議一道中考數(shù)學(xué)壓軸題（梁彩梅）

1、議 一道 數(shù) 學(xué) 中 考 壓 軸 題南寧市北湖北路學(xué)校 梁彩梅DCAFEy=kxy=ax+cYXOBLM 2013年南寧市數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題題目如下：如圖，拋物線y=ax2+c(a0)經(jīng)過C（2,0）、D(0,-1)兩點(diǎn)，并與直線y=kx交與A、B兩點(diǎn)。直線l過點(diǎn)E(0,-2)且平行于x軸，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N。(1) 求拋物線的解析式；(2) 求證OA=AM；(3) 探究當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx 與x軸重合，求此時(shí)的值；試說明無論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)。下面對(duì)題目解法和考查的知識(shí)點(diǎn)談?wù)勔恍┛捶?。一、?duì)第一個(gè)問題的看法 “（1）求拋物線的解析式”是常規(guī)問題，課

2、本例題習(xí)題都有出現(xiàn)，利于考生心里的穩(wěn)定，樹立解題的信心?？疾榱顺踔袛?shù)學(xué)重要的待定系數(shù)法，計(jì)算中所列的二元一次方程組也比較簡單，符合課標(biāo)要求“降低計(jì)算難度”。二、對(duì)第二個(gè)問題的看法“（2）求證OA=AM”，雖然結(jié)論常規(guī)，但解法卻不是教材和課標(biāo)要求的通法，要考慮到平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，或用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度再用勾股定理，用我們數(shù)學(xué)的術(shù)語就是“解析幾何法”，此法初中數(shù)學(xué)并沒有作為重要方法介紹，但它是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，作為選拔性的題目呈現(xiàn)也在情理之中。解法分析：設(shè)A（x,kx)，則有kx=x2-1 (1) AM=kx+2 (2) OA= (3)上述三個(gè)式子體現(xiàn)了符號(hào)意識(shí)，考查學(xué)生用符

3、號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的目的，同時(shí)利用幾何圖形來研究代數(shù)問題考查數(shù)形結(jié)合思想。課標(biāo)中明確指出“運(yùn)算能力主要指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確的進(jìn)行運(yùn)算”、“符號(hào)意識(shí)是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到一般的結(jié)論具有一般性”。如何把三個(gè)式子進(jìn)行變形得到AM=AO，卻是一個(gè)技巧性較強(qiáng)的過程。 如果用常規(guī)的代人法，把（1）代人（2）、(3)AM=-x2-1+2= x2+1 ，AO=AO式子所進(jìn)行的運(yùn)算用到完全平方公式和配方法，字母的運(yùn)算和式子的多次變形，在有限的考試時(shí)間內(nèi)完成，平時(shí)要作大量的訓(xùn)練才能準(zhǔn)確。 解題的另一個(gè)思路：由于（3）式涉及算術(shù)平方根，可以先求A

4、M2和AO2再比較，AM2=4+4kx+k2x2, AO2=x2+k2x2, （1）式化為4kx=x2-4, 代入（2）、（3）得：AM2=4+4kx+k2x2=4+x2-4+k2x2 =x2+k2x2 =AO2 。 兩種思路的重點(diǎn)成了繁雜的計(jì)算。另外，作為中考的壓軸題，應(yīng)呈現(xiàn)一題多解的情況，考查學(xué)生的開放性思維，本小問只有用“解析幾何法” ，無法用初中等腰三角形、特殊四邊形等重要的知識(shí)點(diǎn)，也是一點(diǎn)缺憾。 三、對(duì)第三個(gè)問題的看法 “（3）當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx 與x軸重合，求此時(shí)的值”。這時(shí)變成圖形位置的特殊情形，所求表達(dá)式雖然復(fù)雜，但只要能正確畫出圖形，AM、BN的值很容易計(jì)算出來。體現(xiàn)探

5、究問題“從特殊到一般”數(shù)學(xué)思想，很好考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，課標(biāo)中指出“當(dāng)有一天學(xué)生離開數(shù)學(xué)題后，他還能用數(shù)學(xué)思想方法去處理在非數(shù)學(xué)領(lǐng)域遇到的問題”，命題人員很好的運(yùn)用了課標(biāo)核心思想。解法分析：（3）當(dāng)k=0時(shí)，A、B都在x軸上，AM=BN=2，=1，也可用第二問的結(jié)論AM=AO=2,BN=BO=2。如果考生想到用（2）的結(jié)論來解決，“探究的值是一個(gè)常數(shù)”解題思路就明確了，反過來又體現(xiàn)了特殊性中隱含的一般性。 解法分析：(3) 把轉(zhuǎn)化為=，但接下來的運(yùn)算又是一個(gè)難題，要用y=kx代人得，這時(shí)要考慮到、x是方程kx= x2-1的兩個(gè)根，利用才能進(jìn)行化簡，=，計(jì)算又是一道難關(guān)，先計(jì)算（）=(x+x)-2xx+2，這里完全脫離了課標(biāo)和教材，遠(yuǎn)離初中的內(nèi)容而重在計(jì)算的技巧，本人覺得不妥，令初中老師的教學(xué)導(dǎo)向產(chǎn)生模糊。 總之， 這道南寧市2013年數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題，綜合考查了初中的數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、整體代人思想，從特殊到一般，再從一般到特殊的思維方式，綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的方法，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。明顯不足是：解題策略單一；不符合課標(biāo)“降低運(yùn)算的復(fù)雜性、技巧性”、“二次根號(hào)下僅限于數(shù)”、“選學(xué)內(nèi)容不作