2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題專練20—向量（1）

1、2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題專練20向量（1）1、 單選題1騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為A18B24C36D48解：據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：則，圓的方程為，可設(shè)，所以，故故選：2已知，是平面向量，是單位向量，若向量滿足，則，則的最小值是ABCD解：因?yàn)槭菃挝幌蛄?，由得，即，所以以為原點(diǎn)，將的起點(diǎn)都設(shè)為，的方向作為軸的正方

2、向，如圖建立坐標(biāo)系：設(shè)，結(jié)合，的終點(diǎn)落在以為圓心，半徑為1的圓上因?yàn)?，結(jié)合對(duì)稱性，不妨設(shè)的終點(diǎn)落在射線上，其中結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可知，過做射線，垂足為，且與圓交于點(diǎn)（如圖所示），此時(shí)的長(zhǎng)度最小結(jié)合，故為等腰直角三角形，由，可知，因?yàn)?，所以的最小值為故選：3已知的外接圓圓心為，若，則的最大值為ABCD解：如圖，延長(zhǎng)交于，設(shè)，又，易得，即有，則，由，三點(diǎn)共線，可得，即有，由于是定值，只需最小，過作，垂足為，則，即有，則則即有的最大值為故選：4已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為A甲B乙C丙D丁解：對(duì)于甲：，設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以，故點(diǎn)是

3、的靠近的三等分點(diǎn)，即該三角形的重心；對(duì)于乙：，移項(xiàng)整理得，即，故，所以是直角三角形；對(duì)于丙：，則為的外心；對(duì)于?。簞t，所以，同理可得，所以為的垂心，如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為乙故選：5已知直角三角形中，點(diǎn)在以為圓心且與邊相切的圓上，則的最大值為ABCD解：根據(jù)題意，直角三角形中，設(shè)為斜邊上的高，又由，則，連接，則圓的半徑，則，當(dāng)與同向時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則的最大值為，故的最大值為，故選：6已知，點(diǎn)是四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，若，則的最大值與最小值之差為A12B9CD解：如圖，過點(diǎn)作交，于點(diǎn)，設(shè)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在四邊形內(nèi)部，且，所以，因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，所以，且，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，

4、；當(dāng)時(shí)，所以的最大值與最小值之差為故選：7已知，是平面向量，滿足，且，記與的夾角為，則的最小值是ABCD解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，變形可得，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間，上，則在區(qū)間，上遞減，則時(shí)，取得最小值，故選：8在中，角，所對(duì)的邊分別為，且點(diǎn)滿足，若，則的最大值為ABCD解：由題意可得：，則，可得，因?yàn)?，可得，兩邊平方，可得：，所以：，可得，可得，即，因?yàn)椋ㄓ傻贸觯?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，令，則，且，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為故選：2、 多選題9如圖所示，在凸四邊形中，對(duì)邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，對(duì)邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則ABC的最大值為1D解：對(duì)于，因?yàn)?，所以，整理得，故正確；對(duì)

5、于，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故正確；對(duì)于，由知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確故選：10在平行四邊形中，且，則平行四邊形的面積可能為A17B18C19D20解：因?yàn)椋衷谄叫兴倪呅沃?，所以，故平行四邊形為矩形，又，所以是上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，是上靠近的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)槠叫兴倪呅螢榫匦?，則，設(shè)，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故平行四邊形的面積，所以平行四邊形的面積可能為17或18故選：11如圖，直角的斜邊長(zhǎng)為2，且點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方則A有最大值也有最小

6、值B有最大值無最小值C有最小值無最大值D無最大值也無最小值解：，設(shè)，則，且，故，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取到最大值，無最小值；故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，無最小值故選項(xiàng)正確；，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，取到最大值，無最小值；因?yàn)?，所以，故沒有最大值，也沒有最小值故選項(xiàng)正確；故選：12中，以下正確的是ABCD解：在直線，上分別取點(diǎn)，使得，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即，三點(diǎn)共線且，故和均為等邊三角形，故正確，正確；，在外部分別以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，則，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，故，即，故正確，同理可得：，即，故正確故選：3、 填空題13已知向量及實(shí)數(shù)滿足，若，則的最大值是解：因?yàn)?，所以，兩邊平方得，因?yàn)?，即，所以，而，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是故答案為：14已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對(duì)任意均有的最小值為，則的最小值為解：因?yàn)閷?duì)任意均有的最小值為，所以，整理的，所以，即，不妨設(shè)為軸方向向量，為軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)椋瑸閽佄锞€向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以到的距離與到的距離相同，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為3故答案為：315已知向量，滿足，則的取值范圍是解：，的夾角為，設(shè)，建立如圖坐標(biāo)系，則，點(diǎn)在單位圓上，設(shè)