圓錐曲線解題技巧竅門和方法綜合方法精心排版

1、圓錐曲線的解題技巧、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為（Xi,yJ，（X2,y2），代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數(shù)。2 2如：（1）a7 b7 1（a b 0）與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點為M（xo,yo），亠Xoyo.門則有二 2k 0。a bx2y2（2）p -y 1（a0,b0）與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點為M（xo,yo）a b則有Xoa2（3）y2=2px （po ）與直線I相交于A、B設(shè)弦AB中點為M（xo,yo），則有2yok=2p,即

2、yok=p.典型例題給定雙曲線過A（ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點及，求線段的中點P的軌跡方程。（2 ）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、 構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。x2 y2典型例題 設(shè)P（x,y）為橢圓飛 吉 1上任一點，已（c,o），F(xiàn)2（c,o）為焦點,a bPF1F2，PF2F1。sin（ ）（1）求證離心率esin sin（2）求PFPF2I3的最值。（3 ）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方 程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的 思想，通過圖形的直觀性幫助分析

3、解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大 曲線的定義去解。典型例題拋物線方程2 p(x 1)(p 0)，直線y t與(軸的交點在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2) 設(shè)直線與拋物線的交點為 A、B,且OA丄OB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t) 的表達(dá)式。(4) 圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常 利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。(1),可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出 a

4、的范圍，即：“求 范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對于(2)首先要把厶NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求 它的最大值，即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最 值問題，關(guān)鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別 式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p0)，過M (a,0 )且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點 A、B, |AB| 0 )，求動

5、點M的軌跡方程，并說明它是什么曲(6) 存在兩點關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題， 可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)典型例題已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線對稱(7 )兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題， 常用來處理或用向量的坐標(biāo)運算來處理典型例題已知直線的斜率為，且過點,拋物線,直線與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。（1 ）求的取值范圍；（2）直線 的傾斜角 為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直四、解題的技巧方面：在教

6、學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時， 除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少 計算量。典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點，0為坐標(biāo)原點，若，求 的值。（2）充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標(biāo)而不求它， 而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有 關(guān)斜率、中點等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點0,焦點在軸上的橢圓與直線相交

7、于P、Q兩點，且，求此橢圓方程。（3）充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點，且圓心在直線 ：2x 4y 10上的圓的方程。(4) 充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求 最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。2 2x y .典型例題P為橢圓P 7T 1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上a b端點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)。(5) 線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長的方法是：把直線方程

8、y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為， ，判別式為，則|AB| 1 k2 |xA xB| 1 k ，若直接用結(jié)論，能減|a|少配方、開方等運算過程。例 求直線x y 10被橢圓x2 4y216所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點， 結(jié)合圖形運 用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運算。2 2例 、 是橢圓- 厶1的兩個焦點，AB是經(jīng)過 的弦，若，259求值 |F2A|F2b| 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例 點A( 3,2)為定點，點F是拋物線的焦點，點P在

9、拋物線 上移動，若|PA| |PF|取得最小值，求點P的坐標(biāo)圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五種：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式(2 )與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k tan ,0,)點到直線的距離dAxo By。 C夾角公式：tan(3 )弦長公式直線 y kx b 上兩點 A(Xi, %), B(X2, y2)間的距離：AB| & |xi x? J(i k2)(xX2)2 4X2或 AB J1 右仏 y?(4)兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2k1k2=-l l1 /12k1 k2且b1 b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的

10、形式有幾種？(三種形式)2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：1(m 0,n 0且m n)m n距離式方程： (x c)2 y2 Jx c)2 y2 2a參數(shù)方程：x acos ,y bsin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種2 2標(biāo)準(zhǔn)方程：- 1(m n 0) m n（3）、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：竺；雙曲線：空；拋物線：2paa（4）、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？2 2女口 ：已知Fl、F2是橢圓 乞1的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足43MFi MF2 2則動點M的軌跡是（）A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線（5）、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時，S f1pf2 b2tan 1

11、2P在雙曲線上時，S f1pf2 b2 cot -（其中 F1PF2,cos| pf I2 | pf |2 4c2 LLiir uum iLur Luiiur 幣黑|45?玨吋呵跡）（6）、記住焦半徑公式：（1） 橢圓焦點在X軸上時為a exo；焦點在y軸上時為a ey，可簡記為“左加右減，上加下減”。（2）雙曲線焦點在x軸上時為e|x| a（3）拋物線焦點在x軸上時為|捲| p焦點在y軸上時為|力| 2 、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？橢圓： b2+c 2=a2雙曲線： a2+b 2=c 2第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩

12、點為（X1, y1）， （X2, y2,），代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式，消去四個 參數(shù)。2 2設(shè)Axi,yi、B X2,y2 , M a,b為橢圓 才 /1的弦AB中點則有2 2 2 2X11AX2y2 1，一 2 21;兩式相減得X1 X22 2y1y20434343x1x2 xx2y1 y2 y1y23a43kAB :=4b2、聯(lián)立消兀法：求弦長：設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一 個二次方程，使用判別式0,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式。兩交點問題：設(shè)曲線上的兩點AdyJ, B(x2,y2)，將這兩點代入曲線方程得到 !兩個式子，然后整體

13、消元；若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系， 消去一個，比如直線過焦點，貝何以利用三點 A、B、F共線解決之。若有向量 的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為 y kx b，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x2 5y2 80上，且點A是橢圓短軸 的一個端點(點A在y軸正半軸上).(1 )若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線 BC的方程；(2)若角A為90 , AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點弦 BC 的斜率，從而寫出直線 BC的方程。第二問抓住角 A為90可得出

14、AB丄AC,從 而得X1X2 y“2 14(yi y?) 16 0 ,然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點 D的軌跡 方程；解：(1 )設(shè) B ( X1 , y1 ) ,C( X222221,準(zhǔn)也120162016兩式作差有(X1X2)(X1X2)20(力 y2)(y1 y?)16y2 ),BC 中點為(X。 yo),F(2,0)則有0 十 0 (1)F(2,0)為三角形重心,所以由x1x232，得 xo由 y1 y2 430得yo2，代入(1 )得k 65直線BC的方程為6x 5y282)由 AB 丄 AC 得 X1X2y”214(yi y2)160(2)設(shè)直線BC方程為ykx b,代入 4x2

15、 5y280，得(45b2802 25k2)x2 10bkx5b28010kb x xX1 X22 , x1 x22124 5k2 4 5k2224b 80k代入 4 5k8ky1 y24 5k29b 32b 160，解得b 4(舍)或b4 5k(2)式得直線過定點(0,4)，設(shè)D ( x,y)，9所以所求點D的軌跡方程是x2(y3、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中ABy則一1，即 9y29x232y16 0(孕)2(y 4)。2CD，點E分有向線段AC所3成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當(dāng)-34時，求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)

16、公式、雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy ,如x2 y2圖，若設(shè)C c,h ,代入飛古1,求得h L ,進(jìn)而求得Xe L ,yE L ,再代入2a b詁 話1，建立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0，整理f(e, )0，此運算量可見是難上加難我們對h可采取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù) f (a,b,c,)0，整理 f(e,)o,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線2 y b21，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得a為X軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD丄y軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B

17、為焦點，由雙曲線的對稱性知 C、D關(guān)于y軸對稱依題意，記A c,0 , C j,h , Exo，yo ,其中c 1|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，由定比分點坐標(biāo)公式得yo2設(shè)雙曲線的方程為篤ae2h24 b2e22由式得4h2b21e241 b22由題設(shè)-解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為7, 10分析：考慮AE, AC為焦半徑，可用焦半徑公式,AE , AC用E,C的橫坐標(biāo)表將式代入式，整理得e2 4 43e2 13234得，3 1廠7 e 10示，回避h的計算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,AEa exE , ACa ex：,c2 c 又IAE _21 |AC|1，

18、代入整理2 1亠？3e2 2 4解得、7 e J0所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7, .104、判別式法2 2例3已知雙曲線C : 1，直線I過點A.2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1時，雙2 2曲線的上支上有且僅有一點B到直線I的距離為-2，試求k的值及此時點B的坐標(biāo). 分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié) 合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草 圖，不難想到：過點B作與I平行的直線，必與雙曲線 C相切.而相切的代數(shù)表 現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：I : y k（x2）0 k 1直線I在I的上方且到直

19、線I的距離為J 2I: ykx 、2k22,2k求解把直線I的方程代入雙曲線方程，消去y,令判別式0解得k的值解題過程略.分析2 :如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點B到直線I的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題簡解：設(shè)點M（x,、2 x2）為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線I的距離為:kx 込_x2 運k于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程. 由于0 k 1，所以廠2 x kx，從而有kxx2.20 k 12 x2m)k2(x1 1)(X21)2(k1)X1 X22 2(km)(x.| x2) kunr uuir

20、 MA MB(6 m 1)k2 53k2 11 2(2m 才(3疋 1) 2m3k2 11436m 143(3k2 1)注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有6m 14 0,uuir uur彳，此時MA MB當(dāng)直線AB與X軸垂直時，此時點A B的坐標(biāo)分別為，當(dāng)m 7時,3,uur uuur 亦有MA MB綜上，在x軸上存在定點M 7 ,0 ,3使MA MB為常數(shù).點石成金:uuir uurMA MB(6m 1)k2 53k2 112(2m -)(3k2 1)33k2 12m6m 143(3k2 1)例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在X軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M (2，1)，平行于

21、OM的直線I在y軸上的截距為m (m丸)，I交橢圓于A、B兩個不同點。（I）求橢圓的方程；（H）求m的取值范圍；（皿）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為2 x2 a1(a b 0)2橢圓方程為-8a 2b 則4aa2i解得b2T直線I平行于0M且在y軸上的截距為m又 Kom = 2I的方程為:1y -x2y由2x81x22y2m2 2x 2mx 2mi直線I與橢圓交于A、B兩個不同點,解得(2m)22 m4(2m24)0,2,且 m 0（皿）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為ki,k2，只需證明ki+k 2=0 即可則kiyi i，k2xi 2y iX2

22、2由X222mx 2m40可得Xix22m, x-|X22mi2 4而kik2 yi iy2i (yii) (X22) (y2 i)(Xi 2)x-i2X22(Xi2)(X22)(2 &m i)(x22)(x2m2i)(xi2)(Xi2)(X22)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),且xi4X22m,xiX22m2xix2 (m 2)(xi x2) 4(m i) (Xi 2)(X22)2m24 (m 2)( 2m) 4(m i)(Xi 2)(X22)2 22m 4 2m 4m 4m 40(xi 2)(X22)k1 k20故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金：直線MA

23、、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形匕k2 02例10、已知雙曲線篤a2 令1的離心率e詈，過5皿3的直線到原點的(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y kx5(k0)交雙曲線于不同的點C, D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程:解：,原點到直線AB :b 1的距離aba 2 b 21, a v 3 .故所求雙曲線方程為2(2)把y kx 5代入x3y23中消去y，整理得(1 3k2)x23(kx 78 0設(shè)Cxi,yi),D(X2,y2),CD勺中點是 E(x,y)，則xk BEx 1 x 22y。1X015 k1 3k 21 k .y 0 kx 0553k 2X。kyk0,5

24、k2 23k 21 3k 20,又k0,k2故所求k= 士 ; 7 .點石成金：C, D都在以B為圓心的圓上 BC=BD BE丄CD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距 離的最大值為3，最小值為1 .(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).思維流程:2 x 解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -2 a2 y b21(ab 0),由已知得:a c 3, a c 1,a 2, cb21,c2 3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(II)設(shè) A

25、(X1, yj, B(X2, y2).聯(lián)立y kx m,2 2x y 1.43得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3)0 ,則64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0,即3 4k2 m20,8mk& X22,3 4k24(m2 3)2 3 4k2x1x22又 y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k %x2 mk(x1 x2)3(m2 4k2)3 4k2因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kAD kBD1，即y22x223(m24k2)4(m2 3)15mk4 0 .34k23 4k23 4k2解得：m12k2k， m2，且均滿足31 .ym X1X2 2(Xi X2)