3.2.4二面角及其度量

1、 一個一個平面平面內(nèi)的一條內(nèi)的一條直線直線把這個把這個平面平面分成分成兩個部分兩個部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一條一條直線直線上的一個上的一個點點把這條把這條直線直線分成兩分成兩個部分個部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射線射線。2OBAAB 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做圖形叫做二面角二面角。 這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱。這兩個半平面叫做這兩個半平面叫做二面角的面二面角的面。3定義:AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB表示方法：

2、lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一點為端點，在上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)兩個面內(nèi)分別作分別作垂直垂直于棱的兩條射線，這于棱的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角來度量二面角的大小用它的平面角來度量度量：二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi) 以二面角的以二面角的棱上任意一

3、點棱上任意一點為端點，為端點，在在兩個面內(nèi)兩個面內(nèi)分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:0,范 圍二面角的計算：二面角的計算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、證明證明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、計算出此角的大小計算出此角的大小一一“作作”二二“證證”三三“計算計算”16.如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.2練習小結(jié)：小結(jié)：1.異面直線所成角： cos|cos,| a b2.直線與

4、平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOnabanlcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA3.二面角：ll 1n 1n 2n 2n 一進一出，二面一進一出，二面角等于法向量的角等于法向量的夾角；夾角；同進同出，二面同進同出，二面角等于法向量夾角等于法向量夾角的補角。角的補角。cos12cos, n ncos12cos, n n. 在二面角在二面角-l-的一個平面的一個平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線AB，它，它與棱與棱 l 所成的角為所成的角為45，與平面，與平面所成的角為所成的角為30，則，則這個二面角的大小是這個二面角的大小是_.344或練習3、在二面角、在二

5、面角-a-內(nèi)，過內(nèi)，過a作一個半平面作一個半平面，使二面角，使二面角-a-=45，二面角，二面角-a-=30，則，則內(nèi)的任意一點內(nèi)的任意一點P到平到平面面與平面與平面的距離之比為的距離之比為 2練習二面角的求法二面角的求法(2)(2)垂線法垂線法(1)(1)垂面法垂面法(3)(3)射影法射影法垂面法垂面法(定義法定義法)定義法:根據(jù)定義,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.ABDCA1B1D1C1在正方體在正方體AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大??？的大小？OABC中中,ABBC,SA 平面平面ABC,DE垂垂直平分直平分SC,又又SA=AB,SB=BC,求二面角求二面

6、角E-BD-C的大小的大小?SABCED3垂線法垂線法(三垂線三垂線定理或逆定理定理或逆定理)垂連求角三垂線法:首先找其中一個半平面的垂線,找不到垂線找垂面(指其中一個半平面的垂面),找到垂面作垂線,構(gòu)造三垂線定理或逆定理條件得平面角. 三棱錐三棱錐P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC （1）求二面角）求二面角A-PC-B的大小的大小DEBD=DE=235815COS =43四棱錐四棱錐P-ABCD的底面是邊長為的底面是邊長為4的正方形，的正方形，PD面面ABCD，PD=6，M,N是是PB,AB的中點，的中點，求二面角求二面角M-DN-C的平面角

7、的正切值？的平面角的正切值？PDABCNMOH3 5arctan2如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABC中，面中，面PBC面面ABC，PBC是邊長為是邊長為a的正三角形，的正三角形，ACB= 90， BAC=30，BM=MC求證：求證： PB AC 二面角二面角C-PA-M的大小的大小 PMBCADF2arctan3ABCDO射影法射影法是不找平面角求二面角的一種方法:ABCAM已知：如圖已知：如圖ABC的頂點的頂點A在平面在平面M上的射上的射影為點影為點A， ABC的面積是的面積是S， ABC的的面積是面積是S，設(shè)二面角設(shè)二面角A-BC-A為為 求證：求證：COS = S SD在正方體在正方體A

8、C1中，中，E,F分別是中點分別是中點,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳二面角的大小所成的銳二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C6arccos6在正方體在正方體AC1中，中，E,F分別是中點分別是中點,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳二面角的大小所成的銳二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH過正方形過正方形ABCD的頂點的頂點A引引SA底面底面ABCD，并使平面并使平面SBC，SCD都與底面都與底面ABCD成成45度度角，角，(1)求二面角求二面角BSCD的大?。康拇笮?？(2)求求面面SCD與面與面SAB所成的

9、二面角所成的二面角ABCDSOE01200045135或一題多解：:ASD垂面法射影面積法法向量法ll三、面面角：三、面面角：二面角的范圍：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角同進同出，二面角等于法向量夾角的補角A( 0, 0, 0) ,C ( 1, 1, 0) ,1,0),D ( 0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向

10、量( 1,0,0),(0,1, 1)CDSD 2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：設(shè)平面設(shè)平面00 xyz2(0,1,1)n 任取1212122cos,2|n nn nnn 22即所求二面角得余弦值是:1 ;,SAO AB AD AS 解 設(shè)建立空間直角坐標系l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。夾角。如圖，設(shè)二面角如圖，設(shè)二面角 的大小為的大小為 ，其中其中l(wèi),ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DC

11、BA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范圍：0, 例、已知在一個二面角的棱上有兩個點例、已知在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD= =2 17cm，求二面角的度數(shù)，求二面角的度數(shù)CDAB 222222()(2 17)6482cos,CDCA AB BDCA BDCA BD 1cos,21cos,2C A BDAC BD 3E例例.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中點，的中點，當當 時，求二面角時，求二面角

12、 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(aaD), 0 , 0(1bC),0(1baB解法一解法一(方向向量）：如圖，以方向向量）：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長為。設(shè)底面三角形的邊長為a，側(cè)棱長為，側(cè)棱長為b,則則故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba則可設(shè) =1， ，則B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1

13、FE作作 于于E, 于于F，則則 即為二面角即為二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中， BCCRt121222211abBCCCEBEC12CEEB 12(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值為 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二解法二（法向量）同法一，以（法向量）同法一，以C為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系 C-xyz 在坐標平

14、面在坐標平面yoz中中 1CC B設(shè)面設(shè)面 的一個法向量為的一個法向量為 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)為面為面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值為的余弦值為

15、 CBCD122 證明：以證明：以 為正交基底，為正交基底，建立空間直角坐標系如圖。則可得建立空間直角坐標系如圖。則可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 例例. .已知正方體已知正方體 的邊長為的邊長為2 2， O為為AC和和BD的交點，的交點，M為為 的中點的中點 （1 1）求證：）

16、求證： 直線直線 面面MAC; （2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值. .1111DCBAABCD1DDOB11BMA C B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC由知 平面 B1A1 C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一個法向量1(2 0 0)(0 01)(2 2 2)AMB由， ， ， ，得1()B MAnxyz設(shè)平面的一個法向量為， ，1(2 01)(2 21)MAMB ， ， ， ，10020021-2220n MAn MBxzzxyxyz 所以，即 取 = 得 = ， =1(12 2)B MAn 所以平面的一個法向量為， ，1( 112)BO 且， ，11246cos669BOn ，166BMAC所以二面角的余弦值為。,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面與面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA- xyz解： 建立空直角坐系如所示,A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0, 1)22 CDSD2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：設(shè)平面設(shè)平面0202yxyz22