導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型錯誤解析

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型錯誤解析導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時極為方便，尤其是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、和切線的方程，但是筆者在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還存在許多誤區(qū)。一、導(dǎo)數(shù)的定義理解不清例1：已知函數(shù)f(x)=logax+1,求.錯解：因為f(x)=logax+1,fl(x)=, = fl(1)= log剖析：錯誤的主要原因是由于對導(dǎo)數(shù)的定義理解不清，導(dǎo)數(shù)fl(x0)=,函數(shù)在某一點x0處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在這一點的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨近于零時的極限，分子分母中的自變量的增量必須保持對應(yīng)一致，它是非零的變量，它可以是-2，等。=-2 =-2fl(1)=-2

2、log二、fl(x0)為極值的充要條件理解不清例2：函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a、b的值。錯解：fl(x)=3x2+2ax+b,由題意知fl(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=-11 ,或a=-3 b=3剖析：錯誤的主要原因是把fl(x0)為極值的必要條件當(dāng)作了充要條件，fl(x0)為極值的充要條件是fl(x0)=0且x0附近兩側(cè)的符號相反.，所以后面應(yīng)該加上：當(dāng)a=4,b=-11時fl(x)=3x2+8x-11=（3x+11）(x-1),在x=1附近兩側(cè)的符號相反， a=4,b=-11當(dāng)a=-3 b

3、=3時fl(x)=3（x-1）2, 在x=1附近兩側(cè)的符號相同，所以a=-3 b=3舍去。 （a=4,b=-11 時，f(x)=x3+4x2-11x+16的圖象見下面左圖，a=-3 b=3時（f(x)=x3-3x2+3x+|9的圖象見下面右圖。） 三、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不完善例3：求函數(shù)f(x)=(x0)的單調(diào)增區(qū)間。錯解：由題意得fl(x)=0，又因為函數(shù)的定義域是（0，+），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和（1，+）。剖析：錯解錯在對函數(shù)在x=1處是否連續(xù)沒有研究，顯然函數(shù)在x=1處是連續(xù)的，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+）.（函數(shù)的圖象見下圖）對于fl(x) 0（或fl(x) 0）的解

4、集中的斷開點的連續(xù)性，我們要進行研究，不能草率下結(jié)論。四、函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清例4：已知函數(shù)f(x)=在(-2,+ )內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍。錯解：fl(x)=,由函數(shù)f(x) 在(-2,+ )內(nèi)單調(diào)遞減知fl(x)0在(-2,+ )內(nèi)恒成立，即在(-2,+ )內(nèi)恒成立，因此a.剖析：錯誤的主要原因是由于對于函數(shù)f(x)在d上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是f1(x)(或f1(x)且f1(x)在d任一子區(qū)間上不恒為零沒有理解。而當(dāng)a=時fl(x)=0在(-2,+ )恒成立，所以不符合題意，所以舍去。五、求函數(shù)的最值沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點例5：求f(x)=在-1，3上的最大值和最小值

5、。錯解：由題意得fl(x)= ，令fl(x)=0得x=1.當(dāng)x=-1和3時，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=1時，函數(shù)的最小值是1.剖析：錯誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數(shù)的不可導(dǎo)點的考察，因為函數(shù)的最值可以在導(dǎo)數(shù)為零的點或不可導(dǎo)點或區(qū)間的端點處取得.所以后面應(yīng)該加上：在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點為：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0當(dāng)x=-1和3時，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=0或2時，函數(shù)的最小值是0.函數(shù)f(x)的圖象如圖六、求函數(shù)的極值沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點例6：求f(x)=在-1，3上的極值。錯解：由題意得fl(x)= ，令fl(x)=0得x=1.當(dāng)x=1時，fl(x) 在x=1附近兩側(cè)的符號相反，左正右負， x=1.是函數(shù)的極大值點剖析：錯誤的主要原因是解題過程中忽略了對函數(shù)的不可導(dǎo)點的考察，因為函數(shù)的極值可以在定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點或不可導(dǎo)點取得.所以后面還應(yīng)該加上：在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點為：x1=0,x2=2 ，經(jīng)計算，fl(x)在x1=0附近兩側(cè)的符號相反，左負右正，