第二節(jié)點的坐標與向量的坐標

1、第二節(jié)點的坐標與向量的坐標第二節(jié)第二節(jié) 點的坐標與向量的坐標點的坐標與向量的坐標一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系二、向量的坐標及向量線性運算的二、向量的坐標及向量線性運算的 坐標的表示坐標的表示三、三、向量的模、方向角和投影向量的模、方向角和投影第二節(jié)點的坐標與向量的坐標一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系1 1、空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系組成一個空間直角坐標系. . 坐標原點坐標原點 O . . 坐標軸坐標軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過空間一定點過空

2、間一定點 O,O 坐標面坐標面 卦限卦限( (八個八個) )面xoy面面yozzox面面第二節(jié)點的坐標與向量的坐標xyzo向徑向徑 對應對應11坐標軸上的點坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點坐標面上的點 A , B , C .點點 M特殊點的坐標特殊點的坐標:有序數(shù)組有序數(shù)組 對應對應11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC(稱為點稱為點 M 的坐標的坐標)原點原點 O(0,0,0) ;rrM在直角坐標系下在直角坐標系下),(zyx),(zyxO第二節(jié)點的坐標與向量的坐標坐標面坐標面: :xyzo面面yo

3、x0 z面面yoz0 x面面zox0 y坐標軸坐標軸: 軸軸x 00zy軸軸y 00zx軸軸z 00yx第二節(jié)點的坐標與向量的坐標八個卦限上點八個卦限上點 M(x,y,z) 的特點的特點: 0, zyx第第I I卦限上：卦限上：0, 0 zyx第第IIII卦限上：卦限上：0, 0, 0 zyx第第IIIIII卦限上：卦限上：0, 0, 0 zyx第第IVIV卦限上：卦限上：0 z 第第V V、VIVI、VIIVII、VIIIVIII卦限上的點依次卦限上的點依次把第把第I I、IIII、IIIIII、IVIV卦限中卦限中z改為改為：第二節(jié)點的坐標與向量的坐標xyzo 1MPNQR 2M?|21

4、MMd2221|2NMNMd 2、空間兩點間的距離、空間兩點間的距離設設 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) 為空間上的兩點為空間上的兩點, ,|22221NMPNPM |,|121xxPM |,|12yyPN |,|122zzNM .)()()(|21221221221zzyyxxMMd 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解 ),(xMd2223 ,13 ),(yMd2222 , 8 ),(zMd到到 y 軸軸 ； 到到 z 軸軸 ；到到 原點原點.2232 ,13 OMd 222232 ,17 例例1 1 求點求點 M(2,3,2)

5、到到 x 軸的距離軸的距離.例例 求點求點 M(x,y,z) 到各坐標軸、各坐標面的距離到各坐標軸、各坐標面的距離.思考思考 求點求點 M(x,y,z) 關于坐標原點、各坐標軸、各關于坐標原點、各坐標軸、各坐標面的對稱點坐標面的對稱點.第二節(jié)點的坐標與向量的坐標例例 求點求點 M(x,y,z) 到各坐標軸、各坐標面的距離到各坐標軸、各坐標面的距離.到到 x 軸的距離：軸的距離：),(xMd到到 y 軸的距離：軸的距離：),(yMd到到 z 軸的距離：軸的距離：),(zMd到到 xoy 平面的距離：平面的距離：, | zd 到到 yoz 平面的距離：平面的距離：|,| xd 到到 zox 平面的

6、距離：平面的距離：. | yd ,22zy ,22zx ,22yx 思考思考 求點求點 M(x,y,z) 關于坐標原點、各坐標軸、各關于坐標原點、各坐標軸、各坐標面的對稱點坐標面的對稱點.第二節(jié)點的坐標與向量的坐標x0zyM點的對稱點點的對稱點關于關于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)關于關于x軸軸:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0關于原點關于原點:(x,y,z) (-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解可設可設P點坐標為點坐標為(x,0,0),2223)2( x 1PP,22PP2221)1

7、(2 x112 x即即222 x,1 x故所求點為故所求點為 (1,0,0) 或或 ( 1,0,0) .解得解得第二節(jié)點的坐標與向量的坐標二、向量的坐標及向量線性運算的坐標的表示二、向量的坐標及向量線性運算的坐標的表示在空間直角坐標系下在空間直角坐標系下, ,則則xoyzMBCijkA設點設點 M 的坐標為的坐標為 M (ax , ay , az),a NMONOM OCOBOAN任意向量任意向量 可用向徑可用向徑 OM 表示表示. .a, iaOAx , jaOBy ,kaOCz kajaiaazyx a此式稱為向量此式稱為向量 的標準分解式的標準分解式, ,akajaiazyx,稱為向量稱

8、為向量 沿三個坐標軸方向的分向量沿三個坐標軸方向的分向量. .第二節(jié)點的坐標與向量的坐標1. 向量的坐標表示向量的坐標表示kajaiaazyx 的的稱為向量稱為向量 aaaazyx,坐標坐標.(coordinates)的的稱稱為為向向量量 aaaaazyx),( 坐標表示式坐標表示式.若點若點M的坐標為的坐標為(x, y, z), 則矢徑：則矢徑：).,(zyxOM 向量的分解表達式說明：任何向量可以表向量的分解表達式說明：任何向量可以表示為示為 的線性組合，組合系數(shù)的線性組合，組合系數(shù) 就是該向量的坐標就是該向量的坐標.zyxaaa,kji,第二節(jié)點的坐標與向量的坐標2. 向量線性運算的坐標

9、的表示向量線性運算的坐標的表示,),(, ),(為為實實數(shù)數(shù)設設 zyxzyxbbbbaaaa , ),(zzyyxxbabababa 則則,),(zzyyxxbabababa . ),(zyxaaaa ,0 時時當當 a平行向量對應坐標成比例平行向量對應坐標成比例:abab .zzyyxxababab 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解例例1 設設 M1 (1, 3, 4), M2(2, 1, 3), 求求 ,21 OMOM,21 OMOM.21 MM 21MM 21OMOM 21OMOM),7, 4, 3()3, 1, 2()4, 3, 1( ),1, 2, 1()3, 1, 2()4, 3,

10、 1( ).1, 2, 1()4, 3, 1()3, 1, 2( .),(,),(2122221111的的坐坐標標表表示示式式的的向向量量為為終終點點為為起起點點以以求求 MMzyxMzyxM例例. ),(121212zzyyxx 21MM第二節(jié)點的坐標與向量的坐標例例2 2 已知兩點已知兩點 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)及實數(shù)及實數(shù) 1, 在直線在直線AB上求一點上求一點 M ,使使.MBAM 解解 設設 M 的坐標為的坐標為(x, y, z), 如圖所示如圖所示ABMo 11得得 ),(zyx即即AMMB AMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OM

11、 OBOA (MAB)1,1,1(212121 zzyyxx第二節(jié)點的坐標與向量的坐標)1,1,1(),(212121 zzyyxxzyx說明說明 由由得定比分點公式得定比分點公式: :,121 xxx,121 yyy.121 zzz,1時時當當 點點 M 為為 AB 的中點的中點 ,于是得中點公式于是得中點公式: :ABMo,221xxx ,221yyy .221zzz 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標三、向量的模、方向角和投影三、向量的模、方向角和投影1. 向量的模向量的模,),(zyxa 設向量設向量,aOM 作作xoyzM,),(zyxM 的坐標為的坐標為則點則點 |a|OM),(zyx22

12、2zyx 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式例例1 1 設設求以向量求以向量的平的平行四邊形的對角線的長度行四邊形的對角線的長度. . 為邊為邊nm,2,kjnjim 故對角線的長度分別為故對角線的長度分別為.11, 3 對角線的長為對角線的長為解解mn|,|,|nmnm ),1 ,1,1( nm),1,3,1( nm, 3| nm,11| nm第二節(jié)點的坐標與向量的坐標2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦,0),( zyxa給給定定oyzxa 與三坐標軸正向所成的與三坐標軸正向所成的夾角夾角 , , 稱稱為為 的方向角的方向角. .aa方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向

13、余弦. . ,0( ,0 . )0 cosax ,222zyxx cosay ,222zyxy cosaz .222zyxz 方向余弦的坐標表達式方向余弦的坐標表達式:方向余弦通常用來方向余弦通常用來表示向量的方向表示向量的方向. .第二節(jié)點的坐標與向量的坐標,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 非零向量非零向量 的方向角的方向角 , , 21MM第二節(jié)點的坐標與向量的坐標)2,2,2(1M和和的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. . 計算向量計算向量例例1 1 已知兩點已知兩點, )0,3,1(2M21MM解解,21 ,23 )20 , )2,1,1( (21 MM211|21

14、MM, 2 ,21cos ,21cos ,22cos ,32 ,3 .43 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解注意：與已知向量平行的單位向量有兩個注意：與已知向量平行的單位向量有兩個, 一個與一個與 同向同向,一個反向一個反向a222)6(76| a,11 |0aaa ,116117116kji 或或|0aaa .116117116kji 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標1coscoscos222 方向余弦的性質方向余弦的性質a特殊地：與特殊地：與 同向的單位向量同向的單位向量ae|aa ).cos,cos,(cos ),(zyxaaaa 當已知當已知 的模與方向角時的模與方向角時, 由由 ,cos|

15、aax ,cos| aay cos|aaz 可求出其坐標可求出其坐標.第二節(jié)點的坐標與向量的坐標. )0, 1 , 3( a).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或例例5 5依次為依次為,4,3 求求點點 A 的的坐標坐標. . 設點設點 A 位于位于第一卦限第一卦限, ,向向徑徑 OA 與與 x 、 y 軸軸的夾角的夾角 ,6| AO且且. )3,23,3(第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解,3,6 則有則有 222coscos1cos , 0 , 3cos| aax, 1cos| aay, 0cos| aaz. )0, 1 , 3( a. 0cos 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標解解,4,3

16、 則則有有 222coscos1cos ,21cos ,41 )3,1(21 zyxPP則則設點設點P2的坐標為的坐標為(x,y,z),21cos x 21 ; 2 x20cos y 23cos z 22 , 2 y, 2, 4 zz21 故點故點P2的坐標為的坐標為 ).2 , 2, 2()4 , 2, 2(或或第二節(jié)點的坐標與向量的坐標例例5 5依次為依次為,4,3 求求點點 A 的的坐標坐標. . 設點設點 A 位于位于第一卦限第一卦限, ,向向徑徑 OA 與與 x 、 y 軸軸的夾角的夾角 ,6| AO且且解解,4,3 則則有有 222coscos1cos ,41 且點且點 A 在第一

17、在第一卦限卦限, ,21cos )cos,cos,(cos6 )21,22,21(6 ),3,23,3( AO故故點點 A 的的坐標為坐標為 . )3,23,3(第二節(jié)點的坐標與向量的坐標3. 向量的投影向量的投影1) 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 過點過點 A 作軸作軸 u 的垂直平面的垂直平面,交點交點 A 即為點即為點 A 在軸在軸 u 上的投影上的投影. 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標2) 向量在向量上的投影向量在向量上的投影過過 M 點作平面垂直于點作平面垂直于b所所在的直線并交該直在的直線并交該直線于點線于點M ，則稱則稱有向線段有向線段 MO為向量為向量a在在向向量量b上的投影向量上的投影向量. M NaMOb 第二節(jié)點的坐標與向量的坐標2) 向量在向量上的投影向量在向量上的