第八講特征值與特征向量方陣的相似變換[自動(dòng)保存的]

1、線性代數(shù)線性代數(shù)劉文莉劉文莉5.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量1 , ,.nnpppAApAA定義設(shè) 是 階實(shí)方陣 如果存在某數(shù) 和某個(gè) 維非零列向量 滿足則稱(chēng) 是 的一個(gè)特征值是 屬于這個(gè)特征值 的一個(gè)特征向量 0()00nnpApEA pEA.A即滿足方程的 都是矩陣 的特征值E- A =0E- A =0 App1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa求矩陣求矩陣特征值的方法：特征值的方法：求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：;det. 1AEA的特征多項(xiàng)式計(jì)算 ;,0det. 221的全部特征值就是的全部根求特征方程AAEn .

2、的特征向量就是對(duì)應(yīng)于的非零解求齊次方程組對(duì)于特征值iiixAE,0,. 3解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為A 31311 1 3 31 13)3)( ( 2 2268(4)(2). 4, 221 的特征值為的特征值為所以所以A,21xx解得.111p取為所以對(duì)應(yīng)的特征向量可 .11,221pxx取為所以對(duì)應(yīng)的特征向量可解得211224,43101 10,14301 10 xxxx 當(dāng)時(shí)由即xx 112當(dāng)= 2時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足2-310=,12-30例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣

3、 A解解. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以A2110430(2)(1)102EA1233104100100 xxx23=1,()0EA x當(dāng)時(shí)由方程得123210420=0101xxx由解方程時(shí)當(dāng). 0)2(,21xAE132231221xxxxp 得,可取特征向量11200001xxp 得,可取特征向量624232.426A【例】求矩陣的特征值和線性無(wú)關(guān)的特征向量P1331、矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值、矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；2、屬于同一特征值的特征向量的非零線性組、屬于同一特

4、征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量5.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量【例例】 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng) AA 證明證明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故mmmmAxA 可得可得由由x

5、Ax xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)A., 1111的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA練一練練一練1、 已知三階矩陣 A 的特征值為 1，1，-2 ，求以下行列式的值： 323343,2,EAAEAEA 2、 求下列方陣的特征值和線性無(wú)關(guān)的特征向量。 （1） 466353331A （2）1111111111111111A 關(guān)于特征值和特征向量的若干結(jié)論關(guān)于特征值和特征向量的若干結(jié)論.實(shí)方陣的特征值實(shí)方陣的特征值 未必是實(shí)數(shù)，特征向量也未必未必是實(shí)數(shù)，特征向量也未必是實(shí)向量。是實(shí)向量。. 三角矩陣的特征值就是它的全體對(duì)

6、角元。三角矩陣的特征值就是它的全體對(duì)角元。 3.一個(gè)特征向量不能屬于同一方陣的不同特征一個(gè)特征向量不能屬于同一方陣的不同特征值。值。 4.n階方陣和它的轉(zhuǎn)置矩陣必有相同的特征值，階方陣和它的轉(zhuǎn)置矩陣必有相同的特征值，但未必有相同的特征向量。但未必有相同的特征向量。ij ijnnn ni i12n12niiiin nnnnni=1i=1i=1i=1i=i=i i1 1設(shè)設(shè)是是n n階階方方陣陣的全體的全體特特征征值值，則則必有=tr( )必有=tr( ) , , , , ,A AaAaA = a= a= = A An n。ijtr( )為中的n個(gè)對(duì)AA = aA角元之A和,稱(chēng)為的跡為A的行列式5

7、.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量11,( )( )mmnmmmEfffppppfff為對(duì)應(yīng)的 的方陣多項(xiàng)式。如果為則必有次多(即必為 ( 的項(xiàng)特征值。式，mm-11mm-1100設(shè) 是n階方陣， (x)= a x +ax+a x+a( )=AAa A +aA+a A+aAAA)A)0( )=0.0ffff特別，當(dāng)時(shí)，必有時(shí)A的特征值必是對(duì)應(yīng)m次多項(xiàng)式的根。( )=( )(x=)AA5.1 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量223n0A,E階矩陣A滿足求的所有特征值。2A設(shè)A【例例】2212=2303B AAE【】設(shè)A，求的所有特征值。例練一練1、 設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式

8、)3()2()(kf，則 A的跡)(Atr=_ 2、三階矩陣 A 滿足0, 02, 0333AEAEAE 則_32EAA 3、設(shè) n 階矩陣 A 滿足，則 A 的特征值為_(kāi)。 4、設(shè)矩陣 A 滿足0442nEAA，求出 A 的所有特征值。 35.2 方陣的相似變換方陣的相似變換111,.,. PA BnPBAAAPBAP APABABPAB定義設(shè)都是 階矩陣 若有可逆矩陣使則稱(chēng) 是 的相似矩陣 或說(shuō)矩陣 與記為對(duì) 進(jìn)行運(yùn)算稱(chēng)為對(duì) 進(jìn)行相似變換 可逆矩陣稱(chēng)為把 變成 的相似變換矩陣相相似似相似矩陣相似矩陣1. 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì);AA,;ABBA若則,.AB BCAC若

9、則:反反身身性性) 1 ()2(:對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性:傳傳遞遞性性)3(證明證明相相似似與與BA11EBPE PP AP1PEA P1PEA P.EABAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣定理 相似矩陣必有相同的特征多項(xiàng)式。因而必有相同的特征值，相同的跡和相同的行列式。5.2 方陣的相似變換方陣的相似變換推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對(duì)角陣與對(duì)角陣n n 21.,21個(gè)個(gè)特特征征值值的的即即是是則則相相似似nAn 例例確定x，y的值，使矩陣1001000010001001-1=P APAByx與相似,并求出可逆矩陣P使得B., 1對(duì)角化對(duì)角化這就稱(chēng)為把方陣這就稱(chēng)為把方陣為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使若可找

10、到可逆矩陣若可找到可逆矩陣階方陣階方陣對(duì)對(duì)AAPPPAn 方陣方陣可對(duì)角化的條件可對(duì)角化的條件4.4(). nAAAn定理階矩陣 與對(duì)角矩陣相似 即 能對(duì)角化的充分必要條件是 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量問(wèn)：矩陣問(wèn)：矩陣A滿足什么條件時(shí)可對(duì)角化？滿足什么條件時(shí)可對(duì)角化？說(shuō)明說(shuō)明 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個(gè)特征值互不相等，個(gè)特征值互不相等，則則 與對(duì)角陣相似與對(duì)角陣相似推論推論 nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化，但如果能找到對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向

11、量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA.)( 5 . 4性無(wú)關(guān)的特征向量性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線個(gè)線重根對(duì)應(yīng)恰有重根對(duì)應(yīng)恰有的任意的任意的充分必要條件是的充分必要條件是能對(duì)角化能對(duì)角化即即與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似階矩陣階矩陣定理定理iikkAAAn例例1 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？若能，寫(xiě)出其相似標(biāo)準(zhǔn)型。若能，寫(xiě)出其相似標(biāo)準(zhǔn)型。 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得方程組得方程組代入代入將將, 02121 EA 0442044202232

12、1321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系12220 ,1 .10 , 0, 73 xEA 由由對(duì)對(duì)求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系31,2,2T.,3 化化可可對(duì)對(duì)角角因因而而個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值為的特征值為所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A例例,.mmABABm若 與 相似 則與相似為正整數(shù)解解。于是，使得所以有可逆矩陣相似與因BAPPPBA1 1,)

13、()()(APPAPPAPPBm111APPPAAPPAPPAP)()()(1111.PAPm1.相似與故mmBA 163053064A設(shè)設(shè),P(1)求出可逆矩陣?yán)? 2.1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A100(2).A求 得方程組得方程組代入代入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A注意注意 , ,213 P若令若