函數(shù)的周期性

1、 我們無懼高考，高考只是我們實現(xiàn)夢想的一個跳板！美文網(wǎng)小編為大家我們無懼高考，高考只是我們實現(xiàn)夢想的一個跳板！美文網(wǎng)小編為大家 收集整理了高三畢業(yè)說說，供大家欣賞借鑒！高三畢業(yè)說說最新收集整理了高三畢業(yè)說說，供大家欣賞借鑒！高三畢業(yè)說說最新1.分分 別在即，縱有千言萬語一時凝噎，只好摯手相看淚眼別在即，縱有千言萬語一時凝噎，只好摯手相看淚眼也許你神往于雪山的也許你神往于雪山的 顏色開一朵雪白的花象心一樣純潔也許你酷愛太陽的火力開一朵火紅的花象顏色開一朵雪白的花象心一樣純潔也許你酷愛太陽的火力開一朵火紅的花象 夢一樣美麗！夢一樣美麗！2.我們都曾在人生的海洋中相遇，歲月飄忽，必然會改變許我們都曾

2、在人生的海洋中相遇，歲月飄忽，必然會改變許 多東西。也許，時間會使許多絢爛歸于平淡。但是，對你的懷念卻是永久的。多東西。也許，時間會使許多絢爛歸于平淡。但是，對你的懷念卻是永久的。 不變的，只有這份真摯的情誼。不變的，只有這份真摯的情誼。3.水不因石而阻友誼不因遠而疏愿友誼長水不因石而阻友誼不因遠而疏愿友誼長 存，以最真誠的心祝福你年年平安。存，以最真誠的心祝福你年年平安。4.有一首歌曾輕聲地唱過，在年輕的有一首歌曾輕聲地唱過，在年輕的 歲月中，或許時間帶走一切擁有過的季節(jié)歲月中，或許時間帶走一切擁有過的季節(jié)5.我笑那些想畢業(yè)卻又在將我笑那些想畢業(yè)卻又在將 來后悔的青年來后悔的青年6.真的有那

3、么一個女孩，和我一起上課偷吃零食，遲到一起真的有那么一個女孩，和我一起上課偷吃零食，遲到一起 罰站，戴一副耳機聽歌。罰站，戴一副耳機聽歌。7.畢業(yè)，多么刺眼的一個詞兒。畢業(yè)，多么刺眼的一個詞兒。8.努力吧！努力吧！ 為了以后好日子必須幸苦一陣子。為了以后好日子必須幸苦一陣子。9.各奔東西后才知，一別也許就是一世、各奔東西后才知，一別也許就是一世、 10.據(jù)說這是最早的呻吟體：據(jù)說這是最早的呻吟體：密密封封線線內(nèi)內(nèi)不不要要 答答題題11.可不可以不要讓畢業(yè)和分手劃上等號可不可以不要讓畢業(yè)和分手劃上等號12.六月的考試，六月的考試， 誰為我加油？誰為我加油？1 一、函數(shù)一、函數(shù)周期性周期性的定義的

4、定義 1周期函數(shù)周期函數(shù)：對于函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當，使得當 x取定義域內(nèi)的任何值時，都有取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT) ，那么就稱函數(shù)，那么就稱函數(shù)yf(x) 為周期函數(shù)，稱為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期為這個函數(shù)的周期 2最小正周期：最小正周期：如果在周期函數(shù)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中的所有周期中 的的 正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期 3.3.周期不唯一：周期不唯一：若若T T是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)的一個周期，則的一個周期，則 nT(

5、nZ,nT(nZ,且且n0)n0)也是也是f(x)f(x)的周期的周期. . f(x) 存在一個最小存在一個最小 考點一、求函數(shù)的周期考點一、求函數(shù)的周期 例例1 1、函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x x滿足條件滿足條件f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),則則f(x)f(x) 的最小正周期為的最小正周期為_._. 【解析解析】f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x), f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)-f(x)=f(x).=f(x). 最小正周期為最小正周期為2.2. 考

6、點二、利用函數(shù)的周期求函數(shù)值考點二、利用函數(shù)的周期求函數(shù)值 例例2 2、已知函數(shù)已知函數(shù)f(x),f(x),對任意對任意xRxR，都有，都有f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x), 且且x(0,2)x(0,2)時，時，f(x)=2 012xf(x)=2 012x2 2, ,則則f(2 013)=_.f(2 013)=_. 【解析解析】f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x), f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為4 4， f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 01

7、2. 2 2. .已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x),f(x),滿足滿足f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),則則f(8)f(8)的值的值 為為( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】【解析】選選B.f(x+4)=f(x),B.f(x+4)=f(x), f(x)f(x)是以是以4 4為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)， f(8)=f(0).f(8)=f(0). 又函數(shù)又函數(shù)f(x)f(x)是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)， f(8)=f(0)=0,f(8)=f(0)=0,故選故選B.B. 【

8、變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 考點三、函數(shù)奇偶性與周期性考點三、函數(shù)奇偶性與周期性 3已知已知f(x)在在R上是奇函數(shù)，且滿足上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當，當x(0,2)時，時， f(x)2x2，則，則f(2 011)() A2 B2 C98 D98 解析：解析：由由f(x4)f(x)，f(x)的周期是的周期是4， f(2 011)f(50243)f(3)f(1)， 又又f(x)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，f(1)f(1)2. 答案：答案：A 2.5 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 (2012(2012長安模擬長安模擬) )已知定義在已知定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)f(x)f(x)，滿足，滿足 f(4+x

9、)=-f(-x)f(4+x)=-f(-x)，且當，且當xx2,4)2,4)時，時，f(x)=logf(x)=log2 2(x-1)(x-1)，則，則f(2 f(2 010)+f(2 011)010)+f(2 011)的值為的值為( )( ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 【解析解析】選選C.f(x)C.f(x)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，f(4+x)=-f(x).f(4+x)=-f(x). f(x+8)=f(x+4)+4)=-f(4+x)=-f(x+8)=f(x+4)+4)=-f(4+x)=-f(x)-f(x)=f(x),=

10、f(x), f(x)f(x)為以為以8 8為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)， f(2 010)=f(251f(2 010)=f(2518+2)=f(2),8+2)=f(2), f(2 011)=f(251f(2 011)=f(2518+3)=f(3),8+3)=f(3), f(2 010)+f(2 011)=f(2)+f(3)=logf(2 010)+f(2 011)=f(2)+f(3)=log2 2(2-1)+log(2-1)+log2 2(3-1)=1.(3-1)=1. 考點四、函數(shù)的綜合應(yīng)用考點四、函數(shù)的綜合應(yīng)用 設(shè)設(shè)f(x)f(x)是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)上的奇

11、函數(shù)，且對任意實數(shù)x x，恒有，恒有 f(x+1)=f(1-x).f(x+1)=f(1-x).當當xx0,20,2時，時，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2. . (1)(1)求證：求證：f(x)f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù); ; (2)(2)當當xx2,42,4時，求時，求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (3)(3)計算計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013). 【解析解析】(1)f(x+1)=f(1-x),(1)f(x+1)=f(1-x), f(x+2)=f(x+1)+1)f(x+2)=f(x+1)+1) =f(1-

12、(x+1)=f(-x)=-f(x)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x) f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)f(x)是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)的周期函數(shù). . (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又又f(x)f(x)是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)的周期函數(shù), , f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=

13、f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1. (2)(2)當當xx-2,0-2,0時，時，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2, , 又又f(x)f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(-

14、x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, , 當當xx-2,0-2,0時，時，f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x. 又當又當xx2,42,4時，時，x-4x-4-2,0-2,0,f(x-4)=(x-4),f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4). 又又f(x)f(x)是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)，的周期函數(shù)， f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8. 從而求得從而求得xx2,42,4時，時， f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8

15、.-6x+8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)，當，當xx 0,10,1時，時，f(x)=x.f(x)=x. (1)(1)求求f()f()的值；的值； (2)(2)當當xx-4,4-4,4時，求時，求f(x)f(x)的圖像與的圖像與x x軸所圍成的圖形的面軸所圍成的圖形的面 積積. . 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】 【解析解析】(1)(1)由由f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得 f(x+4)=-f(x+2)f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)f(x+4)=f(x)， 則則

16、f(x)f(x)是以是以4 4為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù). . f()=f(-1f()=f(-14+)=f(-4)4+)=f(-4)， f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)， f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4. f()=-4.f()=-4. (2)(2)由由f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函數(shù)與上的奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得 f(x+2)=f(-x)f(x+2)=f(-x)， 故知函數(shù)故知函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于x=1x=1對稱，對稱，

17、又又xx0,10,1時，時，f(x)=xf(x)=x，且，且f(x)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，則的圖像關(guān)于原點對稱，則 f(x)f(x)的圖像如圖所示的圖像如圖所示 當當xx-4,4-4,4時，時，f(x)f(x)的圖像與的圖像與x x軸所圍成的圖形的面積為：軸所圍成的圖形的面積為： S=4SS=4S OABOAB=4 =4( ( 2 21)=4.1)=4. 1 2 【例例3 3】(2011(2011新課標全國卷改編新課標全國卷改編) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)對任意的實對任意的實 數(shù)數(shù)x x滿足：滿足：f(x+1)= f(x+1)= 且當且當xx-1,1-1,1時，時，f(x)=x

18、f(x)=x2 2. . (1)(1)求求f(2 012);f(2 012); (2)(2)確定函數(shù)確定函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像與函數(shù)的圖像與函數(shù)y=|lgx|y=|lgx|的圖像的交點個數(shù)的圖像的交點個數(shù). . 1 f (x) ， 【解題指南解題指南】解答解答(1)(1)題需先由題需先由f(x+1)= f(x+1)= 探究出函數(shù)探究出函數(shù)f(x)f(x) 的周期，進而利用周期性，求的周期，進而利用周期性，求f(2 012),(2)f(2 012),(2)作出作出y=f(x)y=f(x)及及 y=|lgx|y=|lgx|的圖像，從而使問題得解的圖像，從而使問題得解. . 1 f (x

19、) 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)對任意對任意xR,xR, 都有都有f(x+1)=f(x+1)= f(x+2)=f(x+1)+1)=f(x+2)=f(x+1)+1)= f(x)f(x)是以是以2 2為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)， f(2 012)=f(2f(2 012)=f(21 006+0)=f(0)=01 006+0)=f(0)=02 2=0.=0. 1 , f (x) 1 f (x1) 1 f (x). 1 f (x) (2)(2)根據(jù)根據(jù)f(x)f(x)的周期性及的周期性及f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的解析式可作圖如上的解析式可作圖如 下下 可驗證當可驗證當x=10 x=10

20、時，時，y=|lg10|=1;y=|lg10|=1; x10 x10時，時，|lgx|1,|lgx|1,因此結(jié)合圖像及數(shù)據(jù)特點因此結(jié)合圖像及數(shù)據(jù)特點y=f(x)y=f(x)與與y=|lgx|y=|lgx| 的圖像交點共有的圖像交點共有1010個個. . 【反思反思感悟感悟】已知周期函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的解已知周期函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的解 析式或圖像，則可求在其他區(qū)間上的函數(shù)值、解析式或畫出其析式或圖像，則可求在其他區(qū)間上的函數(shù)值、解析式或畫出其 他區(qū)間上的圖像，關(guān)鍵是用好其周期性進行轉(zhuǎn)化他區(qū)間上的圖像，關(guān)鍵是用好其周期性進行轉(zhuǎn)化. . 1.(20111.(2011山東高考山東高

21、考) )已知已知f(x)f(x)是是R R上最小正周期為上最小正周期為2 2的周期函數(shù)的周期函數(shù), , 且當且當0 x20 x2時時,f(x)=x,f(x)=x3 3-x-x，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像在區(qū)間的圖像在區(qū)間0,60,6 上與上與x x軸的交點個數(shù)為軸的交點個數(shù)為( )( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【解析解析】選選B.B.令令f(x)=xf(x)=x3 3-x=0,-x=0, 即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x=0,1,-1,x=0,1,-1, 因為因為0 x2,0 x2,

22、所以此時函數(shù)的零點有兩個所以此時函數(shù)的零點有兩個, ,即與即與x x軸的交點個數(shù)軸的交點個數(shù) 為為2.2. 因為因為f(x)f(x)是是R R上最小正周期為上最小正周期為2 2的周期函數(shù)，的周期函數(shù)， 所以所以2x4,4x62x4,4x6上也分別有兩個零點，上也分別有兩個零點， 由由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知知f(6)f(6)也是函數(shù)的零點，也是函數(shù)的零點， 所以函數(shù)所以函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像在區(qū)間的圖像在區(qū)間0,60,6上與上與x x軸的交點個數(shù)為軸的交點個數(shù)為7.7. 【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)f(x)f(x)是定義

23、在是定義在R R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x x， 恒有恒有f(x+2)=-f(x).f(x+2)=-f(x).當當xx0,20,2時，時，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2. . (1)(1)求證：求證：f(x)f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù). . (2)(2)當當xx2,42,4時，求時，求f(x)f(x)的解析式的解析式. . (3)(3)計算計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013). 【解析解析】(1)f(x+2)=-f(x),(1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f

24、(x+4)=-f(x+2)=f(x)， f(x)f(x)是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)的周期函數(shù). . (2)(2)當當xx-2,0-2,0時，時，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2. . 又又f(x)f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, , f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x. 又當又當xx2,42,4時，時，x-4x-4-2,0-2,0, , f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4). 又又f(x)f(x)是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)，的周期函數(shù)， f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8. 從而求得從而求得xx2,42,4時，時，f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8.-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)