同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算課件

1、同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分的計算法 第九章 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxy

2、D)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算當被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd)

3、,(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算xy211xy o221d y例例1. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891

4、221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例2. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92

5、二重積分的計算例例3. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 22228

6、0:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算x

7、yokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應有二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

8、同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設,)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機動 目錄 上頁 下頁

9、 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例6. 計算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算注注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實上, 當D 為 R2 時,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的結果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .機動

10、 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),(

11、) 1 (一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設Dyxf變換:是一一對應的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算oyxDovuD證證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 ,坐標面上在vou 直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應頂點為

12、)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(機動 目錄 上頁 下頁 返回

13、 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算vuvuJdd),(d因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標轉化為極坐標時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算例例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2

14、120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令Duvopqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等

15、數(shù)學D92二重積分的計算例例10. 試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算內(nèi)容小結內(nèi)容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(d

16、d),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標系情形極坐標系情

17、形: 若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r在變換下機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算(3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算思考與練習思考與練習1. 設, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x ,

18、y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算2. 交換積分順序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 積分域如圖rrar0dararccosararccosId),(rf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算作業(yè)作業(yè)P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同濟大學)高等數(shù)學D92二重積分的計算axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax備用題備用題1. 給