常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性及其判別法1.定義:，中各項(xiàng)均有中各項(xiàng)均有如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)01 nnnuu這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). nsss212.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:基本定理（正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法則）.ns正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列有有（上上）界界部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.ns推廣：同號(hào)級(jí)數(shù)第1頁/共38頁 例 1. 判定 的斂散性. 1121nn解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由基本定理知,故級(jí)數(shù)的部分和,21n 1 該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由于第2頁/共38頁且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1n

2、nv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. .證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較判別法nvvv 21第3頁/共38頁nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv推論推論: : 若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvkuNnkuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散).).定理證畢.比較判別法的不便:須有參考級(jí)數(shù). 第4頁/共38頁解, 1

3、 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211第5頁/共38頁 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.p 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppP重要參考級(jí)數(shù): 幾何(等比)級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù).第6頁/共38頁證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第7頁/共38頁4.比較判別法的極限形式:設(shè)1nnu與1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果則(

4、1) 當(dāng)時(shí), 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)時(shí)，若收斂, 則收斂; (3) 當(dāng)時(shí), 若1nnv發(fā)散, 則1nnu發(fā)散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第8頁/共38頁證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對(duì)于對(duì)于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論, 得證.第9頁/共38頁設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;如果有如果有1 p, , 使得使得npnun lim存在存在, ,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nn

5、u收斂收斂. .5.5.極限極限判別判別法：法： 1/pnvn取第10頁/共38頁解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級(jí)數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂.第11頁/共38頁6.6. 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 （D DAlembertAlembert） 判別判別法法( (比值比值判別法判別法) )： 則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明,為有限數(shù)時(shí)為有限數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對(duì)對(duì),N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即第12頁/共38

6、頁,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收斂收斂而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂, 1 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散第13頁/共38頁達(dá)朗貝爾判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù). ,11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn)1( 2. 若用達(dá)朗貝爾判別法判定級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un不趨于零.后面將用到這一點(diǎn).1. 適用范圍：中中nunn 或關(guān)于或關(guān)于含有含有 !的若干連乘積(或商)的形式.,)1(時(shí)時(shí) 注第14頁/共

7、38頁,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna1limlim.nnnnnuau而不存在因?yàn)椋旱?5頁/共38頁解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn第16頁/共38頁),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值判別法失效, 改用比較判別法,12)12(12nnn ,11

8、2收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn第17頁/共38頁例. 利用級(jí)數(shù)收斂性,證明. 0) !(lim2 nnnn證 考查級(jí)數(shù),) !(12 nnnn由于nnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 故級(jí)數(shù) 收斂. 12) !(nnnn由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,. 0) !(lim2 nnnn1 第18頁/共38頁7.7. 柯西柯西判別法判別法 ( (根值根值判別法判別法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , ,則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ;,1 ,1 n

9、nn設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n級(jí)數(shù)收斂.1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1 時(shí)失效時(shí)失效. .第19頁/共38頁定義: 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項(xiàng)其余項(xiàng)nr的絕對(duì)值的絕對(duì)值 1 nnur. . )0( nu其中其中第20頁/共38頁證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21

10、243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns第21頁/共38頁)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級(jí)數(shù)收斂于和級(jí)數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur定理證畢.第22頁/共38頁第23頁/共38頁解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂.一個(gè)基本例子：11( 1)

11、!nnn 交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂第24頁/共38頁定義: 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.第25頁/共38頁上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. .第26頁/共38頁例例 6 6 判

12、判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. .解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第27頁/共38頁 判別級(jí)數(shù) 是否收斂?如果收斂,是絕對(duì)收斂還是條件收斂?)1sin(12 nn 早期研究生考試題解因?yàn)?nnn1sin2 nnn 1sin)1(2 )1sin(2 n )1(sin2nnn )1sin(12 nn nnnn 1sin)1(21 為交錯(cuò)級(jí)數(shù).正nnn 1sincos2 nnn 1cossin2 第28頁/共38頁nnu lim 121sin)1(nnnn 12)1sin(nn 121sinnnn 根據(jù)比較判

13、別法的極限形式: 12)1sin(nn 知發(fā)散.即原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂.nnnn11sinlim2 ,2 n1(1)第29頁/共38頁)1sin(lim2 nn 因?yàn)?1sin(12 nn nnnn 1sin)1(21 為交錯(cuò)級(jí)數(shù).由于0 (2)nnun 1sin2 所以級(jí)數(shù) 收斂,)1sin(12 nn 且為條件收斂.故級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨定理的兩條件,nnnn 1sin)1(lim2 12)1(1)1(sin nunn 第30頁/共38頁通常先考查它若使用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂(這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零),對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、2 將級(jí)數(shù)如不是絕對(duì)收斂的,再看它是否條件收斂.

14、便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散.可用萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.拆開為兩個(gè)級(jí)數(shù),(用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法),討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性時(shí),是否絕對(duì)收斂第31頁/共38頁正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun第32頁/共38頁 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序1.0lim nnu2.若 0lim nnu比值、根值法;若失效3.比較審斂法的極限形式4.5.充要條件6.按基本性質(zhì)7.ssn?比較審斂法發(fā)散;第33頁/共38頁任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)1.0lim nnussn?發(fā)散