常微分方程件PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1常微分方程件常微分方程件yxyedxdy122yxdxdy先看例子：xyeye第1頁(yè)/共30頁(yè)定義1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,稱為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy第2頁(yè)/共30頁(yè)一、變量分離方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分離”開(kāi)了.)2 . 2()()(cdxxfydy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf.) 1 . 2(),()2 . 2(的解就為所確定的函數(shù)由cxy) 1 . 2()()(yxfdxdy兩邊積分得02寫成將時(shí)當(dāng)) 1 . 2(,0)(y第3頁(yè)/共

2、30頁(yè)例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分離變量:兩邊積分:第4頁(yè)/共30頁(yè).,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必須予以補(bǔ)上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy第5頁(yè)/共30頁(yè)得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:,110為任常數(shù)cceyx. 0y和110lncxyy第6頁(yè)

3、/共30頁(yè)解:分離變量后得dxxdyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無(wú)意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應(yīng)補(bǔ)上這個(gè)解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.第7頁(yè)/共30頁(yè)例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對(duì)數(shù)的定義有1)(cdxxpey第8頁(yè)/共30頁(yè)即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此

4、外ycy.,)(為任常數(shù)cceydxxp故方程的通解為1)(cdxxpey第9頁(yè)/共30頁(yè)例4.1)0(cos2的特解求初值問(wèn)題yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時(shí)當(dāng),0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當(dāng)也是方程的解此外cy 再求初值問(wèn)題的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解為:.sin111sin1xxy第10頁(yè)/共30頁(yè)第11頁(yè)/共30頁(yè)二、可化為變量分離方程類型二、可化為變量分離方程類型（I）齊次方程）齊次方程 .,)(222111222111為任意常

5、數(shù)其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII第12頁(yè)/共30頁(yè)(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原第13頁(yè)/共30頁(yè)例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux第14頁(yè)/共30頁(yè)兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(l

6、n(2代入原來(lái)變量,得原方程的通解為,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2第15頁(yè)/共30頁(yè)例6求下面初值問(wèn)題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21第16頁(yè)/共30頁(yè)兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始條件故初值問(wèn)題的解為) 1(212xyxdxudu21第17頁(yè)/共30頁(yè)(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常

7、數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過(guò)變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.第18頁(yè)/共30頁(yè)的情形022121bbaa則方程可改寫成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxdy則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分離方程第19頁(yè)/共30頁(yè)不同時(shí)為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程

8、組得交點(diǎn)平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標(biāo)變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.第20頁(yè)/共30頁(yè)解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原05第21頁(yè)/共30頁(yè)例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11第22頁(yè)/共30頁(yè)將變量分離

9、后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy第23頁(yè)/共30頁(yè)注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 第24頁(yè)/共30頁(yè)以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離方程均可適當(dāng)變量變換化為些類型的方程等

10、一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.第25頁(yè)/共30頁(yè)解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy第26頁(yè)/共30頁(yè)三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過(guò)程中它始終為球體，該雪球在開(kāi)始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。解:則表面積為雪球的體積為設(shè)在時(shí)刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得)(3)4()(323231tvts第27頁(yè)/共30頁(yè)再