高等數(shù)學(xué)課件：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課

1、求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課1. 導(dǎo)數(shù)與微分的概念導(dǎo)數(shù)與微分的概念(1) 導(dǎo)數(shù)與微分的導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)各是什么？它們的關(guān)系及區(qū)別是什么？各是什么？它們的關(guān)系及區(qū)別是什么？數(shù)數(shù)：導(dǎo)導(dǎo)的的在在點(diǎn)點(diǎn)0 0 xxfy)( 的的微微分分：在在點(diǎn)點(diǎn)0 0 xxfy)( xyxfx 00lim)(. )(d0yxxfy 它們的區(qū)別：它們的區(qū)別：從從 x , y的比值出發(fā)得導(dǎo)數(shù)概念；的比值出發(fā)得導(dǎo)數(shù)概念；從從 y的近似值出發(fā)得微分概念。的近似

2、值出發(fā)得微分概念。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)平均變化率的極限。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)平均變化率的極限。微分是函數(shù)的局部線性化。微分是函數(shù)的局部線性化。它們的關(guān)系：它們的關(guān)系： 函數(shù)在函數(shù)在 x 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)在 x 點(diǎn)可微點(diǎn)可微.1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 000( )()limxxf xf xxx 0()fx dydx00()( )limlim.xxyf xxf xyxx 一、主要內(nèi)容2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(l

3、im)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxx

4、xxxx arc3 3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是常數(shù)是常數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則1( )( ),( ).( )xyyf xfxy 如如果果的的反反函函(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程

5、兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則 yx | x |y 例例求求 0 0 0 0 22xxxxxy解

6、解：；當(dāng)當(dāng) 2 ,0 xyx 用定義用定義.寫成分段函數(shù)再求導(dǎo)寫成分段函數(shù)再求導(dǎo).0, x當(dāng)當(dāng) yx|xxx|lim0 xyx2 0, 當(dāng)當(dāng) )0()(lim(0)0 xfxffx 0|lim0 |xx 0 20 0 0 2 xxxxx含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)怎么求導(dǎo)？含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)怎么求導(dǎo)？在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？在分段點(diǎn)處怎么求導(dǎo)？.分段函數(shù)的求導(dǎo)分段函數(shù)的求導(dǎo)4 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作

7、記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))高階導(dǎo)數(shù)的求法1 1. .由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù). 2. 2. 求出求出1-3或或4階后階后, 分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)3.利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則運(yùn)算，通過四則運(yùn)算， 變量代換等方法變量代換等方法, 求求n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)

8、數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnxnnnnaxaxaxay 1110o 1! 0)(nayn 0)2()1( nnyy高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(

9、!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式5、微分的定義微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫

10、做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )6 6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(2

11、21 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式的不變性的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx dxxfdy)( 二、典型例題例例1 1).0(),100

12、()2)(1()(fxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 3.,45202 tdxdyt ttyttx求求設(shè)設(shè)解解分析分析:,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt ,0不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dtdydtdxt 不能用公式求導(dǎo)不能用公式求導(dǎo).tttttxytx

13、 24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt . 0 . 00 tdxdy故故.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所確定所確定由方程由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 例例4 4解解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(, )2()(xfxxxxf 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解先去掉絕對(duì)值先去掉絕對(duì)值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x

14、, 0)0()0( ff; 0)0( f,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;43)(2xxxf ,02時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) xx;43)(2xxxf ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或.,114)(22nyxxy求求設(shè)設(shè) 例例6 6解xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()1

15、1(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny 1.填空題001( )( )f xxf xx （）在 點(diǎn)可導(dǎo)是在（）在 點(diǎn)可導(dǎo)是在充分充分點(diǎn)連續(xù)的 條件;點(diǎn)連續(xù)的 條件;002( )( )f xxf xx （ ）在 點(diǎn)可導(dǎo)是在（ ）在 點(diǎn)可導(dǎo)是在充要充要點(diǎn)可微的 條件;點(diǎn)可微的 條件;3( )sine(0);xyf xxyyy （ ）設(shè)由=0所確定，則 （ ）設(shè)由=0所確定，則 sinesincosee0,sine0(0)0,(0)xxxxxyyxyxy yyyxyyxyy（將=0兩邊對(duì) 求導(dǎo)得（將=0兩邊對(duì) 求導(dǎo)得 又在=0中令得代又在=0中令得代 入上式

16、,解得0.）入上式,解得0.）004( )()5,();f xfxfx （ ）若為可導(dǎo)的奇函數(shù),且則 （ ）若為可導(dǎo)的奇函數(shù),且則 5 5 ( )fx（為（為 偶函數(shù).)偶函數(shù).)0 0 2sin1 (5)0,d_d.xxxx設(shè)則設(shè)則2sin cosxxxx 2243sincos2 sincos2sin dddcos2sin1d.xxxxxxxxxxxxxxxxxx 2221sin1111 ddsin2 sincosd2sincos1112 sincosdd.txxttttttttxxxxttttxx或或20(1cos )6( )0(0)0,lim tan ;xfxf xxfx （ ）設(shè)設(shè)在在

17、處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且則則220001 cos(1 cos )(1 cos )(0)1 coslimlim1 costan( )(0)11lim(0).)22xxttxfxfxfxxxxf tfft （1(0)2f (1)(1)(1)(1)(21)(21)(23)0(0)(1)(0)0, (0)(1)(0),2(0)(2 )(21)(0) (2 )(21)(22)(23)(0) nnnnkkkxfn nffn nfnkfkkfkkkkf 令得 令得 即 即 取得 取得 ( 1) (2 )!(0) ( 1) (2 )!.kkkfk 222(1)( )(1)1( )(1)( )1,(0)1.Lei

18、bniz1(1)( )2( )2( )0.2nnnfxxfxfxn nxfxnxfxfx（且利用公（且利用公式得 (1)式得 (1) (21)7( )arctan ,(0)_.Nkf xx kf （ ）設(shè)設(shè)則則 ( 1) (2 )!kk 2.選擇填空0001( )()( )2dyxf xfxf xxy (1)(1)設(shè),若,則當(dāng)時(shí),在點(diǎn)設(shè),若,則當(dāng)時(shí),在點(diǎn)處的微分是 .處的微分是 . ; ; (A)(B)(C)(D)xxxx與等價(jià)的無窮小與同階但不等價(jià)的無窮小與等價(jià)的無窮小與同階但不等價(jià)的無窮小比低階的無窮小比高階的無窮小.比低階的無窮小比高階的無窮小.00()d1()01,.2fxxyfxxx

19、或同階而不等價(jià)或同階而不等價(jià)B22222223422 2ee1 ,632ee211 e ,3618e.48ttttttttttyyyxxtttyyyttxxxtxtyx 2 22 2d dd dddddd dddddd dd dd dB22232, (2)2 .e1 txtytxy2 2d d函數(shù)當(dāng)時(shí)函數(shù)當(dāng)時(shí)d d4444eeee(A); (B); (C); (D).448624 (3)( ) ( )( )N af xf xxa設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,則則在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)的的一一個(gè)個(gè)充充分分條條件件是是 . .0(2 )()1(A) lim( ); (B)lim; hhf ahf ahh

20、 f af ahh存在存在存在存在00()()( )()(C)lim; (D)lim. 2hhf ahf ahf af ahhh存在存在存在存在000( )()()( ) limlim()( ) lim,( ).hhxf af ahf ahf ahhf axf axfa 存在存在存在存在D1, 0,:(A)( );( )00, 0,xfaf xxx注只保證存在 對(duì)于在處不可導(dǎo),但(B)(C)都存在.注只保證存在 對(duì)于在處不可導(dǎo),但(B)(C)都存在. 要使 在 處可導(dǎo), 必須使之在 處連續(xù)，故必有于是2ln 1(1 0)(1),; 00afaf1x 1x ( )f x(1)ln , 1,( )

21、e1,1.b xxxf xx(1)11111( )(1)e1 0(1)limlim,11.( )(1)ln01 (1)limlimlim1,111b xxxxxxf xffbxxf xfxfxxxb 22(1)ln,1,(4)( )(, )e1,1b xxaxf xx 設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有 . .(A)0,2; (B)0,1;1(C)1,2; (D)e 1,1.eabababab 在各段內(nèi)部是初等函數(shù)，故只需討論分段點(diǎn)處的情況.B20000(1)2 (1)(1)(1)(1)(1)limlim2lim(1)2(1)(1),(1)2sinl22.imxxxxfxfxfxffxfxxx

22、ffffxxx 2(1)2 (1)2sin0(1)0.fxfxxxxf在中,令得在中,令得( )2( )22(3)(1)2.,f xfxff 因?yàn)橐?為周期，故也以 為周期，于是因?yàn)橐?為周期，故也以 為周期，于是即所求斜率為即所求斜率為2 (5)( )( )(1)2 (1)2sin,( )3 .f xf xfxfxxxyf xx設(shè)設(shè)是是可可導(dǎo)導(dǎo)且且周周期期為為2 2的的函函數(shù)數(shù), ,若若滿滿足足則則曲曲線線在在處處的的切切線線斜斜率率為為(A)0; (B)1; (C)2; (D)2.D 3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ：ddyx222(1)(1)( 1)d(1)11(1)arctan.d11111xx

23、yxxxxxxx22d (2)lntancoslntand21secsec2 2 sin lntancostantan211 sin lntansin lntan .sinsinyxxxxxxxxxxxxxxxxx11lnln22121 ln1 ln (3)ee (1 ln ).(0).xxxxxxxxxyxxxxxxx 222222ee2 1 e (4)ln(e1 e)e1 ee .1 exxxxxxxxxy 2e , d2(1) (5) 2e .d(1)e2;tttttxtyytxxtytt (6) ().coscos , sinsin ,d(sincos )sincos.d(cossin

24、 )cossinaaxaayayaxa為常數(shù)為常數(shù) 4.求下列函數(shù) 的 及 ，又 是否存在：( )f x(0)f(0)f(0)f sin , 0, (1) ( )ln(1),0;xxf xxx0000( )(0)sin0 (0)limlim1,00( )(0)ln(1) (0)limlim1,0(0)1.xxxxf xfxfxxf xfxfxxf解解2, 0, (2) ( )1sin,0.xxf xxxx002000( )(0)0 (0)limlim1,001sin( )(0) (0)limlim01 limsin0,(0).xxxxxf xfxfxxxf xfxfxxxxf解解不存在不存在2

25、2ln(1),0, 5.( )0, 0.xxxf xx設(shè)設(shè)(0)( )( ).ffxfx（1）求；（2）； （3）證明連續(xù)（1）求；（2）； （3）證明連續(xù)2002202ln(1)( )(0)(0)limlim0ln(1) 2lim2.xxxxf xfxfxxxx解（1）解（1）220( )ln(1) xfxxx（2）當(dāng)時(shí),（2）當(dāng)時(shí),2222222ln(1)1422ln(1).1xxxxxxxx 22242ln(1),0,1 ( ) 2, 0.xxxxfxx22200( )0:42lim( )limln(1)21 (0),( ). xxfxxfxxxxffx ( (3 3) )只只 需需 討

26、討 論論在在處處 的的 連連 續(xù)續(xù) 性性 處處 處處 連連 續(xù)續(xù) 6.:y求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)222 (1)cosln ;12cos ( sin )lncoscos sin2 ln,yxxyxxxxxxxx 解 解 22222cos sin2 ln2cos ( sin )cossin2 2cos2 ln2sin2cos 2cos2 ln.xyxxxxx xxxxxxxxxxxxx 2(2)(sin),yfxf其中 二次可微.其中 二次可微.2222 (sin)(sin)cos2 2 cos,yfxxfxxxx f解解222222222222 cos 2cos( sin) 2

27、 cos2 cos (2cos4sin)4cos.yxx fx fxxxfxx fxxxxxfxxf ( )(3)1,;nmyxy求求 111121( )1 1(1),11 1 (1), 111 11 (1).mmmnnmyxxmyxm mynxm mm 解解 用數(shù)學(xué)歸納法容易證明結(jié)論 是正確的.n +Z2(24)(4)(-1)e ,;xyxy求求(24)(24)21(3)2(2)24242 (e )(1)(e )2(e )2e48 e551e xxxxxxyxCxCxx2( )(6)sin,.nyxxy求求2( )( )( )( )(1)1121 cos21 sincos2,2211 cos

28、22 sin2,211cos2cos2221 (cos2 )(cos2 )211 2cos 22cos 2222 2cos 222nnnnnnnnnxyxxxxxxyxxxyxxxxxxxnxnnxxnxnxx 解解1cos 2 , (2,3,).2 nnxn 8.作變量代換 ，化簡(jiǎn)微分方程：lnxt222dde0.ddxyyyxx2222222ddddde,dd ddddddddddd ,ddddddddxyyyyttxtxttyyyyyyttttttttxttxtt 解 令 e,ln ,xtxt即即( )( ).yty xyy t 將將化化為為以以 為為自自變變量量的的函函數(shù)數(shù)代入微分方程

29、得222222dddd 0,0.dddd yyyytttt yytttt即即 9.設(shè) 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試證:函數(shù) 在 點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是( )f x( )( )(1sin)xf xx0 x (0)0.f000(0)(1sin0)(0).( )(0)( )(1 sin )(0)(0)limlim00( )(0)sin lim( )(0)(0);0 xxxffxf xxfxxf xfxf xffxx- - 證 (0)證 (0)000( )(0)( )(1 sin )(0)(0)limlim00( )(0)sin lim( )(0)(0).0 xxxxf xxfxxf xfxf xffxx+ +

30、:(0)(0)(0), (0)(0)(0)(0),(0)0.fffff-+-+若存在,則即若存在,則即 :(0)0(0)(0) (0), (0)(0)fff-+-+若,則若,則存在.存在. 注:含有絕對(duì)值的函數(shù),一般要按分段函數(shù)處理!(1)什什么么下下列列各各式式表表示示意意義義？)(0 xf )(0 xf )0(0 xf)0(0 xf. )( lim . )(lim .)()(lim . )()(lim .00000000 xfdxfcxxxfxfbxxxfxfaxxxxxxxx可可導(dǎo)導(dǎo)的的充充要要條條件件是是在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxf).()(00 xfxf .思考題(2) 一元函數(shù)一元函數(shù) y

31、 = f ( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x = a處：處： a. 有定義有定義 b. 有極限有極限 c. 連續(xù)連續(xù) d. 可導(dǎo)可導(dǎo) e. 可微可微等五個(gè)命題之間有什么關(guān)系？等五個(gè)命題之間有什么關(guān)系？ 將它們的序號(hào)填入空格：將它們的序號(hào)填入空格：。decab.). ( )()3(lim31)( .). ( )()(lim)( .). ( )()(lim)( .000000000000hxfhxfxfghxfhxfxffhxfhxfxfehhh .(3)判斷是非判斷是非( (是：是： 非：非： ) )： ：可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)已已知知0 0 xxfy)( 課下練習(xí)課下練習(xí) 1.1.選擇題選擇題.)D( .)C(

32、 .B)( .)A( ). (| )(| )( )4(.| )D( . )C( . 1 )B( . 1 )A( ). ( )( 0|,|)()3(.2cos411 )D( .cos21)C( .2cos41)B( .sin21)A( .2sin21 ) ( )2(.)D( .)C( .)B( .)A( ). ( 0 0 e0 )( )1(0022不不連連續(xù)續(xù)一一定定不不可可導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)但但不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)必必可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在若若不不存存在在為為點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)等等于于下下列列函函數(shù)數(shù)中中連連續(xù)續(xù)不不可可導(dǎo)導(dǎo)可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)處處在在函函數(shù)數(shù)xxf

33、xxfxxxfxxxfxxxxxxxxxxxfx ABCACDDB ._d),e ()( )6(._ ,ln)5(._ 124 ,2 )4()1(d) ()11(lnd )3(._)0( |,|)()2(._ |ln (1)(2322 yfyufyxytytxtxxfxxxfxxn則則可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且若若則則為為上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程曲線曲線時(shí)時(shí)在在則則2.填空填空(9(9題題) )x1 .0211 x .01932 yxnnxn )!1(1)( 1.xfxxde )e ( . dd yx則則 單單調(diào)調(diào)且且二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，設(shè)設(shè) )(xfy (9) 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是可導(dǎo)的偶函

34、數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_函數(shù)；函數(shù)； 而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_函數(shù)。函數(shù)。 因?yàn)橐驗(yàn)?點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在( (8 8) )設(shè)設(shè)0 )(xxf._)()(lim00 hhxfhxf0h dd 22 yx(7)奇奇)(20 xf 。偶偶2.填空填空(9(9題題) ) )(1xf 3)()(xfxf 。 3. 計(jì)算題計(jì)算題 . )( .)(,1)(5). )e( ,)(ln(4). ,11cos(3). ,1ln(2). ,1)1(2e22xFCxfxxfxFyxyyxyyxxyyxxyx2 求求設(shè)設(shè)求求求求求求求求. , 1312 )8()(nyxxy求求 設(shè)設(shè) .d , )(e)e ( )7(1)(yCxf , fyxfx求求設(shè)設(shè) . )( ,0 00 sin)()6(2xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)2. 填空填空 dd1ddxyyx 22ddyx)(1xf 3)()(xfxf 2)()(xfxf.解解(7)?dd ?dd )( 22 yxyxxfy則則 單單調(diào)調(diào)且且二二階階可