第二 高階導(dǎo)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第二第二 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 第1頁/共20頁例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( x)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnx

2、y , !n ) !()1( nyn. 0 第2頁/共20頁例例3)(1110nnnnnyaxaxaxay求求 解解1221102)1( nnnnaxaxanxnay231202)2)(1()1( nnnaxannxannyknknknkakxaknnnxaknnny !)()2)(1()1()1(110)(0)(!anyn 第3頁/共20頁注意注意: : 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合不要急于合并并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明證明)逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式例例4 4.)

3、,1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn第4頁/共20頁例例5 5.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)( nxxn第5頁/共20頁例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )ar

4、ctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 第6頁/共20頁2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()()(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式

5、第7頁/共20頁例例7 7.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第8頁/共20頁例例8)0(arctan)()(nfxxf，求，求設(shè)設(shè) 解解得得由由211)(xxf 1)()1(2 xfx由由Lebniz公式，兩邊求公式，兩邊求 n 階導(dǎo)數(shù)，有階導(dǎo)數(shù)，有0)()1()(2 nxfx0)1()(! 2)1()1()()1()(2)

6、2(2)1(2)( xxfnnxxfnxxfnnn0)()1()(2)()1()1()()1(2 xfnnxnxfxfxnnn第9頁/共20頁得得令令0 x0)0()1()0()1()1( nnfnnf注意到注意到1)0(, 0)0( ff0)0()2( nf)!2()1()0()12(nfnn 注注這一解法的特點(diǎn)：找到了這一解法的特點(diǎn)：找到了xyarctan 的連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用的連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用0 x得到兩相隔導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解決問題得到兩相隔導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解決問題 第10頁/共20頁3.3.間接法間接法: : 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四

7、則通過四則運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()()2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnnnnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx第11頁/共20頁例例9 9.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx第12頁/共20頁例例1010.,c

8、ossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn第13頁/共20頁例例11試從試從ydydx 1導(dǎo)出導(dǎo)出322)(yydyxd 5233)()(3yyyydyxd 解解)()(yxxyy yxy 得得由由ydydx 1)1()(22ydyddydxdyddyxd 第14頁/共20頁dydxydxd )1(yyy 1)(123)(yy )(2233d

9、yxddyddyxd )(3yydyd dydxyydxd )(3yyyyyyy 1)()(3)(62352)()(3yyyy 第15頁/共20頁注注關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，必須注意并分清是對(duì)哪關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，必須注意并分清是對(duì)哪一個(gè)變量來求導(dǎo)數(shù)，尤其是求高階導(dǎo)數(shù)。一個(gè)變量來求導(dǎo)數(shù)，尤其是求高階導(dǎo)數(shù)。yydxyddxdy ,22都是對(duì)都是對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo))( )(22xfxf 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)對(duì)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)xxfyxf)( )(22 代回代回求導(dǎo)數(shù)再用求導(dǎo)數(shù)再用對(duì)對(duì)即是即是22)()()(2xuuufyufxfxu 第16頁/共20頁三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.第17頁/共20頁思考思考題題設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 第18頁/