第8章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)

1、School of Automation EngineeringSchool of Automation Engineering1. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其特性狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其特性 對(duì)離散系統(tǒng)對(duì)離散系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋控制，控制量為采用狀態(tài)反饋控制，控制量為)k()k()k()k(B)k(Ax)k(DuCxyux 1( )( )( )kkkurKxSchool of Automation Engineeringn閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由 決定，且系統(tǒng)階次不變；通過(guò)選取決定，且系統(tǒng)階次不變；通過(guò)選取，

2、可改變系統(tǒng)的可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性；穩(wěn)定性；n閉環(huán)系統(tǒng)的可控性由閉環(huán)系統(tǒng)的可控性由及及決定；如開環(huán)系統(tǒng)決定；如開環(huán)系統(tǒng)是可控的，則閉環(huán)系統(tǒng)也可控，反之亦然；是可控的，則閉環(huán)系統(tǒng)也可控，反之亦然；n閉環(huán)系統(tǒng)的可觀性由閉環(huán)系統(tǒng)的可觀性由及及 決定；如果決定；如果開環(huán)系統(tǒng)是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于開環(huán)系統(tǒng)是可控可觀的，加入狀態(tài)反饋控制，由于的不同選擇，閉環(huán)系統(tǒng)可能失去可觀性；的不同選擇，閉環(huán)系統(tǒng)可能失去可觀性；(1)() ( )( )( )() ( )( )kkkkkkxABK xBryCDK xDrSchool of Automation Engineering 對(duì)如下離散系統(tǒng)，討論引入線性

3、狀態(tài)反饋后閉環(huán)對(duì)如下離散系統(tǒng)，討論引入線性狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的可控及可觀性。系統(tǒng)的可控及可觀性。【解解】：易證原系統(tǒng)是可控可觀的。引入狀態(tài)反饋控制：易證原系統(tǒng)是可控可觀的。引入狀態(tài)反饋控制：其中其中 ，則閉環(huán)系統(tǒng)為，則閉環(huán)系統(tǒng)為其中其中)(.)()()()(kkykkkxuxx1502264201)()()(kkkKxru21kkK)k(B)k(A)k(B)k(BA)k(crxrxKx1)k()k()k(kBAAc21213222122KSchool of Automation Engineeringn可控性可控性因?yàn)橛幸驗(yàn)橛泄书]環(huán)系統(tǒng)是可控的。故閉環(huán)系統(tǒng)是可控的。n可觀性可觀性而而可見可觀性

4、與狀態(tài)反饋矩陣選擇有關(guān)可見可觀性與狀態(tài)反饋矩陣選擇有關(guān)2542142121)kk()kk(BBAAcc48cWdet213534150kk.AToCCW2151351kko.detWSchool of Automation Engineering2. 狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置 n狀態(tài)反饋時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為狀態(tài)反饋時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 即狀態(tài)反饋矩陣即狀態(tài)反饋矩陣 決定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征決定了閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。根。n若系統(tǒng)是完全可控的，則通過(guò)選取反饋矩陣若系統(tǒng)是完全可控的，則通過(guò)選取反饋矩陣 可以可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的特征根。0BAzdetAzdet)z(c

5、KIISchool of Automation Engineeringn若單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的，則系統(tǒng)可寫成若單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的，則系統(tǒng)可寫成可控標(biāo)準(zhǔn)型：可控標(biāo)準(zhǔn)型：n其特征方程為其特征方程為)(.)(.)(kkaaaaknnnuxx100010000100001011210111nnnnaza.zazAzdet ISchool of Automation Engineering若狀態(tài)反饋控制為若狀態(tài)反饋控制為此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)為特征方程為特征方程為即可由即可由 任意配置特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）任意配置特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）)()()(kkkKxrunkkk.21K)(.)()(.)(

6、)()(.)(kkkakakakaknnnnrxx100010000100001011322110111)ka(.z )ka(z)BA(zdetnnnnKISchool of Automation Engineering 若給定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為若給定閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為則狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 使上式兩端對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等（匹配），即可求得使上式兩端對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等（匹配），即可求得 。nizii.,21)z).(z)(z()BA(zdetn21KISchool of Automation Engineeringn例例8.2 設(shè)原開環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)方程為 試確定

7、狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K，使閉環(huán)極點(diǎn)為z10.4與z20.6。 解解 易知原開環(huán)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，但不穩(wěn)定。 期望特征多項(xiàng)式為 狀態(tài)反饋閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 比較以上兩式系數(shù)，可得 k10.2，k21.4，即 K0.2 1.4 111(1)( )( )01.21kkk xxu2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz12212121211detdet(2.2)(1.22.2)1.2zkkzzkkzkkkzk IABKSchool of Automation Engineering （2）可控標(biāo)準(zhǔn)型法）可控標(biāo)準(zhǔn)型法 n設(shè)原開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其特征多項(xiàng)式為 (1)( )( )k

8、kkxAxbu1110d et()nnnzzaza zaIA如果系統(tǒng)完全可控，則可以通過(guò)線性變換 得 1xPx(1)( )( )cckkkxA xb u其中 0121010000100001cnaaaaA001cc bSchool of Automation Engineering 對(duì)上式引入狀態(tài)反饋 則對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)為 ( )( )( )kkkurKx(1)() ( )( )ccckkkxAb K xb r其閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 1111100det()()()nnccnnzzakzak zakIAb K與期望特征多項(xiàng)式比較，可得 000111111nnnkakaka而對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣

9、為 1KKPSchool of Automation Engineering例例 8.3 用可控標(biāo)準(zhǔn)型法求解例8.2中的狀態(tài)反饋矩陣。 n解 可求得原系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為 對(duì)其可控標(biāo)準(zhǔn)型引入狀態(tài)反饋,有 閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為 比較系數(shù)可得 可控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣 由此可求得 2det()2.21.2zzzIA210det( 2.2)(1.2)cczzk zk IAb K2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz0.961.2 K01102.211.212.2111P155660.961.20.21.451166 KKPSchool of Automation Engineering阿克曼阿克

10、曼以可控標(biāo)準(zhǔn)型為基礎(chǔ)，一種便于計(jì)算機(jī)求解反饋矩陣K 的方法計(jì)算公式其中，K(A)是給定期望特征多項(xiàng)式中的變量 z 用A代替后所得的矩陣多項(xiàng)式，即11100( )nKKAbAbbA1110( )nnKnzAAAISchool of Automation Engineering例例8.4 用阿克曼公式法求解例8.2中的狀態(tài)反饋矩陣。 n 解解 由原系統(tǒng)狀態(tài)方程可得已知閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為 011.21Abb2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz即20.241.2( )0.2400.48KAAAI由阿克曼公式可得 110( )550.241.2100.21.46600.4810 KAb

11、b ASchool of Automation Engineering1. 1. 輸出反饋的結(jié)構(gòu)形式與特點(diǎn)輸出反饋的結(jié)構(gòu)形式與特點(diǎn) (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx( )( )( )kkkurFy設(shè)原線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為引入?yún)⒖驾斎胂蛄縭 r( (k)，則輸出反饋的控制向量可表示為其閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為可以證明，輸出反饋的引入不改變系統(tǒng)的可觀性輸出反饋的引入不改變系統(tǒng)的可觀性 School of Automation Engineering2. 輸出反饋與極點(diǎn)配置輸出反饋與極點(diǎn)配置 n一般而言，輸出反饋是不能任意地配置系統(tǒng)的全部極點(diǎn)的。這是由于輸出信息并不包含系

12、統(tǒng)的全部結(jié)構(gòu)信息，故不能任意改變其閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。 n如果原系統(tǒng)是完全可控與完全可觀的，并存在足夠多的線性獨(dú)立的輸出，則可以通過(guò)輸出反饋來(lái)任意配置閉環(huán)極點(diǎn)。 n如果一個(gè)n階系統(tǒng)有至少n個(gè)線性獨(dú)立的輸出，那么系統(tǒng)的狀態(tài)可由該系統(tǒng)的輸出和輸入導(dǎo)出。相應(yīng)的輸出反饋也可由狀態(tài)反饋導(dǎo)出。 School of Automation Engineering111(1)( )( )01.21kkk xxu10( )( )11kkyx例例 8.58.5 設(shè)原開環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)空間描述為試確定輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)的反饋增益矩陣F F，使閉環(huán)極點(diǎn)為z10.4與z20.6。 解： 2( )(0.4)(0.6)0.24F

13、zzzzz1221222121211detdet1.2(22.2)(1.22.23.2)zfffzffzfzffzff IABFC121222.211.22.23.20.24ffff 已知閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為設(shè)F Ff1 f2，可得狀態(tài)反饋閉環(huán)特征多項(xiàng)式為解得 f11.6，f21.4，即F F1.6 1.4則有 School of Automation Engineering 1. 開環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器開環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器 已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 構(gòu)造一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)模型 (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx(1)( )( )kkkxAxBuSchool of Automatio

14、n Engineeringn若令 為觀測(cè)誤差，即可得到觀測(cè)誤差的狀態(tài)方程為 ( )kx ( )( )( )kkkxxx(1)( )kkxAx 可見，觀測(cè)器的性能將由原系統(tǒng)的參數(shù)矩陣A決定。如果原系統(tǒng)矩陣A是不穩(wěn)定的，則觀測(cè)誤差將隨時(shí)間發(fā)散；如果矩陣A是穩(wěn)定的，但收斂速度很慢，觀測(cè)誤差也不能很快收斂到零，從而影響觀測(cè)效果。 School of Automation Engineering2. 閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì) n根據(jù)具體實(shí)現(xiàn)形式的不同，有兩種實(shí)現(xiàn)閉環(huán)狀態(tài)觀測(cè)器的基本方法。一種是利用當(dāng)前的輸出來(lái)觀測(cè)下一時(shí)刻的狀態(tài)，這稱為預(yù)報(bào)觀測(cè)器；另一種是利用當(dāng)前的輸出來(lái)觀測(cè)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，故

15、稱為現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器。 School of Automation Engineering（1）預(yù)報(bào)觀測(cè)器）預(yù)報(bào)觀測(cè)器 n預(yù)報(bào)觀測(cè)器的方程 (1 )(1)( ) ( )(1) (1)( )( )kkk kkkk kk kkkxAxBuL yCxALC xBuLy預(yù)報(bào)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差方程 (1) (1)kkk kxALC x 可見觀測(cè)誤差與系統(tǒng)輸入u(k)無(wú)關(guān)，其動(dòng)態(tài)特性由矩陣ALC決定。 School of Automation Engineeringn狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置n通過(guò)設(shè)計(jì)誤差反饋增益矩陣L 對(duì)觀測(cè)器極點(diǎn)進(jìn)行任意配置的充要條件是原系統(tǒng)狀態(tài)是完全可觀的。n狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的相關(guān)

16、方法均可用于狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)。注意到狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)與狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的對(duì)偶關(guān)系，其阿克曼公式 為為 1110( )0nL CAL ACACSchool of Automation Engineering 例例8.6 設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 試設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，要求觀測(cè)器的極點(diǎn)為z1,20.2。 解 易知原系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀，設(shè)觀測(cè)器的誤差反饋增益矩陣為L(zhǎng)l1，l2T，可得觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為 010(1)( )( )1 11kkk xxu( )20( )kkyx12211221det()det121(21)(1 22 )zlzlzzlzllIALC而觀測(cè)器的期望特征多項(xiàng)式為 22( )(0.2)0.

17、40.04Lzzzz解得 0.30.18LSchool of Automation Engineering(2) 現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器 n當(dāng)前時(shí)刻的開環(huán)觀測(cè)值n將現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器構(gòu)造為 于是可得 ( )(1)(1)kkkxAxBu( )( ) ( )( )kkkkxxL yCx( )(1)(1) ( )(1)(1) (1) (1)( )kkkkkkkkkxAxBuL yCAxCBuALCA xBLCB uLy現(xiàn)時(shí)觀測(cè)誤差方程： ( ) (1)kkxALCA xSchool of Automation Engineering(3) 降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器設(shè)計(jì) n在系統(tǒng)的全部狀態(tài)中，可能有一部分狀態(tài)

18、( ) 是可以直接在輸出端獲取其測(cè)量值，而另一部分 ( ) 則必須通過(guò)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)。n如果只針對(duì)其需要觀測(cè)的部分狀態(tài)構(gòu)造觀測(cè)器，即為。n設(shè)原系統(tǒng)經(jīng)線性變換具有以下形式：1111112222122112( )(1)( )( )( )( )( )( )( )0( )qkkkkkkkkkkxBAAxPAPxPBuuxBAAxyCPxIxSchool of Automation Engineeringn其降維觀測(cè)器方程n觀測(cè)誤差方程n觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖 111211122212(1)( ) ( ) ( )(1)kkkkkxALAxALAyBLB uLy11111211(1)(1)(1)( )kkkkxxxA

19、LAxSchool of Automation Engineering 1. 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu) 考慮如下被控系統(tǒng)： 引入狀態(tài)反饋 (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx( )( )( )kkkurKxSchool of Automation Engineering2 . 分離性原理分離性原理 n狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程n設(shè)觀測(cè)器為預(yù)報(bào)觀測(cè)器，其觀測(cè)器觀測(cè)誤差方程 由于 (1)( ) ( )( )( )( )( )kkkkkkkxAxB rKxAxBKxBr(1) ( )kkxALC x( )( )( )kkkxxx 則有

20、 (1)( ) ( )( )( ) ( )( )( )kkkkkkkkxAxBK xxBrABK xBKxBr與觀測(cè)誤差方程聯(lián)立，可得帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 (1)( )( )(1)0( )0kkkkkxABKBKxBrxALCxSchool of Automation Engineeringn其相應(yīng)的特征多項(xiàng)式為n閉環(huán)系統(tǒng)由兩部分組成：一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律時(shí)所給定的n個(gè)極點(diǎn)，即控制極點(diǎn)，另一部分則是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)觀測(cè)器時(shí)所給定的n個(gè)極點(diǎn)，即觀測(cè)器極點(diǎn)。即分離性原理。n根據(jù)分離性原理，在設(shè)計(jì)帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)時(shí)，可以將狀態(tài)反饋控制規(guī)律與觀測(cè)器的設(shè)計(jì)分開進(jìn)行。 2d

21、etdet00detdet( )( )nnnnnKLzzzzzzzIABKBKABKBKIIALCALCIABKIALCSchool of Automation Engineering 3. 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則 n一般地，先根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求確定相應(yīng)的控制極點(diǎn)，即系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)，并按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益K。 n若系統(tǒng)輸出測(cè)量中不存在較大的噪聲，可按觀測(cè)器的狀態(tài)跟蹤速度為控制極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)速度的26倍來(lái)選擇觀測(cè)器極點(diǎn)，使得整個(gè)系統(tǒng)的性能主要由控制極點(diǎn)（即系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)）決定，并由此設(shè)計(jì)觀測(cè)誤差反饋增益L； n如果測(cè)量噪聲很大，其狀態(tài)跟蹤

22、速度將按低于2倍系統(tǒng)響應(yīng)速度設(shè)計(jì)，此時(shí)，觀測(cè)器極點(diǎn)將對(duì)系統(tǒng)性能產(chǎn)生較大影響，一般需要與控制極點(diǎn)綜合考慮。 School of Automation Engineering4. 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的控制器帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的控制器 n將狀態(tài)反饋與觀測(cè)器的設(shè)計(jì)結(jié)果結(jié)合起來(lái)，便構(gòu)成該系統(tǒng)的數(shù)字控制器 School of Automation Engineeringn 以預(yù)報(bào)觀測(cè)器為例，引入狀態(tài)反饋控制律 代入觀測(cè)器方程，有 對(duì)以上兩式在零初始條件下取 z 變換，可得 由此可得控制器的 z 傳遞函數(shù)形式，即 ( )( )kk uKx(1) ( )( )kkkxABKLC xLy( )(

23、 )( )( )( )zzzzzz XABKLC XLYUKX1( )( )( )tU zD zzY z KIABKLCLSchool of Automation Engineering5. 設(shè)計(jì)舉例設(shè)計(jì)舉例 n例例 8.9 衛(wèi)星的空間姿態(tài)控制通常是通過(guò)其三軸姿態(tài)控制系統(tǒng)來(lái)完成的。這里僅考慮其各個(gè)單軸姿態(tài)控制系統(tǒng)。在不考慮系統(tǒng)擾動(dòng)的情況下，單軸姿態(tài)控制的運(yùn)動(dòng)方程可表示為 令uMC /J，則有 采用計(jì)算機(jī)控制，設(shè)采樣周期 T0.1秒，試設(shè)計(jì)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制規(guī)律，以保持衛(wèi)星在該軸上的姿態(tài)，并要求閉環(huán)系統(tǒng)具有等效于 s 平面阻尼比 0.5和實(shí)部為1.8rad/s的特征根所確定的閉環(huán)特性。 CJMuSchool of Automation Engineeringn解 選擇狀態(tài)變量可得 加零階保持器將其離散化（T0.1s），可得被控系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間描述為 12,xx1122010( )001xxu txx 12( )10 xy tx1122(1)( )10.10.