尼比直接相關(guān)。圖5-51表示了相位裕度與阻尼比的函數(shù)關(guān)系。對于規(guī)范二階系統(tǒng)，當(dāng)時，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下：100因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對于具有一對主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)，當(dāng)根據(jù)頻率呼應(yīng)估計瞬態(tài)呼應(yīng)中的相對穩(wěn)定性即阻尼比時，根據(jù)閱歷，可以運用這個公式。 0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.5221nr21nd對于小的阻尼比，諧振頻率與阻尼自然頻率的值幾乎是一樣的。因此，對于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)呼應(yīng)的速度。的值越小rM和pM的值越大。rrM和pM與之間的函數(shù)關(guān)系如圖5-52所示?？梢钥闯?，當(dāng)4 . 0時，rM和pM之間存在相近的關(guān)系。對于很小的值rM將變得很大，而pM卻不會超越1。 0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.55.7.4截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth)dB)(L0帶寬b33圖5