材料力學(xué) 第三章 扭轉(zhuǎn)

1、31 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 32 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖33 純剪切純剪切34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形36 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念3 3-1 -1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例工工 程程 實(shí)實(shí) 例例對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)變形的扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；變形特點(diǎn)變形特點(diǎn)：

2、變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：任意兩橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；任意兩橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)； 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。齒輪軸直接計(jì)算直接計(jì)算一一. .外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算3-2、外力偶矩的計(jì)算、外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖M=Fd按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功：外力偶作功：)N.m(1000PW2MW已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦計(jì)算：力偶矩計(jì)算：力偶矩M Mmin)/r(n2)KW(P60M)(549. 9mKNnP60n7355. 0min)/r(n2)(P60M馬

3、馬力力)mKN(nP024. 7二、扭轉(zhuǎn)變形橫截面的內(nèi)力二、扭轉(zhuǎn)變形橫截面的內(nèi)力mmmT0mxx扭矩：扭矩：求扭矩的方法求扭矩的方法構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩；構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩；截面法截面法記作記作T。0mTmT “T”矢量離開(kāi)截面為正，反之為負(fù)。矢量離開(kāi)截面為正，反之為負(fù)。 扭矩的符號(hào)規(guī)定：扭矩的符號(hào)規(guī)定：右手螺旋法則右手螺旋法則扭矩扭矩圖圖： 目目 的的xT扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規(guī)律的圖線。扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規(guī)律的圖線。扭矩變化規(guī)律；扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置（危險(xiǎn)截面）（危險(xiǎn)截面）。mm危險(xiǎn)面處處是危險(xiǎn)面例例1已知：一

4、傳動(dòng)軸，已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入主動(dòng)輪輸入 P1=500kW，從動(dòng)輪輸出從動(dòng)輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。試?yán)L制扭矩圖。A B C Dm2 m3 m1 m41 計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩nP55. 9m11m)(kN 78. 4nP55. 9mm232m)(kN 37. 6nP55. 9m44m)15.9(kN n =300r/min，P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=200kWA B C Dm2 m3 m1 m42、求扭矩、求扭矩0mT21 0mmT 322 0mT 43m211T1mkN78.

5、 4T 1m2 m3 m1 m422T2mkN56. 9T 2m2m333m4T3mkN37. 6mT 433、繪制扭矩圖、繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險(xiǎn)截面段為危險(xiǎn)截面;xT4.78KNm9.56KNm6.37KNmA B C Dm2 m3 m1 m4mkN78. 4T 1mkN56. 9T 2mkN 337. 6T例例2 :圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由圖示傳動(dòng)軸上，經(jīng)由A輪輸入功率輪輸入功率10KW，經(jīng)，經(jīng)由由B、C、D輪輸出功率分別為輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置輪的位置更換放置

6、是否合理？更換放置是否合理？BCAD1 傳遞的外力偶矩傳遞的外力偶矩)mN( 3 .318nP549. 9MAA)mN(7 .63nP549. 9MBB),( 5 .95mNMC),(2 .159mNMDB、C、D: 2、3、5KWn=300r/minBCADBM1T0MTD3BMCM2T0MMTCB20MTB1DM3T2、求內(nèi)力、求內(nèi)力)mN(7 .63MTB1)mN( 2 .159MMTCB2)mN( 2 .159MTD3BCADIIIIIIIIIIII)mN( 2 .159Tmax在在CA段和段和AD段段3、繪出扭矩圖：、繪出扭矩圖：7 .632 .1592 .159TNmBCAD)mN

7、(7 .631T)mN( 2 .1592T)mN( 2 .1593T4 將將A、D輪的位置更換輪的位置更換)( 3 .318max,mNMnAD段段因此將因此將A、D輪的位置更換不合理。輪的位置更換不合理。7 .632 .1593 .318TNmBCDA3(1)(1)計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩(2)(2)計(jì)算扭矩計(jì)算扭矩(3)(3) 扭矩圖扭矩圖練習(xí)練習(xí)1 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖練習(xí)練習(xí)2 傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A輸入功率輸入功率50馬力，馬力，從動(dòng)輪從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為15馬力，馬力，15馬力，馬力，20馬力馬力,軸的轉(zhuǎn)速為軸的轉(zhuǎn)速為300r/min。試

8、畫出軸的扭矩圖。試畫出軸的扭矩圖。 ABCD3、已知、已知PA20KW，PBPC6KW，PD8KW，轉(zhuǎn)數(shù)，轉(zhuǎn)數(shù)191轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，作扭矩圖分，作扭矩圖PBPCPDPA4、作扭矩圖、作扭矩圖2KNm2KNm1KNm2KNm3KNm5、軸上作用有均布力偶，軸長(zhǎng)為、軸上作用有均布力偶，軸長(zhǎng)為L(zhǎng)1.2米米M0=2KNm/m33 純剪切純剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：rm：為平均半徑為平均半徑mr101t 壁厚壁厚一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1、觀察圓筒變形、觀察圓筒變形縱向線發(fā)生了傾斜；縱向線發(fā)生了傾斜；圓筒表面的各圓周線的圓筒表面的各圓周線的形狀、大小、間距形狀、大小、間距均未改變；均未

9、改變；各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形;2、觀察現(xiàn)象、觀察現(xiàn)象只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；表明：表明：當(dāng)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面和包含軸線的縱向截當(dāng)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面和包含軸線的縱向截面上都沒(méi)有正應(yīng)力；面上都沒(méi)有正應(yīng)力；橫截面上便只有切于截面的橫截面上便只有切于截面的切應(yīng)力切應(yīng)力；可以認(rèn)為沿筒壁厚度切應(yīng)力可以認(rèn)為沿筒壁厚度切應(yīng)力均勻分布均勻分布；4、切應(yīng)力分布規(guī)律假設(shè)、切應(yīng)力分布規(guī)律假設(shè)因?yàn)橥脖诘暮穸群苄?，因?yàn)橥脖诘暮穸群苄?，T tr2T2mrmr rm m：薄壁

10、圓筒橫截面的平均半徑薄壁圓筒橫截面的平均半徑; ;5、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力Ttr22m二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理0mz在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)；在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)；acddxb dy tz切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理dxtdy dytdx 且數(shù)值相等；且數(shù)值相等； 兩者都垂直于兩平面的交線；兩者都垂直于兩平面的交線；方向：方向：共同指向共同指向或或共同背離共同背離該交線；該交線；Lr 三、切應(yīng)變?nèi)?、切?yīng)變acdb t純剪切單元體的相對(duì)兩側(cè)面純剪切單元體的相對(duì)兩側(cè)面發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生微小的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，圓筒兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)

11、角為圓筒兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為，圓筒，圓筒的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則切應(yīng)變?yōu)?，則切應(yīng)變?yōu)槭乖瓉?lái)互相垂直的兩個(gè)棱邊使原來(lái)互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)的夾角改變了一個(gè)微量微量；rL四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)（極限時(shí)（ p)， 切應(yīng)力與切應(yīng)變成線形關(guān)系；切應(yīng)力與切應(yīng)變成線形關(guān)系；acdb tG12EG對(duì)各向同性材料有對(duì)各向同性材料有 G材料剪切彈性模量，單位：材料剪切彈性模量，單位：GPa。34 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察不變量觀察不變量橫截面在變形前后都橫截面

12、在變形前后都3. 縱向線變形后縱向線變形后通過(guò)變形觀察現(xiàn)象通過(guò)變形觀察現(xiàn)象1、各圓周線的大小、形狀、間距、各圓周線的大小、形狀、間距半徑仍保持半徑仍保持2. 軸向軸向保持不變；保持不變；為直線；為直線；保持為平面；保持為平面；無(wú)伸縮；無(wú)伸縮；仍近似為直線，仍近似為直線， 只是傾斜了一個(gè)角度；只是傾斜了一個(gè)角度；觀察小方格的變化觀察小方格的變化小方格小方格菱形菱形基本假設(shè)基本假設(shè)橫截面在變形后橫截面在變形后大小、大小、半徑半徑平面假設(shè)平面假設(shè)仍然保持為平面；仍然保持為平面；形狀、形狀、 間距不變；間距不變；仍保持為直線；仍保持為直線；結(jié)論結(jié)論橫截面：橫截面：像像剛性平面剛性平面一樣，一樣，只是繞

13、軸線只是繞軸線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。了一個(gè)角度。在此假設(shè)的基礎(chǔ)上，推倒出的應(yīng)力與變形計(jì)算公式，符合試驗(yàn)結(jié)果，且與彈性力學(xué)一致二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：tgxdd距圓心為距圓心為 的的任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 ；xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。xdd與點(diǎn)到圓心的距離與點(diǎn)到圓心的距離 成正比。成正比。xdBB2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系： G GxddG 虎克定律：xddG扭轉(zhuǎn)變形的切應(yīng)力的分布規(guī)律扭轉(zhuǎn)變形的切應(yīng)力的分布規(guī)律1、任意一點(diǎn)處的切應(yīng)力、任意一點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離與該點(diǎn)到圓心的距離成正比；

14、成正比；2、切應(yīng)變、切應(yīng)變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，切應(yīng)力切應(yīng)力也與半徑也與半徑垂直；垂直；3、切應(yīng)力的方向形成與扭矩同向的順流；、切應(yīng)力的方向形成與扭矩同向的順流；切應(yīng)力與半徑成正比切應(yīng)力與半徑成正比切應(yīng)力與扭矩同向的順流切應(yīng)力與扭矩同向的順流縱向面內(nèi)切應(yīng)力縱向面內(nèi)切應(yīng)力3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：Ad TAAIApd2令xGI Tpdd pGITx dd xGdd pITAdxddG 2A AdxddG 2A極慣性矩極慣性矩GIP：抗扭剛度：抗扭剛度pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式（實(shí)心截面）（實(shí)心截面）危險(xiǎn)點(diǎn)

15、的位置危險(xiǎn)點(diǎn)的位置圓截面邊緣處；圓截面邊緣處；pIRT pmaxITtmaxWTRIWPt令抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)討論討論僅適用于各向同性、僅適用于各向同性、線彈性材料，線彈性材料，在小變形條件下的在小變形條件下的等圓截面桿；等圓截面桿；AIApd2截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)計(jì)算截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)計(jì)算RIWPt公式的適用范圍公式的適用范圍mm4，m4。mm3，m3。 AdI2Ap實(shí)心圓截面：實(shí)心圓截面： d2I2D02p32D I4Pd2 Ad16DW 3t空心圓截面：空心圓截面： AdI2Ap)(Dd )dD(3244)1(16D W43t)1(32DI44p d2 Ad d2

16、I2D2d2p實(shí)心軸與空心軸實(shí)心軸與空心軸 Ip 與與 Wt 對(duì)比對(duì)比空心圓截面的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布空心圓截面的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實(shí)：

17、433116 16 DDWt1. 1. 等截面圓軸：等截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸： 例例1 1 功率為功率為150150kW，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為15.415.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子，許用切應(yīng)力子，許用切應(yīng)力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。D3 =135D2=75D1=70MMnP9.549mm)(kN55. 1：扭矩圖計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。此軸滿足強(qiáng)度要求。MPa23160701055133max.WTt計(jì)算外力偶矩T=mTxD3 =135D2=75D1=70MM例例2：已知：已知：P7.5kW, n

18、=100r/min，最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力不得超過(guò)不得超過(guò)40MPa,空心圓軸的內(nèi)空心圓軸的內(nèi)外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長(zhǎng)度相同。二軸長(zhǎng)度相同。求求: 實(shí)心軸的直徑實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直和空心軸的外直徑徑D2；確定二軸的；確定二軸的重量之比。重量之比。計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩實(shí)心軸實(shí)心軸31616 716 20 045m=45mm40 10.dmax13111640MPaxxPMMWdTTP7.5kW, n=100r/min，最大切應(yīng)力，最大切應(yīng)力不不得超過(guò)得超過(guò)40MPa, = 0.5。二軸長(zhǎng)度相同。二軸長(zhǎng)度相同。7 595499549716 2N m100.xPMTn空心

19、軸空心軸d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTT確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 實(shí)心軸實(shí)心軸d d1 1=45 mm=45 mm長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA例例3 3：已知：已知：P P1 114kW, 14kW, P P2 2= = P P3 3

20、= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm.求求: :各各軸軸橫截面上的最大切應(yīng)力橫截面上的最大切應(yīng)力。3P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min3113DDnn1 1、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速、計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速M(fèi)1=T1=1

21、114 N.mM2=T2=557 N.mM3=T3=185.7 N.m2、計(jì)算各軸的扭矩、計(jì)算各軸的扭矩33311nDnD360r/min311ZZn 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWT .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWT .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWT3 3、計(jì)算各軸的橫截面上的、計(jì)算各軸的橫截面上的 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力3例例4 一軸一軸AB傳遞的功率為傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速軸軸AC段為實(shí)心圓截面，段為實(shí)心圓截面，CB段為空心圓截面，如圖所示。段為空心圓截面，如圖所示。試計(jì)算試計(jì)算AC段橫截面

22、邊緣處的切應(yīng)力以及段橫截面邊緣處的切應(yīng)力以及CB段橫截面段橫截面上外邊緣處的切應(yīng)力。上外邊緣處的切應(yīng)力。kW5 . 7KPminr/360ncm2d，cm3DmN1999550nPmKmN199 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .372DIT61PAC外外MPa8 .46Pa108 .46262DITPCB外（1）計(jì)算外力偶矩）計(jì)算外力偶矩（2）計(jì)算極慣性矩）計(jì)算極慣性矩（3）計(jì)算應(yīng)力）計(jì)算應(yīng)力1、計(jì)算抗扭截面模量：、計(jì)算抗扭截面模量：)1(D16W43t)2(1 1643DtDD361024.29m2、軸的最大切應(yīng)力、軸的最大切

23、應(yīng)力例例5 某汽車傳動(dòng)軸，用某汽車傳動(dòng)軸，用45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為，使用時(shí)最大扭矩為T=1500 N.m, =60MPa。試校。試校核此軸的強(qiáng)度核此軸的強(qiáng)度,若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑當(dāng)，則實(shí)心軸的直徑 為多少？為多少？1DtmaxWTMPa3 .511024.2915006MPa60所以此軸安全。所以此軸安全。3、若此軸改為實(shí)心軸、若此軸改為實(shí)心軸MPa3 .51WTtmax31tD16WmMDx053. 0103 .511636ma

24、x,1實(shí)心軸的橫截面面積為實(shí)心軸的橫截面面積為2114DA22205mm空心軸的橫截面面積空心軸的橫截面面積2222687)(4mmdDA空心軸與實(shí)心軸的重量之比：空心軸與實(shí)心軸的重量之比：%3122056871212AAGG因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟(jì)。約材料、比較經(jīng)濟(jì)。實(shí)心與空心對(duì)比實(shí)心與空心對(duì)比采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。從截面的幾何性質(zhì)分析從截面的幾何性質(zhì)分析: :采用空心軸的優(yōu)勢(shì)采用空心軸的優(yōu)勢(shì)軸心附近處的應(yīng)力很小，軸心附近處的應(yīng)力很小，根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律

25、根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律:實(shí)心軸的軸心附近處的材料沒(méi)有較好地發(fā)揮其作用；實(shí)心軸的軸心附近處的材料沒(méi)有較好地發(fā)揮其作用；其極慣性矩其極慣性矩Ip必大于實(shí)心軸，必大于實(shí)心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wt也比較大，也比較大，強(qiáng)度和剛度均又提高；強(qiáng)度和剛度均又提高；橫截面面積相同的條件下，橫截面面積相同的條件下， 空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，空心軸材料分布遠(yuǎn)離軸心，通常所講保持強(qiáng)度不變，通常所講保持強(qiáng)度不變，對(duì)于軸的強(qiáng)度或剛度，對(duì)于軸的強(qiáng)度或剛度，采用空心軸的優(yōu)勢(shì)采用空心軸的優(yōu)勢(shì)即指最大切應(yīng)力值不變；即指最大切應(yīng)力值不變；保持剛度不變，保持剛度不變， 即指截面圖形極慣性矩保持不變。即指截面圖形極慣性矩保持不變。采

26、用空心軸比實(shí)心軸都較為合理。采用空心軸比實(shí)心軸都較為合理。1、受扭圓軸某截面的扭矩為、受扭圓軸某截面的扭矩為T20KN，直徑為，直徑為D100毫米。求該截面、三點(diǎn)的剪應(yīng)力，毫米。求該截面、三點(diǎn)的剪應(yīng)力，并在圖中標(biāo)示出方向。并在圖中標(biāo)示出方向。acbTD/42、內(nèi)外徑分別為、內(nèi)外徑分別為20毫米和毫米和40毫米的空心圓軸承受毫米的空心圓軸承受扭矩扭矩T1KNm的作用，計(jì)算的作用，計(jì)算A點(diǎn)（到圓心的距離為點(diǎn)（到圓心的距離為15毫米）的剪應(yīng)力，并畫出剪應(yīng)力的分布圖。毫米）的剪應(yīng)力，并畫出剪應(yīng)力的分布圖。A3、作扭矩圖，并求最大剪應(yīng)力。、作扭矩圖，并求最大剪應(yīng)力。M1600NmM2=200Nmd=40

27、d=304、n=80r/min，軸的許用剪應(yīng)力，軸的許用剪應(yīng)力60MP，設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑。設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑。PAPB=20KWPC=40KW5、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內(nèi)的最大、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力相等，求二段軸的直徑之比。剪應(yīng)力相等，求二段軸的直徑之比。300KWPB=200KWPC=500KW6、圓軸的外經(jīng)為、圓軸的外經(jīng)為D90毫米，壁厚為毫米，壁厚為2.5毫米。毫米。承受的內(nèi)徑為承受的內(nèi)徑為T1500N。軸的許用應(yīng)力為。軸的許用應(yīng)力為60MP，校核強(qiáng)度。，校核強(qiáng)度。7、畫出下列各圖的剪應(yīng)力的分布規(guī)律。、畫出下列各圖的剪應(yīng)力的分布規(guī)律。T空心T內(nèi)碳鋼、外內(nèi)碳鋼、外

28、合金鋼合金鋼T35 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形pGITx dd 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l一段桿兩截面間相對(duì)一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 為 xdGIT dl0p值不變）值不變）若若 T( GITl p抗抗變變形形剛剛度度桿桿件件長(zhǎng)長(zhǎng)度度內(nèi)內(nèi)力力扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的相對(duì)角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的相對(duì)角位移。niPiiiGIlT1如果內(nèi)力沿軸線變化，或截面尺寸發(fā)生變化如果內(nèi)力沿軸線變化，或截面尺寸發(fā)生變化二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三

29、、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp: 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度; 反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。)m/(180GITPmaxmax單單位位： 的數(shù)值按照對(duì)機(jī)器的要求決定：的數(shù)值按照對(duì)機(jī)器的要求決定：精密機(jī)器的軸：精密機(jī)器的軸：m/)5 .025.0(一般傳動(dòng)軸：一般傳動(dòng)軸：m/)15 .0(精度要求不高的軸：精度要求不高的軸：m/)5 .21 (剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：計(jì)算許可載荷： max

30、 max GT Ip max pGIT 有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。mKNM.81mKNM.32LBLC1M2MA例例1 圖示等截面圓軸，已知圖示等截面圓軸，已知d=90mm ,L=50cm, 軸的材料為鋼，軸的材料為鋼，G=80GPa,求（求（1）軸的最大切應(yīng)力；）軸的最大切應(yīng)力； （2）截面）截面B和截面和截面C的扭轉(zhuǎn)角；的扭轉(zhuǎn)角； （3）若要求）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在段的相等，則在BC段段鉆孔的孔徑鉆孔的孔徑d 應(yīng)為多大？應(yīng)為多大？lmBlmC1M2MAd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81m

31、KNM.32mKN.5mKN .3(1)軸的最大切應(yīng)力軸的最大切應(yīng)力m.KN5TmaxtmaxWT3316105dMPa5 .25lmBlmC1M2MATd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81mKNM.32ABC（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角截面截面B：pABABABBGIlT178.0rad00311.0lmBlmC1M2MAd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81mKNM.32mKN.5mKN .3TABCACCrad00125.0BCAB00311.0072.0pBCBCGIlT（3）BC段孔徑段孔徑dBCABBCpBCABpABGITGITABB

32、CABp44BCpTTI)dd(32Icm8m08. 0dlmBlmC1M2MA例例2 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用許用剪應(yīng)力剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。1 1：作內(nèi)力圖：作內(nèi)力圖maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40NmxT2 ：設(shè)計(jì)桿的外徑：設(shè)計(jì)桿的外徑T0mxTD 0.0226m。3 3 校核剛度校核剛度1

33、80maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D4 4、右端面轉(zhuǎn)角、右端面轉(zhuǎn)角為：為：L0PdxGIT20PdxGIx20 xGI10202P弧弧度度）( 033. 0例例3 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率輸入功率P1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 P2 = 200馬力及馬力及 P3 = 300馬力，已馬力，已知：知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

34、 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排,軸的受力合理？軸的受力合理？ 500400P1P3P2ABCm)(kN0247nN.m7.024 4.21Tx(kNm)1、內(nèi)力圖 500400P1P3P2ABCWTt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td2 按強(qiáng)度設(shè)計(jì)直徑 G180T32d I4 p按剛度條件設(shè)計(jì)直徑按剛度條件設(shè)計(jì)直徑Tx7.0244.21(kNm) 500400P1P3P2ABC180GITPmm4 .74d2 mm84d1 mm75 mm8521 d,d全軸選同一直徑時(shí)全軸選同一直徑時(shí) mm851 dd

35、 4.21Tx(kNm)2.814A輪和B輪應(yīng)該換位。軸的合理受力軸的合理受力扭矩的扭矩的絕對(duì)值最大者越小越合理；絕對(duì)值最大者越小越合理；換位后,軸的扭矩如下；軸的最大直徑為 75mm。 P3P1P2ABC1、M10.8KNm，M3=1.5KNm，d1=4厘米，厘米，d2=7厘米，厘米，,G=80Gpa，求，求AC二截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，及二截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，及軸內(nèi)最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。軸內(nèi)最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。M3AM2M1Cd2d10.8m1m2、軸的外經(jīng)為、軸的外經(jīng)為 D76毫米，厚毫米，厚2.5毫米，承毫米，承受的扭矩為受的扭矩為T1.98KN， 剪變模量剪變模量G80GP，許用扭轉(zhuǎn)角，許用扭

36、轉(zhuǎn)角2度度/m,許用剪應(yīng)力許用剪應(yīng)力為為100MP。校核該軸。校核該軸。3 3、傳動(dòng)軸每分鐘、傳動(dòng)軸每分鐘200200轉(zhuǎn)，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)，主動(dòng)輪2 2輸入輸入8080馬力，馬力，1 1、3 3、4 4、5 5分別輸出分別輸出2525馬力、馬力、1515馬力、馬力、3030馬力、馬力、1010馬力。馬力。 剪變模量剪變模量G G80GP80GP，許用扭轉(zhuǎn)角，許用扭轉(zhuǎn)角0.50.5/m,/m,許許用剪應(yīng)力為用剪應(yīng)力為60MP60MP。: :按等截面設(shè)計(jì)軸的直按等截面設(shè)計(jì)軸的直徑；：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請(qǐng)徑；：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請(qǐng)重新安排齒輪的位置，此時(shí)按等截面設(shè)軸的直徑；重

37、新安排齒輪的位置，此時(shí)按等截面設(shè)軸的直徑；：在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每：在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每一段軸的直徑。一段軸的直徑。213454、空心軸、空心軸1(外經(jīng)外經(jīng)D1，內(nèi)徑，內(nèi)徑)緊套在實(shí)心軸緊套在實(shí)心軸2（直（直徑為徑為2）上整體受扭，二軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為）上整體受扭，二軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為G1IP1，G2IP2，共同承受的扭矩為，共同承受的扭矩為M，求二軸內(nèi)，求二軸內(nèi)各自的最大剪應(yīng)力各自的最大剪應(yīng)力M5、AB段長(zhǎng)為段長(zhǎng)為1米，米，BC段長(zhǎng)為段長(zhǎng)為0.5米，米，P1KN，G80GP， AB70MPa。:設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)AB段軸的直徑。段軸的直徑。如果如果AB70MP，求

38、由于軸的扭轉(zhuǎn)而引起的，求由于軸的扭轉(zhuǎn)而引起的C點(diǎn)的鉛垂位移。點(diǎn)的鉛垂位移。(BC段的變形不計(jì)段的變形不計(jì))ABCP6、實(shí)心圓軸的直徑為、實(shí)心圓軸的直徑為D,受力如圖受力如圖,求求AC二截面二截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角、軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力。的相對(duì)轉(zhuǎn)角、軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力。M2MaaAC7、實(shí)心圓軸直徑為、實(shí)心圓軸直徑為D100毫米，在外力偶毫米，在外力偶M1、M2的作用下，的作用下，AC段內(nèi)的最大剪應(yīng)力為段內(nèi)的最大剪應(yīng)力為50MP。自由端相對(duì)于固定端扭轉(zhuǎn)了。自由端相對(duì)于固定端扭轉(zhuǎn)了0.1弧度?；《?。G80GP，作軸的扭矩圖。，作軸的扭矩圖。M2M11m1mAC8 階梯狀圓軸，階梯狀圓軸，D1120毫米，毫米，D

39、2100毫米，毫米，AB=BC=1m，G80GP，M215KN，若使，若使AC二截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為二截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為0，求，求M1？軸內(nèi)的最？軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力？大剪應(yīng)力？M2ABCM1D19、等截面?zhèn)鲃?dòng)軸的轉(zhuǎn)速為、等截面?zhèn)鲃?dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n191轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，由分，由A輪輸入輪輸入的功率為的功率為8KW，由，由B、C、D各輪輸出的功率分別為各輪輸出的功率分別為3KW，1KW，4KW。已知軸的許用剪應(yīng)力為。已知軸的許用剪應(yīng)力為60MPa，剪變模量為，剪變模量為G80GPa，許用轉(zhuǎn)角為，許用轉(zhuǎn)角為20/m。要求：首先合理安排各輪的位置，然后繪出。要求：首先合理安排各輪的位置，然后繪出軸的內(nèi)力圖，確定軸的直徑

40、軸的內(nèi)力圖，確定軸的直徑D。20020020010、外徑、外徑100毫米，內(nèi)徑毫米，內(nèi)徑80毫米的空心圓軸，與一直徑為毫米的空心圓軸，與一直徑為80毫毫米的實(shí)心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許米的實(shí)心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許用剪應(yīng)力為用剪應(yīng)力為45MPa，平鍵的尺寸為，平鍵的尺寸為101030。鍵的許。鍵的許用剪應(yīng)力為用剪應(yīng)力為100MPa，許用的擠壓應(yīng)力為，許用的擠壓應(yīng)力為bs=280MPa。（1）校核軸的強(qiáng)度（不考慮鍵槽的影響）（）校核軸的強(qiáng)度（不考慮鍵槽的影響）（2）確定平鍵的）確定平鍵的個(gè)數(shù)（個(gè)數(shù)（3）如何安排圓輪比較合理）如何安排圓輪比較合理30101

41、05KNm2.5KNm2.5KNm解決扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的方法解決扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題的方法靜力學(xué)關(guān)系；靜力學(xué)關(guān)系；物理關(guān)系；物理關(guān)系；補(bǔ)充方程；補(bǔ)充方程；變形協(xié)調(diào)關(guān)系；變形協(xié)調(diào)關(guān)系；聯(lián)立求解；聯(lián)立求解；圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題三關(guān)系法三關(guān)系法步驟步驟例例1長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固定端反力偶。試求固定端反力偶。02BAmmm這是一次超靜定問(wèn)題。這是一次超靜定問(wèn)題。1、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系L0PBAdxGIT2、

42、物理關(guān)系、物理關(guān)系20PAdxGIx20m0BA4 4、補(bǔ)充方程：、補(bǔ)充方程：0dxGIx20m20PAmN 20 AmmN 20Bm3、變形協(xié)調(diào)關(guān)系、變形協(xié)調(diào)關(guān)系例例2 2、一組合桿由實(shí)心桿、一組合桿由實(shí)心桿1 1和空心管和空心管2 2結(jié)合在一起所結(jié)合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模量為組成，桿和管的材料相同。剪切模量為G,G,試求組試求組合桿承受外力偶矩合桿承受外力偶矩M M以后，桿和管內(nèi)的最大剪應(yīng)力以后，桿和管內(nèi)的最大剪應(yīng)力; ;12MM2d1d補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程)dd(dTT41424121（4）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立,ddMT42411424142

43、2d)dd(MT（3）變形協(xié)調(diào)關(guān)系）變形協(xié)調(diào)關(guān)系21T12（1 1）靜力學(xué)關(guān)系）靜力學(xué)關(guān)系TTT21（2）物理關(guān)系：）物理關(guān)系： ,d32GlT4111)dd(32GlT414222（5）最大切應(yīng)力）最大切應(yīng)力桿桿1 1：管管2 2：1t11WT311d16T42116dMd2t22WT)dd(1d16T4213223216dM練習(xí)練習(xí) 一兩端固定的圓截面桿一兩端固定的圓截面桿AB受力偶矩作用如圖。受力偶矩作用如圖。要求要求：1）作扭矩圖；）作扭矩圖；2）若）若M=10KN.m,材料的材料的 =60MPa，試選擇此等直圓截面桿直徑。試選擇此等直圓截面桿直徑。MABClMDll扭轉(zhuǎn)靜不定問(wèn)題的解

44、法：扭轉(zhuǎn)靜不定問(wèn)題的解法：（1）建立靜力平衡方程；）建立靜力平衡方程；（3）變形協(xié)調(diào)條件；）變形協(xié)調(diào)條件；（4） 補(bǔ)充方程；補(bǔ)充方程；pGIlT（5）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解（2）應(yīng)用扭矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系）應(yīng)用扭矩與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系材料扭轉(zhuǎn)破壞的力學(xué)性質(zhì)材料扭轉(zhuǎn)破壞的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；36 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿非圓截面桿一、非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制，自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。工字鋼截面桿的自由扭轉(zhuǎn)工字鋼截面桿的自由扭轉(zhuǎn)橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力；橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力；平面假設(shè)不成立；平面假設(shè)不成立；須由彈性力學(xué)須由彈性力學(xué)方法求解。方法求解。各截面發(fā)生翹曲不保持平面；各截面發(fā)生翹曲不保持平面；由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用；由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用；對(duì)比對(duì)比圓截面桿與非圓截面桿的