不等式的性質(zhì)--算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）

1、高中數(shù)學(xué)（上冊(cè)）教案 第二章 不等式（第5課時(shí)） 保康縣職業(yè)高級(jí)中學(xué)：洪培福課 題：2.1不等式的性質(zhì)-算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）教學(xué)目的：1進(jìn)一步掌握均值不等式定理；2會(huì)應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值并解決一些簡單的實(shí)際問題 教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：解題中的轉(zhuǎn)化技巧授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正數(shù)，那么3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件3均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”以長為a+

2、b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC=a,CB=b過點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD,那么，即這個(gè)圓的半徑為，顯然，它不小于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合；即a=b時(shí)，等號(hào)成立二、講解新課：1公式的等價(jià)變形：ab，ab2 2（ab0），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)；3定理：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）證明： 上式0 從而指出：這里 若就不能保證（此公式成立的充要條件為）4推論：如果，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”） 證明： 5關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)推廣： 語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣

3、泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：證明： 以上三式相加： 例2 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí)證明：a,b,c,d都是正數(shù)，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得即點(diǎn)評(píng)：用均值不等式證明題時(shí)，要注意為達(dá)到目標(biāo)可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運(yùn)用時(shí)，常需先湊形后運(yùn)用；均值不等式和不等式的

4、基本性質(zhì)聯(lián)合起來證題是常用的行之有效的方法例3 某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)

5、注意不等式性質(zhì)的適用條件我們應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案四、課堂練習(xí)：1已知x0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x281為定值，從而可求和的最小值解：x0x20，0,x2218，當(dāng)且僅當(dāng)x2,即x3時(shí)取“”號(hào).故x=3時(shí),x2+的值最小,其最小值

6、是182一段長為 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?分析：均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗(yàn)證“”號(hào)成立，(4)確定正確答案解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長為（2x）m，其中0x，其面積Sx（2x）2x（2x）當(dāng)且僅當(dāng)2x2x即x時(shí)菜園面積最大，即菜園長m，寬為 m時(shí)菜園面積最大為 m2解法二：設(shè)矩形的長為x m，則寬為m，面積S（m2）當(dāng)且僅當(dāng)xx，即x（m）時(shí)，矩形的面積最大也就是菜園的長為m，寬為m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為m23設(shè)0x2，求函數(shù)f(x)=

7、的最大值，并求出相應(yīng)的x值分析：根據(jù)均值不等式：，研究的最值時(shí)，一要考慮3x與3x是否為正數(shù)；二要考查式子3x（3x）是否為定值解：0x2, 3x0，3x0f（x）4當(dāng)且僅當(dāng)3x3x即x時(shí)取“”號(hào),故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)x五、小結(jié) ：本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其推廣的幾個(gè)重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題在解決問題時(shí)，我們重點(diǎn)從以下三個(gè)方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)；二是合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值；三是確定等號(hào)能夠成立只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點(diǎn)的過程當(dāng)中合理運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最

8、值問題六、課后作業(yè)：(1)求函數(shù)y2x2（x0）的最小值(2)求函數(shù)yx2（x0）的最小值(3)求函數(shù)y3x22x3（0x）的最大值(4)求函數(shù)yx（1x2）（0x1)的最大值(5)設(shè)a0，b0，且a21，求a的最大值分析：我們來考慮運(yùn)用正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系來解答這些問題根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為常數(shù)，則當(dāng)?shù)忍?hào)能夠取到時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為另一端的一個(gè)最值如，若ab為常數(shù)k，則當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，ab就有最小值2；若ab為常數(shù)s，則當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，就有最大值s（或xy有最大值s2）因此，解決這些問題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造這些“定和”或“定積”解：(1)x0 2

9、x20，0,y2x22x23當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x時(shí)等號(hào)成立故當(dāng)x時(shí)，y有最小值3(2)，當(dāng)且僅當(dāng)即x時(shí)，等號(hào)成立故當(dāng)x時(shí)，y有最小值3(3)0x 32x0 yx2（32x）xx（32x）（）31,當(dāng)且僅當(dāng)x32x即x1時(shí)，等號(hào)成立(4)0x1 1x20 y2x2（1x2）22x2（1x2）（1x2）（）3當(dāng)且僅當(dāng)2x21x2即x時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)x時(shí)，y2有最大值由題意可知：y0,故當(dāng)x時(shí)，y有最大值(5)a0，b0，且a21 a，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a，b時(shí)取“”號(hào)故當(dāng)a，b時(shí)，a有最大值評(píng)述：用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的