一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法6頁

1、一次函數(shù)應(yīng)用題的解題方法一.使用直譯法求解一次函數(shù)應(yīng)用題所謂直譯法就是將題中的關(guān)鍵語句“譯”成代數(shù)式，然后找出函數(shù)關(guān)系、列出一次函數(shù)解析式，從而解決問題的方法。例題1東風(fēng)商場文具部的某種毛筆每支售價(jià)25元，書法練習(xí)本每本售價(jià)5元。該商場為促銷制定了甲、乙兩種優(yōu)惠辦法。甲：買1支毛筆就贈送1本書法練習(xí)本；乙：按購買金額打9折付款。某校書法興趣小組打算購買這種毛筆10支，這種書法練習(xí)本x(x=10)本。（1）分別寫出按甲、乙兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲（元）、y乙（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）比較購買不同數(shù)量的書法練習(xí)本時(shí)，按哪種優(yōu)惠辦法付款最省錢。（3）如果商場允許既可以選擇一種優(yōu)惠辦法購買

2、，也可以用兩種優(yōu)惠辦法購買，請你就購買這種毛筆10支和這種書法練習(xí)本60本設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案。分析：只需根據(jù)題意，按要求將文字語言翻譯成符號語言，再列出一次函數(shù)關(guān)系式即可。解：（1）y甲=1025+5（x-10）=5x+200（x=10）y乙=10250.9+50.9x=4.5x+225（x=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25若y甲-y乙=0 解得x=50若y甲-y乙0 解得x50若y甲-y乙0 解得x50當(dāng)購買50本書法練習(xí)本時(shí)，按兩種優(yōu)惠辦法購買實(shí)際付款一樣多，即可任選一種優(yōu)惠辦法付款；當(dāng)購買本數(shù)不小于10且小于50時(shí)，選擇甲種優(yōu)惠辦法付款省錢；當(dāng)購買本數(shù)大于50時(shí)，

3、選擇乙種優(yōu)惠辦法付款省錢。（3）設(shè)按甲種優(yōu)惠辦法購買a(0=a=10)支毛筆，則獲贈a本書法練習(xí)本。則需要按乙種優(yōu)惠辦法購買10-a支毛筆和(60-a)支書法練習(xí)本。總費(fèi)用為y=25a+250.9（10-a）+50.9（60-a）=495-2a。故當(dāng)a最大（為10）時(shí)，y最小。所以先按甲種優(yōu)惠辦法購買10支毛筆得到10本書法練習(xí)本，再按乙種優(yōu)惠辦法購買50本書法練習(xí)本，這樣的購買方案最省錢。說明：本題屬于“計(jì)算、比較、擇優(yōu)”型，它運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、不等式等知識，解決了最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)問題。二.使用列表法求解一次函數(shù)應(yīng)用題列表法就是將題目中的各個(gè)量列成一個(gè)表格，從而理順?biāo)鼈冎g的數(shù)量關(guān)系，以便

4、于從中找到函數(shù)關(guān)系的解題方法。例題2某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知：生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9kg、乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需用甲種原料4kg、乙種原料10kg，可獲利潤1200元。（1）若安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，共有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來。（2）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲得的總利潤是y元，其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中的哪種生產(chǎn)方案可以獲得最大總利潤。最大的總利潤是多少？分析：本題中共出現(xiàn)了9個(gè)數(shù)據(jù)，其中涉及甲、乙兩種原料的質(zhì)量，生產(chǎn)A

5、、B兩種產(chǎn)品的總件數(shù)及兩種產(chǎn)品所獲得的利潤等。為了清楚地整理題目所涉及的各種信息，我們可采用列表法。解：（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是（50-x）件產(chǎn)品每件產(chǎn)品需要甲種原料（kg）每件產(chǎn)品需要乙種原料（kg）每件產(chǎn)品利潤（元）件數(shù)A93700xB410120050-x根據(jù)題意得：解不等式組，得30=X=32因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只可取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。所以，生產(chǎn)的方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。（2）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50

6、-x。由題意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）因?yàn)?5000所以y隨x的增大而減小,當(dāng)x=30時(shí)，y的值最大因此，按（1）中第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲得的總利潤最大最大的總利潤是：-50030+60000=45000（元）說明：本題是先利用不等式的知識，得到幾種生產(chǎn)方案，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳生產(chǎn)方案。三.使用圖示法求解一次函數(shù)應(yīng)用題所謂圖示法就是用圖形來表示題中的數(shù)量關(guān)系，從而觀察出函數(shù)關(guān)系的解題方法。此法對于某些一次函數(shù)問題非常有效，解題過程直觀明了。例題3.某市的C縣和D縣上個(gè)月發(fā)生水災(zāi)，急需救災(zāi)物資10t和8t。該市的A

7、縣和B縣伸出援助之手，分別募集到救災(zāi)物資12t和6t，全部贈給C縣和D縣。已知A、B兩縣運(yùn)資到C、D兩縣的每噸物資的運(yùn)費(fèi)如下表所示：A縣B縣C縣4030D縣5080（1）設(shè)B縣運(yùn)到C縣的救災(zāi)物資為xt，求總運(yùn)費(fèi)w（元）關(guān)于x（t）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；（2）求最低總運(yùn)費(fèi)，并說明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案。分析:本題的信息量大，數(shù)據(jù)也較多，為梳理各個(gè)量之間的關(guān)系，我們可以采用如下的圖示整理信息。解：（1） w=30x+80(6-x)+40(10-x)+5012-(10-x)=-40x+980 自變量x的取值范圍是：0=x=6（2）由（1）可知，總運(yùn)費(fèi)w隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=6時(shí)，總

8、運(yùn)費(fèi)最低。最低總運(yùn)費(fèi)為-406+980=740（元）。此時(shí)的運(yùn)送方案是：把B縣的6t全部運(yùn)到C縣，再從A縣運(yùn)4t到C縣，A縣余下的8t全部運(yùn)到D縣。說明：本題運(yùn)用函數(shù)思想得出了總運(yùn)費(fèi)w與x的一次函數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)應(yīng)用題專題訓(xùn)練1一輛快車從甲地駛往乙地，一輛慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.設(shè)行駛的時(shí)間為x(時(shí))，兩車之間的距離為y(千米)，圖中的折線表示從兩車出發(fā)至快車到達(dá)乙地過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系（1）根據(jù)圖中信息，求線段AB所在直線的函數(shù)解析式和甲乙兩地之間的距離；（2）已知兩車相遇時(shí)快車比慢車多行駛40千米，若快車從甲地到達(dá)乙地所需時(shí)間為t時(shí)，求t的值；（3）若快車到達(dá)乙地

9、后立刻返回甲地，慢車到達(dá)甲地后停止行駛，請你在圖中畫出快車從乙地返回到甲地過程中y關(guān)于x的函數(shù)的大致圖像. (溫馨提示：請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上)2春節(jié)期間，某客運(yùn)站旅客流量不斷增大，旅客往往需要長時(shí)間排隊(duì)等候購票經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時(shí)，約有400人排隊(duì)購票，同時(shí)又有新的旅客不斷進(jìn)入售票廳排隊(duì)等候購票售票時(shí)售票廳每分鐘新增購票人數(shù)4人，每分鐘每個(gè)售票窗口出售的票數(shù)3張某一天售票廳排隊(duì)等候購票的人數(shù)y（人）與售票時(shí)間x（分鐘）的關(guān)系如圖所示，已知售票的前a分鐘只開放了兩個(gè)售票窗口（規(guī)定每人只購一張票）（1）求a的值（2）求售票到第60分鐘時(shí)，售票聽排隊(duì)等候購票的旅客人數(shù)（3）若要在開始售票后

10、半小時(shí)內(nèi)讓所有的排隊(duì)的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客隨到隨購，至少需要同時(shí)開放幾個(gè)售票窗口？3.在一條直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為、（km），、與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（1）填空：A、C兩港口間的距離為 km， ；（2）求圖中點(diǎn)P的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；（3）若兩船的距離不超過10 km時(shí)能夠相互望見，求甲、乙兩船可以相互望見時(shí)x的取值范圍Oy/km9030a0.53P甲乙x/h4.一家蔬菜公司收購到某種綠色蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后進(jìn)行銷售，銷售后獲利的情況如

11、下表所示：銷售方式粗加工后銷售精加工后銷售每噸獲利（元）10002000已知該公司的加工能力是：每天能精加工5噸或粗加工15噸，但兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行.受季節(jié)等條件的限制，公司必須在一定時(shí)間內(nèi)將這批蔬菜全部加工后銷售完.如果要求12天剛好加工完140噸蔬菜，則公司應(yīng)安排幾天精加工，幾天粗加工？如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工.試求出銷售利潤W元與精加工的蔬菜噸數(shù)m之間的函數(shù)關(guān)系式；若要求在不超過10天的時(shí)間內(nèi)，將140噸蔬菜全部加工完后進(jìn)行銷售，則加工這批蔬菜最多可獲得多少利潤？此時(shí)如何分配加工時(shí)間？5.某物流公司的甲、乙兩輛貨車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，途徑配貨站

12、C，甲車先到達(dá)C地，并在C地用1小時(shí)配貨，然后按原速度開往B地，乙車從B地直達(dá)A地，圖16是甲、乙兩車間的距離（千米）與乙車出發(fā)（時(shí)）的函數(shù)的部分圖像（1）A、B兩地的距離是 千米，甲車出發(fā) 小時(shí)到達(dá)C地；（2）求乙車出發(fā)2小時(shí)后直至到達(dá)A地的過程中，與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍，并在圖16中補(bǔ)全函數(shù)圖像；（3）乙車出發(fā)多長時(shí)間，兩車相距150千米 1.52300x（時(shí)）Oy（千米）306張師傅駕車運(yùn)送荔枝到某地出售，汽車出發(fā)前油箱有油50升，行駛?cè)舾尚r(shí)后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量(升)與行駛時(shí)間(小時(shí))之間的關(guān)系如圖所示請根據(jù)圖象回答下列問題：（1）汽車行駛 小時(shí)后加油，中途加

13、油 升； （2）求加油前油箱剩余油量與行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式； （3）已知加油前、后汽車都以70千米/小時(shí)勻速行駛，如果加油站距目的地210千米，要到達(dá)目的地，問油箱中的油是否夠用？請說明理由 7.某學(xué)校組織340名師生進(jìn)行長途考察活動，帶有行李170件，計(jì)劃租用甲、乙兩種型號的汽車10輛經(jīng)了解，甲車每輛最多能載40人和16件行李，乙車每輛最多能載30人和20件行李（1）請你幫助學(xué)校設(shè)計(jì)所有可行的租車方案；（2）如果甲車的租金為每輛2000元，乙車的租金為每輛1800元，問哪種可行方案使租車費(fèi)用最??？8自2010年6月1日起我省開始實(shí)施家電以舊換新政策，消費(fèi)者在購買政策限定的新家電時(shí)，每臺新家電用一臺同類的舊家電換取一定數(shù)額的補(bǔ)貼.為確保商家利潤不受損失，補(bǔ)貼部分由政府提供，其中三種家電的補(bǔ)貼方式如下表:補(bǔ)貼額度新家電銷售價(jià)格的10%說明：電視補(bǔ)貼的金額最多不超過400元/臺； 洗衣機(jī)補(bǔ)貼的金額最多不超過250元/臺；冰箱補(bǔ)貼的金額最多不超過300元/臺.為此，某商場家電部準(zhǔn)備購進(jìn)電視、洗衣機(jī)、冰箱共100