《方向?qū)?shù)與梯度》ppt課件

1、 第六章 第六節(jié)第六節(jié)一、方導(dǎo)游數(shù)一、方導(dǎo)游數(shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方導(dǎo)游數(shù)與梯度方導(dǎo)游數(shù)與梯度l( , )P x y一、方導(dǎo)游數(shù)一、方導(dǎo)游數(shù)定義定義: 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)( , )f x y0limtft那么稱lflft為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方導(dǎo)游數(shù).0(cos ,cos)( , )limtf xtytf x yt在點(diǎn) ( , )P x y處沿方向 l (方向角為, ) 存在以下極限: P記作記作 xflf 當(dāng) l 與 x 軸同向有時(shí),2,0 當(dāng) l 與 x 軸反向有時(shí),2,xflfffly 當(dāng) l 與 y 軸同向,0,2時(shí) 有ffly 當(dāng) l 與 y 軸反向

2、,2時(shí) 有方導(dǎo)游數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系如何？方導(dǎo)游數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系如何？( , )( , ),f x yP x y若函數(shù)在點(diǎn)處可微定理定理:那么函數(shù)在該點(diǎn)沿恣意方向 l 的方導(dǎo)游數(shù)存在 ,coscosffflxy,.l 其中為 的方向角且有例例1. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1) 沿向量2ux y 的方導(dǎo)游數(shù) .(1,1)l例例2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線223yyxz21yx朝 x 增大方向的方導(dǎo)游數(shù).xoy2P10(,)( , )lim,ffxx yy zzfx y zl 推行可得三元函數(shù)方導(dǎo)游數(shù)的定義推行可得三元函數(shù)方導(dǎo)游數(shù)的定義coscoscos .fffflxyzcos,x

3、 cos,y cos ,z 例例3. 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2(2, 1,l 3) 的方導(dǎo)游數(shù) .2cos,14Plu) 1, 1, 1 (1461cos,143cos141422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為二、梯度二、梯度 方導(dǎo)游數(shù)公式coscosffflxy令向量這闡明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方導(dǎo)游數(shù)取最大值：,ffgxy 0(cos, cos)l 0cos( ,)gg l 0fg ll 0,lg 當(dāng)與 方向一致時(shí):g maxfgl 1. 定義定義grad f即grad f稱為函

4、數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度,ffxyffijxy記作 ,(gradient),g 闡明闡明: 函數(shù)的方導(dǎo)游數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量2. 梯度的根本運(yùn)算公式梯度的根本運(yùn)算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)例例4.,)(可導(dǎo)設(shè)rf222( , , )rxyzP x y z其中為點(diǎn)Pxozy試證0grad( )( ).f rfr r 處矢徑 r 的模 ,r 三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在空空間間區(qū)區(qū)域域 G 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連

5、連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點(diǎn)點(diǎn)GzyxP ),(，都都可可定定義義一一個(gè)個(gè)向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與獲得最大方導(dǎo)游數(shù)的方向一致，其模其方向與獲得最大方導(dǎo)游數(shù)的方向一致，其模為方導(dǎo)游數(shù)的最大值為方導(dǎo)游數(shù)的最大值.梯度的概念可以推行到三元函數(shù)梯度的概念可以推行到三元函數(shù)三、物理意義三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù)數(shù)性函數(shù))場場向量場向量場(矢性函數(shù)矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場grad( )f P( 勢函數(shù) )如: 溫度場, 電位場等如

6、: 力場,速度場等(向量場) 留意留意: 恣意一個(gè)向量場不一定是梯度場恣意一個(gè)向量場不一定是梯度場.例例5. 知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在恣意點(diǎn)),(4222zyxrrqu( , , )P x y z試證證證: 利用例利用例4的結(jié)果的結(jié)果 這闡明:處所產(chǎn)生的電位為電位在場強(qiáng)相反的方向添加最快.Eugrad)4(02rrqE 場強(qiáng)04gradrrqu024rrqE0grad( )( )f rfr r 例例6.某處地下埋有物品E， 以該處為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。知空氣中分發(fā)著特有氣味，設(shè)氣味濃度在地表xoy面的分布為：22(2)(0),k xyuek警犬在(1, 1)處嗅到氣味后，沿氣味最濃的方向

7、搜索，求警犬的搜索道路內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方導(dǎo)游數(shù)方導(dǎo)游數(shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方導(dǎo)游數(shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP),的方導(dǎo)游數(shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點(diǎn)),(zyxP處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù) ),(yxf在點(diǎn)),(yxP處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 關(guān)系關(guān)系方導(dǎo)游數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxy

8、xfz 在在)0 , 0(點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？思索題思索題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思索題解答思索題解答 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))2 , 1(到點(diǎn)到點(diǎn) )32

9、 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個(gè)函數(shù)與某個(gè)函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgrad

10、uuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二、求函數(shù))(12222byaxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2,2(ba處沿曲線處沿曲線 12222 byax在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù). .一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2留意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)指向 B( 3, 2 ,