二次根式及一元二次方程復(fù)習(xí)及練習(xí)[共22頁]

1、1 / 15二次根式小結(jié)與溫習(xí)基礎(chǔ)盤點(diǎn)1. 二次根式的定義：一般地,我們把形如 a （ a _0）的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根式 .定義詮釋：（1）二次根式的定義是以形式界定的,如 4 是二次根式；（2）形如 b a （ a 0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式 a 中的被開方數(shù) a,可以是數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式,但必須滿足 a 0.2. 二次根式的基本性質(zhì)（1） a _0（ a_0）；（2）22 a _（ a _0）；（3） a a_aa_0_0；（4） ab _（ a _0, b _0）；（5）ab_（ a _0,b _0）.3. 最簡(jiǎn)二次根式必須滿足的條件為： （1

2、）被開方數(shù)中不含 _；（2）被開方數(shù)中所有因式的冪的指數(shù)都 _.4. 二次根式的乘、除法則：（1）乘法法則： a b =_（ a_0,b _0）；（2）除法法則：ab_（ a _0, b _0）.2 溫習(xí)提示 ：（1）進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí), 若結(jié)果是一個(gè)完全平方數(shù),則應(yīng)利用 a aaaaa00進(jìn)行化簡(jiǎn),即將根號(hào)內(nèi)能夠開的盡方的數(shù)移到根號(hào)外；（2）進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí),若除得的商的被開方數(shù)中含有完全平方數(shù)因數(shù),應(yīng)運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其進(jìn)行化簡(jiǎn).5. 同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成 _后,如果 _相同,這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式 .6. 二次根式的加減法則：二次根式加減時(shí),可以先將二次根式化成 _

3、,然后把_進(jìn)行合并 .溫習(xí)提示 ：（1）二次根式的加減分為兩個(gè)步驟： 第一步是 _,第二步是 _,在合并時(shí),只需將根號(hào)外的因式進(jìn)行加減,被開方數(shù)和根指數(shù)不變；（2）不是同類二次根式的不能合并,如： 3 5 8 ；2 / 15 （3）在求含二次根式的代數(shù)式的值時(shí),常用整體思想來計(jì)算 .7. 二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一致,也是先 _,再 _,最后 _,有括號(hào)的先 _內(nèi)的.溫習(xí)提示 ：（1）在運(yùn)算過程中,有理數(shù)（式）中的運(yùn)算律,在二次根式中仍然適用,有理數(shù)（式）中的乘法公式在二次根式中仍然適用；（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果可能是有理式, 也可能是二次根式, 若是二

4、次根式,一定要化成最簡(jiǎn)二次根式 .8. 二次根式的實(shí)際應(yīng)用利用二次根式的運(yùn)算解決實(shí)際問題, 主要從實(shí)際問題中列出算式, 然后根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,注意最后的結(jié)果有時(shí)需要取近似值.1 二次根式有意義的條件例 1 若式子 3x 4 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x 的取值范圍是（ ）A. x 43B. x43C. x 34D. x 34方法總結(jié)：判斷含有字母的二次根式是否有意義, 就是看根號(hào)內(nèi)的被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù),如果是,就有意義,否則就沒有意義,當(dāng)二次根式含有分母時(shí),分母不能為0.2 二次根式的性質(zhì)例 2 下列各式中,正確的是（ ）2 B. 3 3 2 D. 3 32 C. 3 32A. 3 32方

5、法總結(jié)： a a成立的條件是 a 0,而在化簡(jiǎn)2a時(shí),先要判斷 a 的正負(fù)情況 .3 二次根式的非負(fù)性例 3 已知 y 2x 5 5 2x 3,則2xy 的值為（ ）A. 15 B.15 C.152D.152方法總結(jié)：二次根式 a （ a 0）具有雙重非負(fù)性,即 a 0、 a 0.4 最簡(jiǎn)二次根式例 4 下列二次根式中,最簡(jiǎn)二次根式是（ ）A.15B. 0.5 C. 5 D. 50方法總結(jié)：在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí),一些同學(xué)不知道化到什么程度為止,切記,一定要化到最簡(jiǎn)二次根式為止 .5 二次根式的運(yùn)算例 5計(jì)算 24 18 13_.3 / 15方法總結(jié) ：二次根式的加減運(yùn)算, 一定要先化簡(jiǎn)才能得知

6、算式中哪些二次根式可 以合并,除法運(yùn)算先化為乘法再運(yùn)算,混合運(yùn)算時(shí)要正確使用運(yùn)算法則 .6 二次根式的化簡(jiǎn)求值例 6 若2013m ,則2014 15 2m 2013m4 3m 的值是_.方法總結(jié) ：解決此類問題應(yīng)注意代數(shù)式的變形和整體思想的運(yùn)用 .一元二次方程1、一元二次方程： 只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程。例 1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（ ）1A 、 2xx 2 B、2x 6 7 C、2 2 5x y D、23x 5x 2 02、一元二次方程的一般形式：2 0 ( 0)ax bx c a二次項(xiàng)：,一次項(xiàng)： ,常數(shù)項(xiàng)： 。二次項(xiàng)系數(shù)： ,一次項(xiàng)系數(shù)：

7、。例 2、（1）、方程 x(x+4)=8x+12 的一般形式是；二次項(xiàng)是一次項(xiàng)是,常數(shù)項(xiàng)是。（2）. 關(guān)于x的一元二次方程a x x 是一元二次方程, 則 a滿足（ ）2 1 2 2 0A. a 1 B. a 1 C. a 1 D. 為任意實(shí)數(shù)| | mxm（3）、若方程 (m 2) x 3 1 0是關(guān)于 x 的一元二次方程,則（）A m 2 Bm=2 Cm= 2 Dm 2（4）、下列方程中 , 常數(shù)項(xiàng)為零的是 ( )A.x2+x=1 B.2x 2-x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程的解法1、因式分解法移項(xiàng)：使方程右邊為 0因式

8、分解：將方程左邊因式分解；方法：一提,二套,三十字,四分組適用能因 式分解由 A ?B=0 ,則 A=0 或 B=0,解兩個(gè)一元一次方程2 a a2、直接開平方法 ( 0)xx1 a x2 a適用無一 次項(xiàng)的x b2 a a(0)x b a解兩個(gè)一元一次方程3、配方法移項(xiàng)：左邊只留二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù)項(xiàng)（移項(xiàng)要變號(hào)）同除：方程兩邊同除二次項(xiàng)系（每項(xiàng)都要除）配方：方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方開平方：注意別忘根號(hào)和正負(fù)4 / 15 方程：解兩個(gè)一元一次方程4、公式法 將方程化為一般式 寫出 a、b、c2 , 求出 b 4ac 若 b2-4ac0,則原方程無實(shí)數(shù)解 若 b2-4ac 0,則

9、原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,代入公式xb2b2a4acx=2 4b b ac2a求解 若 b2-4ac 0,則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,代入公式xb2a求解。2 x例 4、（1）、若關(guān) X 的一元二次方程 (k 1)x 6 3 0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍（）A.k 4,且 k 1 B.k 4, 且 k1 C. .k4 D. k 42 bx c（2）. 已知一元二次方程已知一元二次方程 ax 0,若 a b c 0,則該方程一定有一個(gè)根為（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 22（3）. 關(guān)于 x 的一元二次方程 x kx1=0 的根的情況是 ( )A、有兩個(gè)不相等的同號(hào)實(shí)數(shù)根 B

10、 、有兩個(gè)不相等的異號(hào)實(shí)數(shù)根C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D 、沒有實(shí)數(shù)根（4）. 關(guān)于 x 的一元二次方程2 2a 1 x x a 1 0的一個(gè)根是 0,則a值為（ ）A、 1 B 、 1 C 、 1或 1 D 、12（5）. 若關(guān)于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有實(shí)根 ,則k 的取值范圍是 ( )A.k-74B.k -74且 k0 C.k -74D.k74且 k0例 5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)2 3x(x 1) 3x 3 5 2 8 x 5 16 0x(2)、利用開平方法解下列方程1 2(2 y 1)2152=25 (3 2) 2424（x-3）

11、 x5 / 15(3)、利用配方法解下列方程2 5 2 2 0x x2 x3x 612 02 xx 2399 0(4)、利用公式法解下列方程23x 22x240 2x（x3）=x33x2+5(2x+1)=05、根與系數(shù)的關(guān)系：2 0 ( 0) ax bx c ax x1 2bax x1 2ca1 1x1 ,x2 x2 2x 1 0 x x例 5、（1）. 已知 是方程 的兩個(gè)根,則 等于_.1 22 x（2）、已知一元二次方程 2 3 1 0x 的兩根為 x1、 x2 ,則 x1 x2（3）、已知x ,1x 是方程22 6 3 0x x 的兩實(shí)數(shù)根,則x x2 1x x1 2的值為 _（4）已

12、知方程2 2( 2) 2 4 0x m x m 兩根的平方和比兩根的積大 21,求 m 的值。6、一元二次方程的應(yīng)用（要注意實(shí)際問題不能取負(fù)數(shù)）（1）二次三項(xiàng)式的因式分解2 bx c a 若一元 二次方 程 ax 0( 0) 的 兩個(gè)實(shí) 數(shù)根為 x1 , x2 ,則二 次三項(xiàng) 式2 bx c a 2 bx c a x x x x ax ( 0) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解因式寫成： ax ( 1 )( 2 )6 / 15當(dāng) b2 4 ac 0,二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式為： 2 bx c a(x x )(x x )ax1 2當(dāng) b2 4 ac =0,二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式為： 2 bx c

13、 a(x x ) 2ax12當(dāng) b 4 ac0,二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式（2）一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用二、典型例題精講與練習(xí)1、填空題：（1）寫一個(gè)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的一元二次方程,這個(gè)方程可以是（2）已知方程 2x2 2mx 6 0 的一個(gè)根為 -2 ,則 m= ,它的另一個(gè)根是2 x k（3）已知關(guān)于 x 的方程 (1 2k )x 2 1 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 則 k 的取值范圍是2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將下列二次三項(xiàng)式分解因式：（1） 2x2 5x 3 (2) 3x2 5xy 2y22 x y(3) 2(2x y) 3(2 ) 52 x a3、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2

14、1 0x 沒有實(shí)數(shù)根,試判斷關(guān)于 x 的一元二次2 ax a 方程 1x 根的情況,并說明理由。2 k x k4、已知關(guān)于 x 的一元二次方程 2x ( 2) 2 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求 k 的值及這時(shí)方程的根。7 / 152 n m2 n225、已知 m,n 為實(shí)數(shù),且 (m )( 1) 20,的值？ 3mn ,求 22(m n) 及2(m n)2 k x k6、求證：不論 k 為何值,關(guān)于 x 的方程 x (2 1) 3 0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。2 x m27、一元二次方程 m 1 x 1 0 有一個(gè)解為 0,求 2m 1的值。8、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例 6、（1）、某廠去年 3 月

15、份的產(chǎn)值為 50 萬元,5 月份上升到 72 萬元,這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？若設(shè)平均每月增長(zhǎng)的百分率是 x ,則列出的方程是（ ）2（A） 50 1 x 72 （B） 501 x 501 x 722（C） 50 1 x 2 72 （D）50 1 x 72（2）、原 價(jià) a 元的某商品經(jīng)過兩次降價(jià)后, 現(xiàn)售價(jià) b元,如果每次降價(jià)的百分比都為 x ,那么下列各式中正確的是（ ）2A a 1 2x b ； B a 1 x b；2C b 1 2x a ； D b 1 x a。（3）、某種電腦病毒傳播非常快,如果一臺(tái)電腦被感染,經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有 81臺(tái)電腦被感染 請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析,

16、每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制, 3 輪感染后,被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過 700 臺(tái)？8 / 15（4）. 某種商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià), 每件售價(jià)由原來的 90 元降到了 40 元,求平均每次降價(jià)率是多少？（5）. 關(guān)山超市銷售某種電視機(jī),每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為 2500 元,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為 2900 元時(shí), 平均每天能售出 8 臺(tái)電視機(jī), 而當(dāng)銷售價(jià)每降低 50 元時(shí), 平均每天就能多售出 4 臺(tái)商場(chǎng)要想使這種電視機(jī)的銷售利潤(rùn)每天達(dá)到 5000 元,每臺(tái)電視機(jī)的定價(jià)應(yīng)為多少元?（1）一種筆記本電腦,原來的售價(jià)是 15 000 元,經(jīng)過連續(xù)兩年的降價(jià), 今天每臺(tái)售價(jià)

17、為 12150 元,每年降價(jià)的百分率相同 .（1）求每年降價(jià)的百分率是多少？（ 2）如果吳云是在去年購(gòu)買這種筆記本電腦的,那么與今年的售價(jià)相比,她多付了多少元？（6）某通訊公司每位員工都向本公司的其他員工發(fā)出了 1 條祝賀元旦的短信 .已知全公司共發(fā)出短信 870 條,求該公司員工的人數(shù) .9 / 15（7）如圖,某單位需要建一個(gè)面積為 1 200 平方米飛矩形倉(cāng)庫(kù),計(jì)劃利用一段 50 米長(zhǎng)的舊墻,新墻只圍三邊, 已知每建造 1 米新墻需要用 500 元, 建造頂棚等其他費(fèi)用為 1 萬元, 設(shè)當(dāng)被利用的舊墻長(zhǎng)度為 x米時(shí),倉(cāng)庫(kù)的總建設(shè)費(fèi)用為 y 萬元.(1)求 y 關(guān)于 x的函數(shù)解析式及其定義

18、域 .(2)當(dāng)建設(shè)費(fèi)用為 6 萬元時(shí),求被利用的舊墻的長(zhǎng)度是多少米？(8)今年來由于受到國(guó)際石油市場(chǎng)的影響,汽油的價(jià)格不斷上漲 .請(qǐng)你根據(jù)下列兩位的對(duì)話,幫助小明計(jì)算一下 2006 年 5 月份汽油每升的價(jià)格 .2006 年 5 月份的汽油價(jià)格四 2005 年 5 月份汽油價(jià)格的 1.6 倍,用 150 元給汽車加的油量比2005 年少 18.75 升 .2006 年 5 元份的汽油每升價(jià)格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法綜合練習(xí)一、選擇題1、下列各式一定是二次根式的是 ( )A 7 B 2x C2 y2x D3 62、下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是 （ ）A.2 1a B.15C. 8

19、 D. 273、下列計(jì)算正確的是 ( )A. 2 3 5 B. 3 3 3 2 C. 2 2 2 3 2 D. 4 2 24、下列計(jì)算 錯(cuò) 誤 的是 ( )1A. 14 7 7 2 B. 60 5 2 3 C. 9a 25a 8 a D. 2 2210 / 155、下列方程為一元二次方程的是 ( )1 32 y2A. 02 xx B. 2x 5 03 212 x x 2C. x 2 1 D. 7 024x x6、式子xx12的取值范圍是 （ ）A. x 1 且 X 2 B.x1 且 x 2 C. x 2 D. x 17、方程的2 6 5 0x x 左邊配成完全平方式后所得的方程為()A2(x

20、3) 14 B2(x 3) 14 C2 1( x 6) D以上參考參考答案都不對(duì)22 bx c8、若 (a 1)x 0是關(guān)于 x 的一元二次方程,則（ ）Aa0 B a1 C a 1 D a =19、下面是某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中解答的填空題,其中答對(duì)的是（）2 2A若 x =4,則x=2 B . 若3x =6x,則x=2C x2 x k 0 的一個(gè)根是 1,則k=2D若分式x x 2x的值為零,則x=2或x=010、關(guān)于 x 的一元二次方程2 2 0x x 的根的情況是 （ ）A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C無實(shí)數(shù)根 D無法判斷2 x m11、一元二次方程 4 2 6 0x 有兩

21、個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m 等于（ ）A. 2B.3 C. 4 D. 512、某廠今年一月份的產(chǎn)量為20 噸, 第一季度的總產(chǎn)量共 85 噸,設(shè)平均每月增長(zhǎng)率是 x, 根據(jù)題意所列的方程為( )A、20 x2 =85 B 、20（1+x）=85C、20（1+x） 2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =8513、攝影興趣小組的學(xué)生,將自己拍攝的照片向本組其他成員各贈(zèng)送一張,全組共互贈(zèng)了 182張,若全組有 x 名學(xué)生,則根據(jù)題意列出的方程是 （ ）11 / 15A. x （x1）182； B. x （x1）18

22、2 ；C. 2x （x1）182 D.12x（x1）18214、方程 x29x+18=0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）BA12 B 12 或15 C15 D 不能確定15、如圖,一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 4,高是 6 的長(zhǎng)方體紙箱的 A點(diǎn)沿紙箱爬到 B點(diǎn),那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 ( )A9 B10 C4 2 D2 17A2 x16三角形的兩邊長(zhǎng)分別是 3 和 6,第三邊是方程 x 6 8 0 的解,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是 （ ）A、11 B 、13 C 、11或 13 D 、11和 132 b2 a2 b217. 若 a 2 8,則2 b 2a （）A2 B. 4 C.

23、4 或2 D. 4 或 2二、填空題1、計(jì)算： 12 3=。2方程22x 1 3x化為一般形式為 ,一次項(xiàng)系數(shù)是 。3. 如果最簡(jiǎn)二次根式 1 a 與 4a 2 是同類根式,那么 a。 2 的正確結(jié)果是 _ 。4. 若x 2 ,化簡(jiǎn) (x 2) 3 x5. 比較大?。?3 2 _2 3 （填“”或“”） 2 的解是 ；方程 x 2 x 3 0 的解是_。6. 方程 x 3x7、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2 5x ；2 x8、 已 知 x 1是 方 程 ax 2 0 的 一 個(gè) 根 , 則 a _。9、已知方程 x 1、x2,則 x1 + x2, 24x30 的兩根分別為 x24x30 的兩根分別為

24、xx x =。 10. 若1. 212 / 152010xx、y 為實(shí)數(shù),且 x 2 y 2 0 ,則 的值為_y11.x2 3x _ (x _)212、已知關(guān)于 x 的一元二次方程（ 12k）x2 x1=0 有實(shí)數(shù)根,則 k 的取值范圍是 _13 觀察分析下列數(shù)據(jù), 尋找規(guī)律： 0 , 3, 6 ,3,2 3, 15,3 2 ,那么第 10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 .14. 把一元二次方程 3x22x3=0化成 3（x+m）2=n的形式是；若多項(xiàng)式 x2ax+2a3 是一個(gè)完全平方式,則 a=2 x x15. 當(dāng) x=時(shí), x 3 與 15 既是最簡(jiǎn)二次根式,被開方數(shù)又相同。三、解答題：1 2 x 11 0 2( ) ( )3 (2)2 （2）、 9 x xx 6 2 1、計(jì)算：（1）、3 4（3）、（2 3 3 2 ）27 32 （2 3 ）（2 3 ）（4） 13（5）（2 48+3 27） 6（6） 1 1 22 12 3 1 5 48 3 3 32、解方程（每小題 5 分,共 20 分）.（1）、22 x(x 2) 25 （2）、(2x 1) 3(2 1)13 / 15（3）、2 2 4 02x - x- = ； （4）、 3x 1 4x