圓的方程題型總結(jié)按題型,含詳細(xì)答案

1、圓的方程題型總結(jié)一、基礎(chǔ)知識(shí)1圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ;圓心，半徑.圓的一般方程為 _;圓心 ，半徑二元二次方程 Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0表示圓的條件為：； 2. 直線和圓的位置關(guān)系：直線Ax By C 0,圓(x a)2 (y b)2 r2，圓心到直線的距離為 d.貝y：( 1)d=；(2)當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；(3)弦長公式： .3. 兩圓的位置關(guān)系2 2 2 2 2 2圓 Ci: (x- Hi) + (y- bi) = ri ；圓C?： (x- a?) + (y- b?) = d則有：兩圓相離 ； 外切 ；相交 ； 內(nèi)切 內(nèi)

2、含 .、題型總結(jié):(一)圓的方程 1. x2 y2 3x y 1 0的圓心坐標(biāo)，半徑. 2 .點(diǎn)(2a,a 1)在圓x2 +y2 2y 4=0的內(nèi)部，貝U a的取值范圍是()11A. 1a1B. 0 a1C. - 1aD. a155 3.若方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)所表示的曲線關(guān)于直線y x對(duì)稱，必有2A. E F.D, E, F兩兩不相等 4 .圓 x2ax2ay 2a23a的圓心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 5.若直線3x-4y+ 12 = 0與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為A,B,則以線段AB為直徑的圓的方程是2 2A. x + y +4x- 3

3、y=0 B.2 2x+y-4x-3y=02 2C. x + y +4x- 3y- 4=0 D.2 2x + y - 4x- 3y + 8 = 6.過圓 x2y24 外一點(diǎn) P 4,2作圓的兩條切線，切點(diǎn)為 代B,則 ABP的外接圓方程是()A. (x 4)2+(y 2)2=4B.x2+(y 2尸=4C. (x 4)2+(y2)2=5D.(x2)2+(y 1)2=5C (- 3, 0),求厶ABC外接圓的方程.A.(x-3)2 +(y+1) = 4B.2(x+ 3)2+ (y- 1) = 4C.(x-1)2 +(y-、21) = 1D.(X+1)2 2+ (y+ 1) = 1 8.圓x2 2y2

4、x6y 90關(guān)于直線2x y50對(duì)稱的圓的方程是A.(x7)2(y1)2 1B . (x7)2 (y 2)2 1C.(x6)2(y2)2 1D. (x6)2 (y 2)2 1 7.過點(diǎn)A(1,- 1), B (- 1,1)且圓心在直線2= 0上的圓的方程(x + y- 9.已知 ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A (4, 1), B (6,- 3), 10.求經(jīng)過點(diǎn)A(2 , - 1)，和直線x y 1相切，且圓心在直線 y 2x上的圓的方程.2.求軌跡方程2 2 11.圓x y 4y 120上的動(dòng)點(diǎn)Q，定點(diǎn)A 8,0 ，線段AQ的中點(diǎn)軌跡方程 12.方程 x y 1 x2 y2 4 0所表示的圖形

5、是（）A. 條直線及一個(gè)圓B.兩個(gè)點(diǎn)C. 一條射線及一個(gè)圓D.兩條射線及一個(gè)圓 13.已知?jiǎng)狱c(diǎn) M到點(diǎn)A （2, 0）的距離是它到點(diǎn) B （8, 0）的距離的一半，求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2 ）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn) N的軌跡.3.直線與圓的位置關(guān)系 14.圓（x-1）2+y2=1的圓心到直線y二 fx的距離是（）D.A. 1 B.2 15.過點(diǎn)（2,1）的直線中，被x2 +2x+ 4y =0截得弦長最長的直線方程為A. 3x- y-5=0B.3x+ y-7=0C. x+ 3y-3= 0D.x- 3y + 16.已知直線l過點(diǎn)2,0）,當(dāng)直線I與圓x2y22x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k

6、的取值范圍是（A.(2 2,2 2)B. (2, . 2)C.(D.44 17.圓 x24x0在點(diǎn)P（1, 3）處的切線方程為A.xC.x3yx 3yC.3vav- 2D.2 、3 v a25519.直線x 2y 30與圓(x 2)2(y3)29交于E、F兩點(diǎn)，貝為()A.3B.-C.6/5D 3/5245520.過點(diǎn)M( 0, 4),被圓(x1)2y24截彳得弦長為2.3的直線方程為EOF (O為原點(diǎn))的面積 21 .已知圓C x122 y 225 及直線 l : 2m 1 x m 1 y7m 4.(1) 證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線I與圓C恒相交;(2) 求直線I與圓C所截得的弦長的最短長

7、度及此時(shí)直線I的方程.PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn),. . 2 2 22.已知圓x+y+x 6y+m=0和直線x+2y 3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以求實(shí)數(shù)m的值.4. 圓與圓的位置關(guān)系2 2 2 2 23.圓x y 2x 0與圓x y 4y 0的位置關(guān)系為 24 .已知兩圓 G：x2 y2 10,C2：x2 y2 2x 2y 14 0.求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的公共弦所在的直線方程A. x+y+3=0B.2x y 5=0C. 3x y 9=0D.4x 3y+7=0 26.兩圓 C1 : x2y2 2x 2y 20 , C2:22x y 4x2y10的公切線有且僅有（)A. 1條B. 2條C.3條D.4條 2

8、7.已知圓C1的方程為f （x, y）0，且P（x, y）在圓C外,圓C2的方程為f (x, y)= f (x, y)，則G與圓C2 一定( )A .相離B.相切C.同心圓D.相交). . 2 2 2 2 25 .兩圓x +y 4x+6y=0和x +y 6x=0的連心線方程為( 28.求圓心在直線x y0上，且過兩圓x22 2y 2x 10 y 240 , x2y 2x 2y 80 交點(diǎn)的圓的方程.5.綜合問題2 29.點(diǎn)A在圓x2y 2y上，點(diǎn)B在直線yx 1 上,則AB的最小 30.若點(diǎn)P在直線2x 3y 100上,直線PA,PB分別切圓x22y 4于A, B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最

9、小值為（）A 24 B 16 C 8 D 4 31直線y x b與曲線x J y2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則 b的取值范圍是（）A.B.1 b 1 且 b . 2c.1 b 170 km 處,以上答案都不對(duì) 32.如果實(shí)數(shù)x, y滿足x2 y2 4x 10求:（1）y的最大值；x（2）y x的最小值；2 2（3）x y的最值. 33一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西受影響的范圍是半徑長 30 km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線, 那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響圓的方程題型總結(jié)參考答案1 (- 3 1) 血2 2 29解：解法一

10、：設(shè)所求圓的方程是 (x a)2 (y b)2 r2 .因?yàn)?A (4, 1), B (6, - 3), C (-3, 0)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是(4 a)2 (1 b)2r2,a 1,(6 a)2( 3b)2r2,可解得 b3,(3 a)2(0b)2r2.r225.所以 ABC的外接圓的方程是（x 1）2 （y 3）225 .解法二：因?yàn)?ABC外接圓的圓心既在 AB的垂直平分線上，也在 BC的垂直平分線上，所以先求 AB所以M坐標(biāo)（X1, y1）滿足：x/ y12 16將代入整理，得（x 1）2 y24 .BC的垂直平分線方程,求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心3 142 ， kBC

11、0(3)1_?363線段AB的中點(diǎn)為（5,-1），線段BC的中點(diǎn)為 AB的垂直平分線方程為3BC的垂直平分線方程 y 323(x2(x2)-5),坐標(biāo).3)，解由聯(lián)立的方程組可得1ABC外接圓的圓心為E（ 1,- 3）, 3.,(a 2)2(2a 1)2 |a 2a 1|, (a2)2 (12a)2 2(1 a)2，圓心為（1 , - 2），半徑為.2 ,所求的圓的方程為（x 1）2(y2)2 2.11. (x 4)2+(y1)2=4 ;13 .解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M （x,y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合P M | MA |1嚴(yán)|.由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為.(x 2)2-

12、21 2 2y 2 (x 8) y，平方后再整理，得 x2 y2 16 . 可以驗(yàn)證,這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x, y） , M的坐標(biāo)是（X1,y1).由于A （2, 0）,且N為線段 AM的中點(diǎn)，所以2x1x -,20 %y1 .所以有為 2x22 , y1 2y由（1）題知，M是圓x2 y2 16上的點(diǎn),所以N的軌跡是以(1 , 0)為圓心，以2為半徑的圓(如圖中的虛圓為所求)14.解法一：如圖，在矩形 APBQ中，連結(jié)AB , PQ交于M，顯然OM AB , | AB PQ在直角三角形AOM2由OMAM(導(dǎo)(屮也即x2y2 2r2解法二:又IPQ2(x a)2)中

13、,(x a)2 (y b)2 r2 ,4(a2 b2)，這便是Q的軌跡方程.、 2 設(shè)Q(x , y)、A , yj、B(x? , y?)，則 xAB2，即2y12 2r , X22y2r2(y b)2 (X1 X2)2 (y1 y2)2 2r2 2(x2y2) 又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故x a x1 x2, y b y1y2，即2 2 2(x a) (y b) 2r2&必2 y2)+，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.;=0 或 15x+ 8y 32=0;22 .解: 直線方程l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 ,可以改寫為m 2x y 70,所以直線必經(jīng)

14、過直線2x y 7 0和x y 4 0的交點(diǎn)由方程組2x y 7x y 40,解得x0 y3,即兩直線的交點(diǎn)為A(3,1)又1因?yàn)辄c(diǎn)A 3,1與圓心C 1,2的距離d .55,所以該點(diǎn)在C內(nèi),故不論m取什么實(shí)數(shù),直線I與圓C恒相交(2)連接AC ,過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D . BD為直線被圓所截得的最短弦長此時(shí)，AC|5, BC 5,所以BD 2 25 54 5 即最短弦長為 4 5 .又直線AC的斜率kAC11,所以直線BD的斜率為2.此時(shí)直線方程為：y 1 2x 3,即2x y 5 0.2yi y2423.解：由xxy2 x 6y m 025y220y 12 m 02

15、y 3 012 myy5又 OPL OQxiX2+yiy2=0,而 xix2=9 6( yi+y2)+4 yiy2= 4m 275.4m 27512 m 0 解得 m=3.524.相交；25.29.解法一：（利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心）將兩圓的方程聯(lián)立得方程組2 2x y 2x iOy 24 0x2 y2 2x 2y 8 0解這個(gè)方程組求得 兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo) A （ 4，0），B（0，2）.因所求圓心在直線 x y 0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（x, x），則它到上面的兩上交點(diǎn)（4, 0）和（0, 2）的距離相等，故有 4一X）2（0一x）2.x2（2一x）2 ,即4x 12，二x 3, y

16、x 3，從而圓心坐標(biāo)是（一3, 3）.又r43）2#10,故所求圓的方程為（x 3）2 （y 3）2 10 .解法二：（利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程）同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo) A （ 4, 0）, B（ 0, 2）,弦AB的中垂線為2x y 30 ,它與直線x y 0交點(diǎn)（3, 3）就是圓心，又半徑 r ,10 ,故所求圓的方程為（x 3）2 （y 3）210 .解法三：（用待定系數(shù)法求圓的方程）同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A （ 4, 0）, B（0, 2）.設(shè)所求圓的方程為（x a）2 （y b）2 r2，因兩點(diǎn)在此圓上，且圓心在x y 0上，所以得方程組（4 a）2 b2 r2a 3a2

17、 （3 b）2 r2，解之得b 3 ,a b 0r 10故所求圓的方程為（x 3）2 （y 3）210 .解法四：（用“圓系”方法求圓的方程過后想想為什么）設(shè)所求圓的方程為x2 y2 2x 10y 24(x2 y2 2x 2y 8) 0 (1),222(1)2(5)8(3)門即 x2 y2xy0 1 1 115可知圓心坐標(biāo)為(，)1 1因圓心在直線x y 0上，所以1一 5一 0，解得2 1 1將2代入所設(shè)方程并化簡，求圓的方程x2y2 6x 6y 8 0 33. (1).3 ； (2).6 2 ； (3)x2y24.3 ；x2y27 4 3.minmax34解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為 匕，y

18、j、（x2 , y2）.一方面，由OP OQ，得kop koQ1，即也1，也即：X1X2 丫1丫2 0 X1 X2另一方面,(X1 , yj、（X2, y2）是方程組2y2yx 6y的實(shí)數(shù)解，即 x1、x2是方程m 025x 10x 4m27的兩個(gè)根.4m 27X1X2X-|X2又P、Q在直線2y30上,1二山 2(3 X1)將代入，得y1 y22(3m5X2)12將、代入，解得m1丄9 3(X14X2)代入方程，檢驗(yàn)X1X2 0成立，二 m 3 解法二：由直線方程可得3 x 2y，代入圓的方程x2 y2 x 6y m 0，有221m2x y 3(x 2y)(x 6y) 7(x 2y) 0，由于x 0，故可得(4m 27)(y)24(m 3)- 12 m 0 .xx- kp, koQ是上述方程兩根.故 kop koQ1.得12 m4m 271，解得m 3 .經(jīng)檢驗(yàn)可知 m 3為所求.35解:以A、B所確定的直線為x軸，AB的中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系./ AB10，二 A( 5,0) , B(5,0).設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x,y)，且P地居民選擇 A地購買商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/公里，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/公里因?yàn)镻地居民購貨總費(fèi)用滿足條件：價(jià)格+