群的基本知識.doc

1、第一章群的基本知識二十一世紀(jì)以來，特別是愛因斯坦（Einstein ）發(fā)現(xiàn)相對論之后，對稱性的研究在物理學(xué)中越來越重要。對稱性幫助人們求得物理問題的解，也幫助人們尋求新的運動規(guī)律。物理學(xué)家不僅研究了空間和時間的對稱性，而且找到了許多內(nèi)部對稱性，如強作用的SU(2)同位旋對稱， SU(3) 色和味的對稱，弱電統(tǒng)一的SU(2)XU(1) 的對稱，偶偶核的U(6) 動力學(xué)對稱等等。從七十年代起，又開展了超對稱性的研究。群論是研究對稱性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因此，它越來越受到物理學(xué)工作者的重視。1.1 群定義1.1設(shè) G 是一些元素的集合，G, g, g.在 G 中定義了乘法運算。如果G對這種運算滿足下面四

2、個條件：（1）封閉性。即對任意f , gG ，若fgh，必有hG 。（2）結(jié)合律。對任意f , g,hG ，都有fg hf ( gh).（3）有唯一的單位元素。有eG ，對任意fG ，都有effef（4）有逆元素。對任意fG ，有唯一的f1G ，使f1 fff1e則稱G 為一個群。e 稱為群G 的單位元素，f1 稱為f的逆元素。例1空間反演群。設(shè)E和I對三維實空間R3 中向量r的作用為E rr , I rr即 E 是保持 r 不變的恒等變換，I 是使 r 反演的反演變換，定義群的乘法為從右到左連續(xù)對 r作用。集合E, I構(gòu)成反演群，其乘法表見表1.1.例 2n 階置換群 Sn ，又稱 n 階對

3、稱群。將 n 個元素的集合 X 1,2, n 映為自身的置換為P12n,m1m2mn其中 m1 , m2 , mn 是 1,2, n 的任意排列， P 表示把 1 映為 m1 ，2 映為 m2 ， n 映為 mn 的映射。顯然置換只與每列的相對符號有關(guān)，與第一行符號的順序無關(guān)，如1234=42314213321。4定義兩個置換 P 和 P 的乘積 P P ，為先實行置換P ，再實行置換 P ，如123123123=。213321312容易看出在這乘法定義下，全部n 階置換構(gòu)成 Sn 群。 Sn 群共有 n! 個元素。例 3 平面三角形對稱群 D 3 ，又稱為 6 階二面體群?？紤]重心在原點，底

4、邊與x 軸平行的 xy 平面上的正三角形ABC ，見圖 1.1（ a ）。保持正三角形不變的空間轉(zhuǎn)動操作有e : 不轉(zhuǎn)， d : 繞 z 軸轉(zhuǎn) 23， f : 繞 z 軸轉(zhuǎn) 43 ，a : 繞軸 1 轉(zhuǎn)， b : 繞軸 2 轉(zhuǎn)， c :繞軸 3 轉(zhuǎn)定義兩個轉(zhuǎn)動操作的乘積，如ab 為先實行操作b ，再實行操作a 。由圖 1.1 b 可看出，實行操作b 和實行操作ab 后ABC 位置的變化， 且可看出，實行操作ab 和實行操作d 一樣，因此abd。在上述乘法定義下，保持正三角形不變的全體轉(zhuǎn)動操作構(gòu)成D3 群。D3 e, d , f , a, b, c 是6 階群，它的乘法表見表1.2.例 4 定義

5、群的乘法為數(shù)的加法，則全體整數(shù)構(gòu)成一個群，0 是單位元素，素。同理，全體實數(shù)在加法下也構(gòu)成一個群。但實數(shù)全體在乘法為數(shù)乘時，因為 0 沒有逆元素。除去0 以外的實數(shù)構(gòu)成一個群。n 和n 互為逆元并不構(gòu)成一個群，例5空間平移群T3。設(shè)a 是 R3 中的向量，r 是 R3 中任意一向量，定義空間平移Ta 為Tarra定義兩個平移Ta 和 Tb 的乘積Ta Tb ，為先實行平移Tb ，再實行平移Ta ，Ta Tb rTa ( rb)rbaTa b r故 TaTb Ta bTb TaT 3群的單位元素是平移零向量T ，即不平移，其中是零向量， Ta 和Ta 是互逆元素。例 6三維轉(zhuǎn)動群 SO(3) 。

6、保持 R3 中點 O 不動，設(shè) k 是過 O 點的任一軸，繞k 軸轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動為 C k ( ) 。定義兩個轉(zhuǎn)動C k ( ) 和 C ( ) 的乘積 Ck ( )Ck ( ) ，為先實行繞k 軸k轉(zhuǎn)角，再實行繞 k 軸轉(zhuǎn) 角。則繞所有過 O 點軸的一切轉(zhuǎn)動構(gòu)成SO(3) 群。 SO(3) 群的單位元素是轉(zhuǎn)角0 ，即不轉(zhuǎn)。繞同一軸k ，轉(zhuǎn)角和 2的元素 C k ( ) ， Ck ( )互為逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是數(shù)，而且可以是空間反演、空間轉(zhuǎn)動、空間平移等操作，也可以是置換等等。當(dāng)群 G 的元素個數(shù)有限時，G 稱為有限群。 當(dāng) G 的元素個數(shù)為無限時，G 稱為無限群?？臻g反演

7、群、Sn 群、D 3 群是有限群，例4 至例6 是無限群。有限群G 的元素的個數(shù)n 稱為群的階，有時記為n G。反演群是二階群，D 3 是6 階群， Sn 是 n! 階群。群的乘法，可以是數(shù)乘和數(shù)的加法，也可以是空間反演、轉(zhuǎn)動等連續(xù)兩次操作和連續(xù)兩次置換等等。有限群的乘法規(guī)則，可以列為乘法表。無限群的乘法雖然不能列出乘法表，但乘法規(guī)則總是確定的。群的乘法一般不具有可交換性。即對任意f , gG ，一般說來fg 與 gf并不相等。如果對任意 f , gG ，有 fggf ，則稱 G 是可交換群或阿貝爾 (Abel) 群。從前面例子還可以看出，群G 的任何元素可以用指標(biāo)a 標(biāo)記。當(dāng) G 是 n 階

8、有限群時，指標(biāo) a 取 1,2, n ，群元用 ga(a1,2, n) 表示。當(dāng) G 是可數(shù)的無限群時，如整數(shù)加法群， a 可以取所有整數(shù)值，a0,1, 2,。當(dāng) G 是連續(xù)的無限群時，如實數(shù)加法群，有時 a 取全體實數(shù)，有時a 取多個有序的連續(xù)變化的實數(shù)：如在平移群中，a 是三個無界的有序?qū)崝?shù) (ax , a y , az ) ，aax ia y jaz k又如在轉(zhuǎn)動群中，a 是 3 個有界的有序?qū)崝?shù) , ,，其中 , 是轉(zhuǎn)軸 k 的方位角，是轉(zhuǎn)動角度，而且，0,02,0,綜上所述，群G 是任一個元素，總可用在一定范圍內(nèi)變化的一個數(shù)a 標(biāo)記為 g a ，給出此范圍中任一個數(shù)a ，就對應(yīng)群 G

9、 的一個元素。定理 1.1（重排定理）設(shè) G g a , uG ，當(dāng) a 取遍所有可能值時，乘積ug a 給出并且僅僅一次給出G 的所有元素。證 明 先 證 G 中 任 意 元 素 g可 以 寫 成 ug a 的 形 式 。 因 為 u 1G，所以u 1 ggG ，自然有 gug。再證 ug a 當(dāng)不同時，給出 G 中不同的元素。用反證法，設(shè)ug ，而 ug，兩邊左乘 u 1 得gg ，這與可以唯一標(biāo)記 G 中元素矛盾。 故 時，ugug 。于是當(dāng)改變時， ug a 給出并僅一次給出 G 的所有元素。定理證畢。系 ga u 在 取遍所有可能值時，也給出并且僅僅一次給出群G 的所有元素。重排定理

10、是關(guān)于群的乘法的重要定理。它指出每一個群元素，在乘法表的每一行（或每一列） 中被列入一次而且僅僅一次。 乘法表的每一行 （或每一列） 都是群元素的重新排列，不可能有兩行（或兩列）元素是相同的。1.2 子群和陪集定義 1.2設(shè) H 是群 G 的一個子集，若對于與群 G 同樣的乘法運算， H 也構(gòu)成一個群，則稱 H 為 G 的子群。常記為HG 。容易證明，群 G 的非空子集H 是 G 的子群的充要條件為：(1)若 ha , hH ，則 h hH ，(2)若 hH ，則 h 1H 。任意一個群 G ，其單位元素 e 和 G 本身都是 G 的子群，這兩種子群稱為顯然子群和平庸子群。群 G 的非顯然子群

11、稱為固有子群。若不特別說明，一般說是指固有子群。例 7 在定義群的乘法為數(shù)的加法時，整數(shù)全體構(gòu)成的群是實數(shù)全體構(gòu)成的群的子群。例 8在 x 軸方向的平移 Ta xi 全體構(gòu)成平移群T (3) 的一個子群。例 9繞固定軸 k 的轉(zhuǎn)動 C k ()， 02是 SO(3)群的一個子群。定義 1.3n 階循環(huán)群是由元素a 的冪 ak 組成， k1,2, , n ，并且 a ne，記為zn a, a 2 , , ane .循環(huán)群的乘法可以交換，故循環(huán)群是阿貝爾群。從n 階有限群 G 的任一個元素 a 出發(fā)，總可以構(gòu)成 G 的一個循環(huán)子群zk ,稱 a 的階為 k ， zk 是由 a 生成的 k 階循環(huán)群

12、。 因為當(dāng) ae, e 為 G 的一階循環(huán)子群， 這是顯然子群。當(dāng)a,2a,如 a2e， 則 由 a 生 成 2階循環(huán)子群。如e aae, a2e, ak1e, ，用重排定理，知 a, a 2, , a k 1 , a k 為 G 中不同元素。通過增加k ，再利用重排定理， 總可以在 kn 中達(dá)到 ake。因此， 從階有限群的任一元素a 出發(fā)，總可以生成一個G 的循環(huán)子群。定義 1.4設(shè)H 是群 G的子群， H h 。由固定 gG ， gH ，可生成子群H 的左陪集 gHghhH ,同樣也可生成H 的右陪集Hgh g hH ,有時也將陪集稱為旁集。當(dāng)H 是有限子群時，陪集元素的個數(shù)等于H 的階

13、。定理 1.2 （陪集定理） 設(shè)群 H 是群 G 的子群，則 H 的兩個左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者沒有任何公共元素。證明 設(shè) u, v G ， u, vH ，考慮由 u, v 生成的 H 的兩個左陪集，uHuh hH , vH vh hH 設(shè)左陪集 uH 和 vH 有一個公共元素，uhvh則 v 1u h h 1H根據(jù)重排定理，v 1uh 當(dāng)取遍所有可能值時，v 1uh 給出群 H 的所有元素一次，并且僅僅一次，故左陪集v v 1uh uh 與左陪集 vh重合。因此當(dāng)左陪集uH 和 vH 有一個公共元素時， uH 和 vH 就完全重合。定理證畢。同樣的證法，也適用于右陪集。定理

14、1.3（拉格朗日定理） 有限群的子群的階，等于該有限群階的因子。證明 設(shè) G 是 n 階有限群，H是G的m 階子群。取u1G ， u1H,作左陪集u1 H。如果包括子群H的左陪集串H , u1H不能窮盡整個群G ，則取 u2G, u2H , u2u1 H，作左陪集 u2 H 。根據(jù)陪集定理，u2 H 與H 和 u1H完全不重合。繼續(xù)這種做法，由于G 的階有限，故總存在u j 1 ，使包括子群H的左陪集串H ,u1 H , u2 H ,u j 1 H窮盡了整個 G 。即群 G 的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又沒有相重合的元素，故群 G 的元素被分成j 個左陪集，每個陪集有m 個元素

15、。于是群 G 的階 n =（子群 H 的階 m ）j定理證畢。系 階為素數(shù)的群沒有非平庸子群。上面把群 G 的元素， 分成其子群 H 的左陪集串的作法， 不僅對證明拉格朗日定理有用，而且提供了一種把群 G 分割為不相交子集的方法。這是一種很有用的分割群的方法。同樣，也可以把群 G 分割成其子群的右陪集串。例10D3 有子群H 1 e, a, H2 e,b, H 3 e, c和 H 4 e, d, f 。 D 3 可按H1分成左陪集串，H 1 e, a,bH 1 b, f , cH 1 c,d。也可按H 4分成右陪集串，H 4 e, d , f , H 4 a a, b, c 。1.3 類與不變

16、子群定義 1.5 設(shè) f , h 是群 G 的兩個元素， 若有元素 gG ，使 gfg 1h ，則稱元素 h 與 f 共軛。記為 h f 。共軌具有對稱性，當(dāng)h f ，則 f h 。且 f f。共軌還具有傳遞性，即當(dāng)f 1 h, f 2 h, ，則有 f1f 2 。因 f1g1 hg11 , f 2g 2 hg21 , 故f1g1g 2 1 f 2 g 2 g1 1(g1g 2 1 ) f2 ( g1 g2 1 ) 1 ,定義 1.6 群 G 的所有相互共軌的元素集合組成G 的一類。由于共軛關(guān)系具有對稱性和傳遞性，因此一個類被這類中任意一個元素所決定。只要給出類中任意一個元素f ，就可求出f

17、類的所有元素，f 類 f f g fg 1 , gG 。一個群的單位元素e 自成一類， 因?qū)θ我?gG ，有 g eg 1e。阿貝爾群的每個元素自成一類，因?qū)θ我鈌 , gG ，有 g fg1f 。設(shè)元素 f 的階為 m ，即 f me，則f 類所有元素的階都是m ，因 (gfg 1 ) mg f m g1e ，對任意 gG 成立。應(yīng)該指出， 當(dāng) g取遍群 G 的所有元素時， gfg1 可能不止一次地給出f 類中的元素。如 fe， gfg 1 永遠(yuǎn)給出單位元素e 。由共軌關(guān)系具有傳遞性可以知道， 兩個不同的類沒有公共元素。 因此可以對群按共軌類進(jìn)行分割。 這種對群按共軌類進(jìn)行的分割， 每個類中

18、元素個數(shù)不一定相同。 而按子群的陪集對群進(jìn)行的分割， 每個陪集元素的個數(shù)是相同的。 按類和按陪集分割群， 是分割群的兩種重要方式。定理 1.4 有限群每類元素的個數(shù)等于群階的因子。證明 設(shè)G是 n 階有限群，g 是 G 的任一個元素，看g 類元素的個數(shù)。作G 的子群H g ，H g hG hgh1g,H g 由G中所有與g 對易的元素h 組成，即hggh 。對于g1 , g2G, g1 , g2Hg，如果g1 gg11g 2 gg 21 ，則g1, g2 必屬于H g的同一左陪集g1Hg。因為按定義，g1g1 Hg。由g1 gg 11g2 gg 21可得( g1 1 g2 ) g( g1 1

19、g2 ) 1g ，故 g1 1 g2 H g , g 2 g1 H g 。反 之 ， 如 果 g1 , g 2 屬 于 H g 的 同 一 左 陪 集 g1 H g ， 必 有 g2g1h, h H g 。 于 是 有g(shù)2 gg 21g1 hgh 1 g11g1 gg11因此 g類中元素的個數(shù)，等于群G 按 H g 分割陪集的個數(shù)，也就是群G 的階的因子。G的階g 類元素個數(shù)= H g的階定義 1.7設(shè) H 和 K 是群 G 的兩個子群，若有 gG ，使K gHg 1 k ghg 1 hH ，則稱 H 是 K 的共軛子群。由共軛關(guān)系的對稱性和傳遞性，知共軛子群也有對稱性和傳遞性。即若H是K的共

20、軛子群，則 K 也是 H 的共軛子群。若H1 和 H 2是 K 的共軛子群，則H1和 H2 也互為共軛子群。 G 的全部子群可分割為共軛子群類。定義 1.8設(shè) H 是 G 的子群，若對任意 gG ,hH ，有 gh g1H 。即如果 H 包含元素 h ，則它將包含所有與h 同類的元素，我們稱H 是 G 的不變子群。定理 1.5設(shè) H 是 G 的不變子群，對任一固定元素f G ，在 h取遍 H 的所有群元時，乘積 fh f1 一次并且僅僅一次給出H 的所有元素。證明 首 先 證 明 H 的 任 意 元 素 h 具 有 fh f1的形式。因為 H 是不變子群，故f 1h fH ，令 f 1 h f

21、h ，則 hfh f 1 。而且當(dāng) hh 時， fh f 1fh f1 ，否則必引起矛盾。因此當(dāng)h取遍所有可能的 H 元素時， fhf1 一次并且僅僅一次給出H 的所有元素。例 11 以加法作為群的乘法時，整數(shù)加法群是實數(shù)加法群的不變子群。實事上，阿貝爾群的所有子群都是不變子群。不變子群的左陪集和右陪集是重合的。因為對 G 的不變子群 H ，由 gG , gH ，生成 H 的左陪集 gH gh hH 和右陪集 Hg h g hH 而由H 是 G 的不變子群知g 1 h gH。由下式可以看出左陪集的元素g( g1hg)也是右陪集的元素。g( g1 hg )h gHg故 H 的左右陪集重合。因此對

22、不變子群，就不再區(qū)分左陪集和右陪集，只說不變子群的陪集就夠了。設(shè) H 是 G 的不變子群?？紤]沒有公共元素的H 的陪集串， H , g1H , g2 H , , gi H , , ，假定陪集串窮盡了群G ，兩個陪集 g i H 和 g j H 中元素的乘積。必屬于另一陪集。因gh gh ggg1 h ghgigh hgghgh g Hijijjjjijkk其中hg j 1h g j ,hh h , gkg i g j定義 1.9 設(shè)群 G 不變子群 H 生成的陪集串為H , g1 H , g2 H , gi H , ，把其中每一個陪集看成一個新的元素，并由兩個陪集中元素相乘的另一個陪集的元素，

23、定義新的元素間的乘法規(guī)則，即陪集串新元素Hf0g1Hf1g 2 Hf 2g iHf i乘法規(guī)則gi hg j hg k hfif jfk這樣得到的群 f 0 ,f1 , f 2 , f i ,，稱為不變子群H的商群，記為G H 。不變子群H對應(yīng)商群G H的單位元素f0 ，每一個陪集gi H對應(yīng)商群 G H 的一個元素f i 。陪集gi H和陪 集 g j H 的 乘 積 對 應(yīng)f i 和f j 的 乘 積 。 事 實 上 ， 群 f0 , f 1, f 2 , fi , 和 群 H , g1 H , g2 H , gi H , 同構(gòu)，它們都可以作為商群G H 的定義。例 12 D 3 群的元素

24、可以分為三類，即c 類 e ， d 類 d, f ， a 類 a, b, c 。恒等轉(zhuǎn)動 e自成一類，繞z 軸轉(zhuǎn) 23 和 43 是一類，繞角等分線轉(zhuǎn)角是一類。因此 D 3 的子群H 1 e, a, H 2 e,b, H 3 e, c ，是互為共軛的子群， H 4 e, d, f 是不變子群。 H 4的陪集串和商群D 3 H 4 的元素間有以下對應(yīng)H 4 e, d , f f 0, aH4 a, b, cf1故商群D 3H 4是二階循環(huán)群Z 2 。1.4 群的同構(gòu)與同態(tài)定義 1.10 若從群 G 到群 F 上，存在一個一一對應(yīng)的滿映射，而且保持群的基本運算規(guī)律（乘法） 不變；即群 G 中兩個元

25、素乘積的映射，等于兩元素映射的乘積，則稱群 G 和群 F 同構(gòu)，記為 GF 。映射稱為同構(gòu)映射。同構(gòu)映射可由圖1.2 表示：其中: GFgif ig jf jgi g jfif j同構(gòu)映射，把G 的單位元素g 0 映為F的單位元素f 0 ，因?qū)θ我鈌iG,: g if i 。設(shè): g0f 0 ，則有: g0 gigi g0gif 0 f ifif 0fi故 f0f0 ,f 0 必為F的單位元素f 0 。同構(gòu)映射，還把G 的互逆元素gi , gi1 映為的互逆元素f j , f j1 。由于同構(gòu)映射是一一滿映射，故逆映射1 恒存在，1 把 F映為G ，而且1 保持群的乘法規(guī)律不變，即1fig i

26、f jg jf i f jg i g j所以當(dāng)群 G 和群 F 同構(gòu)，必有群 F 與群 G 同構(gòu)， FG 。兩個同構(gòu)的群， 不僅群的元素間有一一對應(yīng)關(guān)系，而且他們所滿足的乘法規(guī)律間也有一一對應(yīng)關(guān)系。 因此從數(shù)學(xué)角度看， 兩個同構(gòu)的群具有完全相同的群結(jié)構(gòu)。作為抽象的群來說，兩個同構(gòu)的群本質(zhì)上沒有任何區(qū)別。例 13空間反演群E, I和二階循環(huán)群Z 2,a2ae 同構(gòu)。例 14三階對稱群S3 和正三角形對稱群D3 同構(gòu)。例15 群 G 的兩個互為共軛的子群H和 K是同構(gòu)的。因為存在gG ，使hH與kK有一一對應(yīng)關(guān)系，hgk g1 , kg 1h g以上各個同構(gòu)的群，有完全相同的乘法表。因此作為抽象的

27、數(shù)學(xué)群來說，它們是一樣的。當(dāng)然，對同一抽象群， 當(dāng)它用于不同的物理或幾何問題時，它將代表不同的物理或幾何意義。這和初等數(shù)學(xué)中2+3=5 可以代表不同對象相加是同樣的。定義 1.11 設(shè)存在一個從群G 到群 F 上的滿映射，保持群的基本規(guī)律（乘法）不變；即 G 中兩個元素乘積的映射，等于兩個元素映射的乘積，則稱群G 與群 F 同態(tài)，記為GF。映射稱為從G 到 F上的同態(tài)映射。圖 1.3 表示從其中: GG 到FF上的同態(tài)映射:gif ig jfjgi g jfif j也有定義從群G 到群 F 中的同態(tài)映射映射。以后如不特別說明，我們說同態(tài)，是指從群，這時保持群的乘法規(guī)律不變，G 到群 F 上的同

28、態(tài)。但并不是滿一般說， 同態(tài)映射并不是一一對應(yīng)的。即對群F中的一個元素f i ， G 中可能不止一個元素g i , gi , 與之對應(yīng)。因此群G 與群F同態(tài)，并不一定有群F與群G 同態(tài)。群 F同構(gòu)是一種特殊的同態(tài)，即當(dāng)同態(tài)映射同構(gòu)，則 G 必與 F 同態(tài)。反之，若群是一一映射時， 同態(tài)就是同構(gòu)。 因此若群G 與群 F 同態(tài)， G 與 F 不一定同構(gòu)。G與任何群G 與只有單位元素的群Z1 e同態(tài)。這種同態(tài)是顯然的，一般不考慮這種同態(tài)。定義1.12設(shè)群G與群F同態(tài)，G 中與F的單位元素f 0 對應(yīng)的元素集合H h ，稱為同態(tài)核。定理1.6 （同態(tài)核定理）設(shè)群G 與群F同態(tài)，則有（1）同態(tài)核H 是

29、G 的不變子群；（2）商群G H與F同構(gòu)。同態(tài)核定理可以用圖1.4 表示。證明 先證明同態(tài)核H 是 G 的子群。對任意 h , hH ，有 : hf 0 , hf0 ,h hf 0故 h hH 。因此同態(tài)核中二元素h hf 0 ，的乘積仍在H 中。而且由于同態(tài)映射把單位元素映為單位元素， 故 H 含有 G 的單位元素 g 0 ，因設(shè): g0f0 ，則對任意 g iG ，有: gif i,g0 g ig i g0gif0 f if i f0f i ,f0f 0于是，如果 hH ，必有 h1H 。否則，設(shè) h 1H ，: h 1f 0f0而又有: h1hg 0f 0 f 0f 0這不可能，因此若h

30、屬于 H ，必有 h1 屬于 H 。這就證明了H 是G的子群。再證同態(tài)核 H 是 G 的不變子群。對 hH ，與 h同類的元素為 gi h gi1， g是群 G 的任意元素。同態(tài)映射有以下作用。: gif i , gi1f i1 ,gi h gi1f i f 0 f i1f0故所有與 h同類的元素 g i hgi1H 。H是G的不變子群。最后證明商群G H與F同構(gòu)。包括H的陪集串，H h , g1H g1h, giH gi h ,是商群 G H 的元素。因為同態(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變， 故只要證明陪集串的元素與F 的元素有一一對應(yīng)， 就證明了 G H 與 F同構(gòu)。首 先 ， H 的 一 個

31、陪 集 gi H gi h 對 應(yīng) F 的 一 個 元 素 ， 設(shè) : gifi ， 則: gi hfi，對任意 hH 。其次 H 的不同陪集 gi H , g jH ，對應(yīng) F 中的不同元素，因為 giH 和 g jH 不同，由陪集定理可知，它們沒有公共元素。設(shè): gifi , g jf j ，假設(shè) f if j: gi haf i f0f i ,，則fi1 f j f 0f 0gi 1 g j h得到 gi1 g j hH ， gi H 和 g j H 重合。這與假設(shè)矛盾，故f if j因此 H 的陪集與 F 的元素有一一對應(yīng)關(guān)系，商群G H 與 F 同構(gòu)。定理證畢。從圖 1.4可以看到，

32、如群G 與群 F 同態(tài)，同態(tài)映射為。 G 中對應(yīng) F 單位元素 f 0 的元素集合 h 是 G 的一個不變子群H 。 H 陪集串中的每一個陪集gi H ，唯一地對應(yīng) F 中的一個元素 fi。 F 中的一個元素f i 也唯一地對應(yīng) H 的一個陪集 gi H 。已知各個陪集中元素數(shù)目相同，故G 中與 F 的每一個元素對應(yīng)的元素數(shù)目是相同的。同態(tài)核定理， 說明同態(tài)映射保持群的乘法規(guī)律不變，它是關(guān)于同態(tài)性質(zhì)的重要定理。在處理各種群的問題中，我們會經(jīng)常用到它。例16 D3群與二階循環(huán)群Z2 同態(tài)。同態(tài)核是不變子群 H e,d , f ， 陪 集 是aH a,b, c 。圖 1.5 表示這個同態(tài)映射。定義

33、 1.13 群 G 到自身的同構(gòu)映射v ，稱為 G 的自同構(gòu)映射 v : GG 。即 對 任 意 gG 。 有 v( g) gG ,而且保持群的乘法規(guī)律不變，v( gg ) v( g)v( g ) 。故自同構(gòu)映射v 總是把群 G 的單位元素 g0 映為 g0 ，把互逆元素g 和 g 1 映為互逆元素 g 和 g 1 。定義1.14 定義兩個自同構(gòu)v1 和 v2 的乘積 v1v2 ，為先實行自同構(gòu)映射 v2，再實行自同構(gòu)映射 v1 。 恒等映射 v0 對應(yīng)單位元素。每個自同構(gòu)映射v 有逆 v1存在。于是群 G 的所有自同構(gòu)映射 v 構(gòu)成一個群，稱為群 G 的自同構(gòu)群，記為A(G ) 或 Aut(

34、G ) 。 A(G ) 的子群也稱為 G 的一個自同構(gòu)群。如果群 G 的自同構(gòu)映射，是由 uG 引起，即對任意 gG ，有( g ) ug u 1則稱是 G 的內(nèi)自同構(gòu)映射。與定義自同構(gòu)的乘法一樣，可以定義內(nèi)自同構(gòu)的乘法。于是群G 的所有內(nèi)自同構(gòu)構(gòu)成一個群，稱為群G 的內(nèi)自同構(gòu)群，記為I (G) 或 In (G ) 。內(nèi)自同構(gòu)群 I (G ) 是自同構(gòu)群A(G) 的一個子群，而且是A(G ) 的不變子群。因為對任意I (G) ，與同類的元素為v v 1 ，其中 vA(G) ，設(shè) v 1 ( g )g ，則vv 1 (g)v (g )vug u1v(u)v( g )v(u 1 ) v(u) g

35、v(u 1 )vg v 1I (G)其中 vv(u)G ，故 I (G) 是 A(G) 的不變子群。例 17三階循環(huán)群 Z3 e, a, a2 的自同構(gòu)群 A(Z3 ) 有兩個元素，v0: e, a, a2 e, a, a2 ,v : e, a, a2 e, a 2 , a,故 A(Z 3 ) v0 ,v 與 Z2 同構(gòu)。顯然A( Z3 ) 不是內(nèi)自同構(gòu)群。例 18 三階對稱群 S3 有以下的內(nèi)自同構(gòu)映射：0 (g )g , 1 ( g ) (1 2)g (1 2), 2 (g ) (13) g (1 3), 3 ( g ) ( 2 3) g (2 3)4 (g )(1 2 3) g (13

36、2),5 ( g)(1 32) g(12 3)因此 S3 群的內(nèi)自同構(gòu)群為I(S3) 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 內(nèi)自同構(gòu)群 I (S3 ) 的子群 0, 1,0 ,2, 0 ,3, 0 ,4 ,5 ，也都是 S3 的內(nèi)自同構(gòu)群?？傊?， 同構(gòu)的群作為抽象的數(shù)學(xué)群來說，是相同的。群的同態(tài)映射，是保持群結(jié)構(gòu)的一種映射，是常用的重要概念。1.5 變換群前面所討論的都只涉及到抽象群。 而將群論用于物理對稱性的研究時， 常常借助變換群來研究被變換對象和變換群之間的關(guān)系。 因此變換群提供了把群論用到幾何和物理問題中的重要途徑。變換與變換群又稱為置換與置換群。對置換群的討論應(yīng)包括被變換對象和變換群兩部分。設(shè)被變換對象X 由元素 x, y, z,組成，它是一個非空的集合，X x, y, z,。X 上的置換 f 是