【數(shù)學(xué)】江蘇省2021年3月南師附中、淮陰、天一、海門四校數(shù)學(xué)聯(lián)考_

1、2021 屆高三調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題2021.03.02數(shù)學(xué)（ i ） 必做題部分留意事項(xiàng)考生在答題前請仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及答題要求1. 本試卷共 4 頁，包含填空題（第1 題第 14 題）、解答題（第 15 題第 20 題）本卷滿分為 160 分，考試時(shí)間為 120 分鐘考試終止后，請將答題卡交回2. 答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3. 作答試題，必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上指定位置作答，在其它位置作答一律無效4. 如需作圖，須用2b 鉛筆繪、寫清晰，線條、符號(hào)等須加黑、加粗高三數(shù)學(xué)（ i）試題 第8頁 （共 14頁）

2、2參考公式： 樣本數(shù)據(jù)x1 , x2 ,l, xn 的方差 s1n xix 2，其中1 nxxi ；n i 11n i 1棱錐的體積公式： vsh ，其中 s 是棱錐的底面積，h 是棱錐的高 .3一、填空題： （本大題共 14 小題，每道題 5 分，共計(jì) 70 分. 不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上 ）1. 設(shè)集合 a1,k1 ， b2,3，且 a ib2，就實(shí)數(shù) k 的值為2. 設(shè) i 是虛數(shù)單位，就復(fù)數(shù)i的模為2 i次數(shù)12345得分33302729313. 下表是某同學(xué)五次數(shù)學(xué)附加題測試的得分情形，就這五次測試得分的方差為.開頭4. 如圖是一個(gè)算法流程圖，就輸出的s

3、的值為.a5, s15. 已知sin 211，就3 tan1tan 2的值為.a4nyssax 2y 26. 以雙曲線1 的中心為頂點(diǎn)，右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的aa1輸出s4 12終止拋物線方程為.第 4 題圖y7. 右圖是函數(shù)f xsinx0 圖像的一部分，1y0x0就的值為.8. 如一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2cm ，側(cè)棱長為 3cm，36ox0xy0就它的體積為 cm.-19. 將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）先后拋擲兩次第 7 題圖得到的點(diǎn)數(shù) m 、 n 分別作為點(diǎn) p 的橫、縱坐標(biāo)，就點(diǎn) p 不在直線 xy .5 下方的概率為10. 已知圓 c 的圓心 c

4、在直線 x2 y10 上，且圓 c 經(jīng)過兩點(diǎn) a（ 0,4），b（ 2,2），就圓 c 的方程為.11. 已知函數(shù)f x xr 是奇函數(shù)，當(dāng) x0時(shí)，f xlog 1 2x21 ，就滿意不等式f log 3 x2f 20 的 x 的取值范疇是.12. 已知數(shù)列 a n ， bn 的通項(xiàng)公式分別為a2 n ， b3n ，如nnc na1bna2 bn 1a3bn 2anb1，就數(shù)列c n 的通項(xiàng)公式為.13. 已知函數(shù)f xx22 x 圖像上有兩點(diǎn)a x1, y1、bx2, y2，x1x20 ，如曲線yf x 分別在點(diǎn) a 、 b 處的切線相互垂直，就2x1x2 的最大值是.14. 設(shè)函數(shù)f x

5、2ax 2bx3a1，當(dāng) x4,4 時(shí)，f x0 恒成立， 就 5ab 的最小值是.二、解答題：（本大題共 6 小題，共 90 分. 解答時(shí)需寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（ 14 分）如圖，在 abc 中， cd2db .c（ 1）如 adx abybc （ x、y 為實(shí)數(shù)），求x、y 的值；（ 2）如 ab=3 ， ac=4 ， bac=60 ，求 adbc 的值 .dab16.（ 14 分）如圖，在五面體abcdef 中，四邊形 abcd 是平行四邊形 .（ 1）如 cf ae ，ab ae ，求證：平面 abfe 平面 cdef ；ef（ 2）求證： ef/ 平面 abcd.

6、dc17.（14 分）如圖（ 1），有一塊外形為等腰直角三角形的薄板，a腰ac 的長為 a 米（ ba 為常數(shù)），現(xiàn)在斜邊 ab 上選一點(diǎn) d，將 acd 沿 cd 折起，翻扣在地面上，做成一個(gè)遮陽棚，如圖（ 2） . 設(shè) bcd 的面積為 s，點(diǎn) a 到直線 cd 的距離為 d. 實(shí)踐證明，遮陽成效y 與s、d 的乘積 sd 成正比，比例系數(shù)為k（ k 為常數(shù)，且 k0） .（ 1）設(shè) acd=，試將 s 表示為的函數(shù)；（ 2）當(dāng)點(diǎn) d 在何處時(shí)，遮陽成效正確（即y 取得最大值）？cdcbsadb圖（ 1）a圖（ 2）218.（ 16 分）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，橢圓 c ： xa 22

7、y1ab b 20 的離心率為 1 ，2右焦點(diǎn) f（ 1,0），點(diǎn) p 在橢圓 c 上，且在第一象限內(nèi)，直線pq 與圓 o： x 2y 2b 相2p切于點(diǎn) m.y（ 1）求橢圓 c 的方程；（ 2）求 pm pf 的取值范疇；m（ 3）如 op oq，求點(diǎn) q 的縱坐標(biāo) t 的值 .ofxq19.（ 16 分）已知 a 是實(shí)數(shù)，函數(shù)f xaxlnx ， gxe ，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)x（ 1）設(shè) a0 時(shí)，求f x 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）設(shè) a=0 時(shí)，試比較g x 與f x2 的大小，并給出證明；（ 3）如關(guān)于 x 的不等式g xxm 有解，求實(shí)數(shù) m 的取值范疇 . x20.（ 16

8、分）設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為sn ，且 sn 1sn n1an 11 a1 ，nn2n * .（ 1）如數(shù)列 an 是等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè) a 26 ，求證：數(shù)列 an是等差數(shù)列 .數(shù)學(xué) 附加題留意事項(xiàng)1. 本試卷共2 頁，均為解答題（第21 題第 23 題，共 4 題）本卷滿分為 40 分，考試時(shí)間為 30 分鐘考試終止后，請將答題卡交回2. 作答試題，必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上指定位置作答，在其它位置作答一律無效21. 【選做題】此題包括a, b,c,d 四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作 答.如多做，就按作答的前兩小題評(píng)分.解答

9、時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21.a. 選修 4-1【幾何證明選講】（ 10 分）如圖，已知 ab 為半圓o 的直徑，點(diǎn)c 為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)c 作半圓的切線cd，過點(diǎn) a 作 ad cd 于點(diǎn) d.求證： ac平分 bad.dcaob21.b. 選修 4-2【矩陣與變換 】（ 10 分）二階矩陣 a 有特點(diǎn)值6 ，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特點(diǎn)向量為變換將點(diǎn)（ 1,2）變換成點(diǎn)（ 8,4），求矩陣 a.21.c. 選修 4-4【坐標(biāo)系與參數(shù)方程 】（ 10 分）1e，并且矩陣 a 對(duì)應(yīng)的1已知直線 l 的參數(shù)方程為x4t（ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為yt極軸建立極坐標(biāo)系，圓

10、c 的極坐標(biāo)方程為24sin2 0 ，直線 l 與圓 c 相交于點(diǎn)a 、 b.（ 1）將圓 c 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（ 2）求線段 ab 的長度 .21.d. 選修 4-5【不等式選講 】（ 10 分）2111設(shè) a、b、c0 ，求證： abcabc63 .222.（ 10 分）已知拋物線y2 x 上有四點(diǎn)a x1, y1 、 b x2 , y2 、c x3,y3 、d x4 , y4 ，高三數(shù)學(xué)（ i）試題 第5頁 （共 14頁）ypc點(diǎn) m （ 3,0），直線 ab 、cd 都過點(diǎn) m ，且都不垂直于 x 軸，直線 pq 過點(diǎn) m 且垂直于 x軸，交 ac 于點(diǎn) p，交 bd 于

11、點(diǎn) q.高三數(shù)學(xué)（ i ）試題 第22頁 （共14 頁）（ 1）求y1y2 的值；（ 2）求證： mp=mq.23.（ 10 分） 設(shè) pn1x2n1 ， q12 n1 xn1 2n1 x 2 ， xr, nn，n*（ 1）當(dāng) n2 時(shí)，試指出 pn 與 qn 的大小關(guān)系；（ 2）當(dāng) n3 時(shí)，試比較pn 與 qn 的大小，并證明你的結(jié)論.2021 屆高三調(diào)研測試數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)51、32、53、44、205、 36、y24 x7、64758、9、3610、 x5 2 y327411、 2,17 912、 cn63 n2 n 13、21114、32115.（ 1）cd2 db ， ada

12、c2abad ， adabac 33 3 分又 adxaby bc xy aby ac 2 ab31 ac3 xy abxy ac 5 分y2 ab 與 ac 不共線，3 ， xy131, y1 7 分3（ 2） adbc 2 ab31 ac 3 acab 10 分1 abac32 ab 21 ac 23312 分= 4 14 分3注：也可建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算求解此題.16. （ 1）四邊形 abcd 是平行四邊形ab/cd ，又 ab ae ， ae cd 4 分又 ae cf， cd cf=c ， cd 、 cf平面 cdef ， ae 平面 cdef 6 分又 ae平面 abfe

13、，平面 abfe 平面 cdef 7 分（ 2）四邊形 abcd 是平行四邊形 ab/cd又 ab平面 cdef ， cd平面 cdef ， ab/ 平面 cdef 10 分又 ab平面 abfe ，平面 abfe 平面 cdef=ef ， ab/ef 12 分又 ef平面 abcd ，ab平面 abcd ， ef/ 平面 abcd. 14 分17.（ 1） bcd 中sinbccdbcd，sinbsina45 cdsin 45， cda 2 sin45 4 分 s1 bccd22sinbcd2a 4 sincos， 045 90 6 分（其中范疇1 分）（ 2） dasin 8 分yksd2

14、ka3 sincoska3 sincos 10 分4sin45 2sincos令 sincost ，就 t1,2 ， sincost 212ka 3 t 21 y4tka 3t41 在區(qū)間t1,2 上單調(diào)遞增，12 分當(dāng) t2 時(shí) y 取得最大值，此時(shí)，4即 d 在 ab 的中點(diǎn)時(shí)，遮陽成效正確. 14 分c18.（ 1） ac12 2 分1 c=1 ， a=2， bx 2y 23 ，橢圓方程為1 4 分43（ 2）設(shè)p x0, y02 ，就 x042y010x0232pm=x02y03232xx030341x0 ， 6 分21pf= 2x0 8 分2 pm pf= 14x0 4x0 1 x0

15、4221 ， 0x02 ， |pm| |pf|的取值范疇是（ 0,1） . 10 分（ 3）法一：當(dāng) pm x 軸時(shí)， p3,3 ，q 23 ,t 或 3 , t ，由 op oq0 解得 t23 12 分 當(dāng) pm不 垂 直 于 x軸 時(shí) ， 設(shè)p x0 , y0 ， pq方 程 為 yy0k xx0 ， 即kxykx0y00| kx0y0 |22 pq 與圓 o 相切，3 ， kx0y0 3k3k 21222200 2kx0 y0k xy3k3 13 分又 qty0kx0 k,t ，所以由 op oq0 得 tx0 y0 x0kx0 ky0 14 分2tx02 y0kx0 2222 22x

16、0k 2 y202kx02y0x0k2 y 20k 2 x20x0 kx0y0 222x0 3k3 x0ky0y03k322x0 3k3=22232=12 ， t223 16 分1k x01k3x0 3k34法二：設(shè)p x0, y0 ，就直線 oq： yx0 x ， q y0y0 t,t ，x0 op oq， opoq=om pq22x0y02ty0222tx03x0y0 t 2x0 y0t 2 12 分22x0y0t x 22y0 23x02ty022y 2t 223x02y022 x0t 2 2200x0x0x020 x0y 2 t 23 x0t 2 ， t 223x0222 14 分22

17、x0y01， y0233x0x02， ty0323x012 ， t23 16 分2x434120419.（ 1）0f x的定義域?yàn)?0, ， f xa1 x x0 .1 當(dāng) a0 時(shí)，f x0 ，f x 在 0, 單調(diào)遞增；2 分02 當(dāng) a0 時(shí)，令f x0 ，解得 x1 ，a就當(dāng) x0,1 時(shí)，af x0 ，f x 單調(diào)遞增，當(dāng) x1 , 時(shí)， af x0 ，f x單調(diào)遞減 .綜上：當(dāng) a0 時(shí)，f x 在 0, 單調(diào)遞增；當(dāng) a0 時(shí)，f x在 0,1 單調(diào)遞增，在 a1 , 單調(diào)遞減 . 5 分a（ 2）法一：令m xexln x2 ， m xex1 ，xm x 在 0, 單調(diào)遞增，m

18、 1 2e20 ， m1e10 m x =0 在 0, 有且只有一解t，且 t 1 ,12 7 分 mx 在 1 , t 單調(diào)遞減，在2t,1 單調(diào)遞增 mx 的最小值為mt etln t2 m t0 ，t1e， t te t ， mx 的最小值mtett2 ，且其在 t1 ,1 上單調(diào)遞增2 mx 的最小值mtm 1 2e10 mx 0，g xf x2 10 分法二：（ 1）令mxexx, x0, ， m xex10 ， mx 在 0, 單調(diào)遞增，mxm01，即 exx1 7 分令 h xxlnx, x0, ， h x11 ，x hx在 0,1 單調(diào)遞減，在1, 單調(diào)遞增，hxh11 ，即

19、xln x1 exln x2 ，即gxf x2 10 分（ 3）由題意：exxm 有解，即 exxxxm 有解，因此 mxexx ， x0,有解12 分ex1設(shè) h xxexx ， h x1exx1ex x2x ， 14 分2x x1212x2xx121 ，且 x0, 時(shí) e1 ，1e x0 ，即2xh x0 ，故hx 在 0, 單調(diào)遞減，h xh00 ，故 m0 . 16 分1120.（ 1） sn 1snn1 an 1an12 2snna n 1an12又 an 是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，就2 na1nn1 d2na1nd 1 a12n1 d 1 dn 22a 2a1dd n1addn 2

20、a1d n 21 a12d 1 4 分111 a2d10a12d4 6 分2 an4n2 8 分注：由2s12s2a2 2a31 a1112 解得 aa12122, d4 ，但沒有證明原式成立，只給4 分.（ 2）2 sn1ana n 1n1 2 2 sn 1 n1a n1an 11 2得2 nan 1 2n3anan 10n2 10 分 2 n2an 22n5 an 1an0n1兩式相減得2 n2an 2 4n5an 12 n4 anan 10n2 12 分 2 n2an 24n4 an 12n2anan 12anan 10 n2 2 n2 an 22 an 1an an 12anan 1

21、n2 14 分 a 26可得 a12, a 310 a32 a2a10 an 22an 1an0 an是等差數(shù)列16 分注：先猜 an21.a. 連接 oc4 n2 ，后用其次數(shù)學(xué)歸納法證明，只給5 分.數(shù)學(xué)附加題部分dc cd 與圓 o 相切于點(diǎn) c， occd 3 分又 ad cd， oc/ad 6 分 oca= dac 8 分aob又 oac = oca ， bac = dac 即 ac平分 bad. 10 分ab21.b. 設(shè)所求二階矩陣 a=，就cdae6e18a 4 分abcda2bc2d6ab6cd8a2b4c2d2466 8 分844解方程組得 a=82 10 分221.c.（ 1） x2y 24 y20 4 分（ 2）直線 l 的一般方程為xy40 6 分又圓心 c（ 0,2），半徑 r6 ， c 到 l 的距離為| 2 |2 ，2 ab262 =4. 10 分21.d. a、 b、c0， abc33 abc 3 分111abc331abc（當(dāng) a=b=c 時(shí)取“ =”） 6 分 abc2111abc33 abc931abc22763 9 分（當(dāng) abc33 ，即 abc3 時(shí)，取“ =”） 10 分22.（ 1）設(shè)直線 ab 的方程為 xmy3 ，與拋物線聯(lián)立得：y22my60 2 分 y1y26 4 分y1y3（ 2） 直線 ac