教學(xué)目的及基本要求正確掌握并理解數(shù)列函數(shù)極限的概ppt課件

1、寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 教學(xué)目的及根本要求教學(xué)目的及根本要求: 1.正確掌握并了解數(shù)列，函數(shù)極限的概念正確掌握并了解數(shù)列，函數(shù)極限的概念.收斂數(shù)收斂數(shù)列的列的 性質(zhì)性質(zhì).第二章 極限與延續(xù)2.1 極限 2.可以運(yùn)用 言語(yǔ)處置數(shù)列極限的一些 問(wèn)題。 3.會(huì)運(yùn)用四那么運(yùn)算定理證明 重點(diǎn)與難點(diǎn)：數(shù)列。函數(shù)極限的概念。 課時(shí)：4學(xué)時(shí),N寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 2.1.1 數(shù)列極限數(shù)列極限 普通地普通地, 我們把按一定順序陳列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)我們把按一定順序陳列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為一稱為一個(gè)數(shù)列個(gè)數(shù)列. 例如例如 (1) (2) (3) (4)1,2 ,3,n1111,23n11

2、,1,1,1,1,n ,aaaa 都是數(shù)列都是數(shù)列. 通常也把數(shù)列寫(xiě)成通常也把數(shù)列寫(xiě)成12,nxxx寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng). 第第n項(xiàng)項(xiàng) 叫做數(shù)列的通叫做數(shù)列的通項(xiàng)或普通項(xiàng)項(xiàng)或普通項(xiàng). 因此因此, 數(shù)列可用通項(xiàng)簡(jiǎn)記為數(shù)列可用通項(xiàng)簡(jiǎn)記為 .nxnx上述數(shù)列上述數(shù)列(1)(4)的通項(xiàng)分別為的通項(xiàng)分別為 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列, 我們主要關(guān)注的是當(dāng)它的項(xiàng)數(shù)我們主要關(guān)注的是當(dāng)它的項(xiàng)數(shù) 無(wú)限增大時(shí)它的無(wú)限增大時(shí)它的變化趨勢(shì)變化趨勢(shì). 例如例如,當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列數(shù)列(1)中的數(shù)也隨著無(wú)限中的數(shù)也隨著無(wú)限增大增大; 數(shù)列數(shù)

3、列(2)卻變得越來(lái)越小而接近于卻變得越來(lái)越小而接近于0; 數(shù)列數(shù)列(3)在在1與與-1之之間交替取值間交替取值; 數(shù)列數(shù)列(4)不隨變化而恒為不隨變化而恒為 . 為此為此, 我們引入數(shù)我們引入數(shù)列收斂的定義列收斂的定義.1,1,nnxnannna定義定義1 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時(shí)時(shí), 數(shù)列數(shù)列 無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù) , n nx寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 那么稱數(shù)列那么稱數(shù)列 為收斂數(shù)列為收斂數(shù)列, 稱為稱為 時(shí)的極限時(shí)的極限, 記記為為 . 不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.nxn limnnx 顯然顯然, 這個(gè)定義是非常粗糙的這個(gè)定義是非常粗糙的, 由

4、于沒(méi)有闡明由于沒(méi)有闡明 時(shí)時(shí)與常數(shù)與常數(shù)A無(wú)限接近的準(zhǔn)確含義是什么無(wú)限接近的準(zhǔn)確含義是什么. 通俗地講通俗地講, 所謂所謂“ 時(shí)時(shí) 與常數(shù)與常數(shù)A無(wú)限接近指的是當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限接近指的是當(dāng)項(xiàng)數(shù) 充分充分大大時(shí)時(shí), 與常數(shù)與常數(shù)A的間隔無(wú)限小的間隔無(wú)限小,也就是也就是 的值可以小于的值可以小于任何指定的正數(shù)任何指定的正數(shù).n n nxnnxnx 寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 例如例如, 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列 , 假設(shè)我們指定它與假設(shè)我們指定它與0的間隔小于的間隔小于 , 那么只需那么只需 時(shí)就有時(shí)就有 ,假設(shè)指定它與假設(shè)指定它與0的的距距離小于離小于 ,那么只需那么只需 就有就有 , 1n110

5、10n 11010nxn1100100n 10100nx 同理同理, 假設(shè)指定它與假設(shè)指定它與0的間隔小于的間隔小于 , 那么只需那么只需 , 就就有有 , 110k10kn 1010nkx 因此因此, 時(shí)與常數(shù)時(shí)與常數(shù)A無(wú)限接近的準(zhǔn)確含義就是無(wú)限接近的準(zhǔn)確含義就是: 對(duì)對(duì)于于無(wú)論多么小的正數(shù)無(wú)論多么小的正數(shù) ,可以選擇一個(gè)充分大的自然數(shù)可以選擇一個(gè)充分大的自然數(shù)N,使得從使得從N以后數(shù)列的一切項(xiàng)，都滿足以后數(shù)列的一切項(xiàng)，都滿足n 0寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ nx 于是我們重新給出數(shù)列收斂的準(zhǔn)確定義于是我們重新給出數(shù)列收斂的準(zhǔn)確定義.定義定義2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有有l(wèi)im0,nnx

6、nNnx 例例1：證明：證明 .分析：對(duì)于分析：對(duì)于 要使得要使得 ，只須，只須 即即可滿足要求可滿足要求.證證: , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有有1lim1nnn0,111nnn1n10, N nN111nnn寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 故故1lim1nnn收斂數(shù)列收斂數(shù)列 有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)有如下簡(jiǎn)單性質(zhì):(i) 的極限是獨(dú)一的的極限是獨(dú)一的.(ii) 為有界數(shù)列為有界數(shù)列,即即 ,對(duì)于一切對(duì)于一切 均均 有有 .推論推論: 無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散無(wú)界數(shù)列一定發(fā)散nxnxnx0MnnxM注注: 數(shù)列收斂一定有界數(shù)列收斂一定有界, 但反之有界數(shù)列不一定收斂但反之有界數(shù)列不一定收斂. 例如例如 是有界數(shù)

7、列是有界數(shù)列,可它卻是發(fā)散的可它卻是發(fā)散的. 即數(shù)列有界是收即數(shù)列有界是收 斂的必要條件而非充分條件斂的必要條件而非充分條件. ( 1)n寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 2.1.2 函數(shù)極限函數(shù)極限1.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的極限自變量趨于無(wú)窮大時(shí)的極限 由于數(shù)列可看作是定義在自然數(shù)集上的特殊由于數(shù)列可看作是定義在自然數(shù)集上的特殊函數(shù)函數(shù) 從而可仿照數(shù)列極限定義給出函數(shù)從而可仿照數(shù)列極限定義給出函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限定義時(shí)的極限定義. ( )nf nx( )f xx 定義定義3假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 , 當(dāng)當(dāng) 有有 ,那么稱那么稱A為為 時(shí)時(shí) 的極限的極限, 記為記為 (或或 0,0MxM( )f

8、 xAx ( )f xlim( )xf xA( ),f xA x 在上述定義中在上述定義中,假設(shè)只當(dāng)假設(shè)只當(dāng) (或或 )時(shí)時(shí), 有有 xMxM 寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 有有 , 那么稱那么稱A為為 (或或 )時(shí)的時(shí)的極極限限.( )f xAx x 例例3 證明證明 .分析分析: , 要使要使 . 只須只須 即可即可.證證: ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 , 故故 .212lim33xxx0 21231333xxxx1x10, MxM212133xxx212lim33xxx寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 2.自變量趨于有限值時(shí)的極限自變量趨于有限值時(shí)的極限定義定義4 假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于

9、 ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 , 那么稱那么稱A為為 時(shí)時(shí) 的極限的極限, 記為記為0,0 00 xx( )f xA0 xx( )f x00lim( )( )xxf xAxxf xA或，）注注: 1) 定義中定義中 闡明闡明 時(shí)時(shí) 的極限與的極限與 在在 有無(wú)定義及有無(wú)定義及 為何值無(wú)關(guān)為何值無(wú)關(guān). 2) 是隨是隨 而確定的正數(shù)而確定的正數(shù), 通常情況是通常情況是 越小越小, 那么那么 也越小也越小.00 xx0 xx( )f x( )f x0 x0()f x寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 3.左左(右右)極限極限 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 只從只從 的左的左(右右)側(cè)單邊趨向于側(cè)單邊趨向于 時(shí)的極限時(shí)

10、的極限稱為稱為 時(shí)的左時(shí)的左(右右)極限極限. x0 x0 x0 xx左極限左極限:.)(,0,0bxfaxa恒有時(shí)使當(dāng)右極限右極限:.)(,0,0bxfaxa恒有時(shí)使當(dāng).)0()(lim)(0bafbxfaxax或記作.)0()(lim)(0bafbxfaxax或記作寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ lim( )lim( )lim( ).xaxaxaf xbf xf xb根據(jù)定義容易證明根據(jù)定義容易證明:例例4 討論討論 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限.21,1( ),1xxf xxx1x 解解: 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 因此因此 , 故故 不存在不存在.1x 11lim( )lim(

11、1)2xxf xx1x 211lim( )lim1xxf xx11lim( )lim( )xxf xf x1lim( )xf x寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 2.1.3 極限的運(yùn)算法那么極限的運(yùn)算法那么四那么運(yùn)算：假設(shè)函數(shù) 與 在 都存在極限，那么函數(shù) ， ， 也存在極限，且 (1) (2) (3) (4)( )f x( )g xa( )( )f xg x( ) ( )f x g x( )( )f xg x( ( )0)g x lim( )( )lim ( ) lim ( )xaxaxaf xg xf xg xlim ( ) ( )lim ( )lim ( )xaxaxaf x g

12、xf xg xlim ( )( )lim,lim ( )0( )lim ( )xaxaxaxaf xf xg xg xg x其中l(wèi)im( )lim( )xaxac f xcf x寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 例例5 求求 . 解解: 2231lim23nnnn222231131limlim3232nnnnnnnn2231lim(1)3lim(2)nnnnn22311limlim1322limnnnnnn例六例六 求求 . 解解: 原式原式 2226lim()22xxxx222(2)22limlim(2)(1)13xxxxxx寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 教學(xué)目的及根本要求：

13、教學(xué)目的及根本要求： 1.深化了解函數(shù)延續(xù)、函數(shù)左右極限、區(qū)間上函數(shù)延續(xù)、深化了解函數(shù)延續(xù)、函數(shù)左右極限、區(qū)間上函數(shù)延續(xù)、 延續(xù)點(diǎn)及其分類等概念。延續(xù)點(diǎn)及其分類等概念。 2.對(duì)普通的函數(shù)，特別是初等函數(shù)可以討論其延續(xù)點(diǎn)并且對(duì)普通的函數(shù)，特別是初等函數(shù)可以討論其延續(xù)點(diǎn)并且 分類。分類。2.2 函數(shù)的延續(xù)性重點(diǎn)與難點(diǎn)：函數(shù)延續(xù)的定義，延續(xù)點(diǎn)的判別及分類。重點(diǎn)與難點(diǎn)：函數(shù)延續(xù)的定義，延續(xù)點(diǎn)的判別及分類。課時(shí)：課時(shí)：2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 2.2.1 2.2.1 函數(shù)延續(xù)的定義函數(shù)延續(xù)的定義定義定義9 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)的某一鄰域內(nèi)有

14、定義，假設(shè) 那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0延續(xù)延續(xù).)()(lim00 xfxfxx )()(, 0, 0)(:)(000 xfxfxxxxfxf有有使當(dāng)使當(dāng)處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)語(yǔ)言表達(dá)如下語(yǔ)言表達(dá)如下連續(xù)的連續(xù)的函數(shù)函數(shù)右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)就就說(shuō)說(shuō)函函數(shù)數(shù)即即且且等等于于存存在在如如果果左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)就就說(shuō)說(shuō)函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果0000000000)(),()()()()(lim;)()()()()()(lim00 xxfxfxfxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxxxx 定義定義10 (左左(右右)延續(xù)延續(xù)) 寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:

15、/ 由函數(shù)的延續(xù)定義可知由函數(shù)的延續(xù)定義可知: 在點(diǎn)在點(diǎn) 延續(xù)的充要條件是延續(xù)的充要條件是 在點(diǎn)在點(diǎn) 左延續(xù)且右延續(xù)左延續(xù)且右延續(xù). ( )f x0 x( )f x0 x定義定義11 設(shè)設(shè) 函數(shù)函數(shù),當(dāng)自變量當(dāng)自變量 從初值從初值 變到終值變到終值 時(shí)時(shí),稱稱 為為 的改動(dòng)量的改動(dòng)量(或增量或增量), 為函數(shù)為函數(shù)的改動(dòng)量的改動(dòng)量.( )yf xx1x2x12xxx x12yyy 由定義由定義11,設(shè)設(shè) ,那么那么 于是定義于是定義9可改寫(xiě)為可改寫(xiě)為 或或0 xxx 00( )()()( )yf xf xf xxf x 000lim()()xf xxf x 000limlim()( )0 xx

16、yf xxf x 寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 從幾何上看，在從幾何上看，在 上延續(xù)的函數(shù)的圖形是一條無(wú)延續(xù)的曲上延續(xù)的函數(shù)的圖形是一條無(wú)延續(xù)的曲線，即是從點(diǎn)線，即是從點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的一筆畫(huà)成的曲線的一筆畫(huà)成的曲線見(jiàn)圖見(jiàn)圖2-3假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上每一點(diǎn)都延續(xù)上每一點(diǎn)都延續(xù),我們就稱我們就稱 在在 上延續(xù)或稱上延續(xù)或稱 為為 上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù)()fxII()fx()fxI, a b( ,( )A a f a( ,( )B b f b寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 我們通常把函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)分成以下三類：我們通常把函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)分成以下三類：二、函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)二、

17、函數(shù)的延續(xù)點(diǎn)定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)函數(shù)的某去心鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)函數(shù) f(x)f(x)有以下三種情形之一：有以下三種情形之一：(1)(1)在在x=x0 x=x0沒(méi)有定義；沒(méi)有定義；(2)(2)雖在雖在x= x0 x= x0有定義，但有定義，但 不存在；不存在；(3)(3)雖在雖在x= x0 x= x0有定義，且有定義，且 存在存在, ,但但那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0為不延續(xù)，而點(diǎn)為不延續(xù)，而點(diǎn)x0 x0稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)f(x)的不延續(xù)的不延續(xù)點(diǎn)或延續(xù)點(diǎn)點(diǎn)或延續(xù)點(diǎn). .)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 寧 德 師 專 數(shù) 學(xué) 系http:/ 1.可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn):2.第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn): 與與 均存在但不相等均存在但不相等 3.第二類延續(xù)點(diǎn)：第二類延續(xù)點(diǎn)： 與與 兩者至少有一個(gè)不兩者至少有一個(gè)不 存在存在 00lim( )()xxf xAf x0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim( )xxf