D空間的曲面與曲線PPT學習教案

1、會計學1D空間的曲面與曲線空間的曲面與曲線, ,0F x y z , ,0F x y z Szyxo稱為空間的曲面。()其中：曲面 S 叫做方程 兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,()求其曲面方程；(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀。 ( 必要時需作圖 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 顯然，空間曲面與其方程有下述關系：集合( , , )x y zS( , , ), ,0Sx y zF x y z叫做曲面曲面 S 的的方程方程；的圖形圖形。, ,0;F x y z( , , )x y zS, ,0.F x y z( , , )x y zS,

2、,0.F x y z即等價于：第1頁/共37頁故所求曲面的方程為：0000(,)Mxy z( , , )M x y z2222000 xxyyzzR方程 特別,當 M0 在原點時，球面方程為：為一定點，即依題意xyzoM0M表示上 (下) 球面。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一動點到一定點的距離等于定長的幾何圖形稱為球面一動點到一定點的距離等于定長的幾何圖形稱為球面。設 222000 xxyyzzR2222xyzR222zRxy 0,M MR為球面上任一動點，第2頁/共37頁222240 xyzxy0(1,) ,2,0M5解解: : 配方得此方程表示:說明說明: :如下形式的三元二次方程

3、 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形。其圖形可能是：所表示的曲面。半徑為的球面.球心為 一個球面球面, 或點點, 或虛軌跡虛軌跡.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222125 .xyz2220A xyzDxE yF zG第3頁/共37頁xyz引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 ？的坐標也滿足方程：解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線 C 平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面，圓柱面，故在三維空間里，方程過此點作對任意 z ，點平行 z 軸的直線 l ,所表示的曲面為圓柱面圓柱面。oC在圓C上任取一點 lM1M其上所有點的坐標都滿足此方程，機動 目錄 上頁 下頁 返回

4、 結束 222xyR222xyR222xyR222xyR1( ,) ,0M x y( , , )M x y z第4頁/共37頁xyzxyzol直線 l 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸，準線為xoy 面上的拋物線； z 軸，準線位于xoy坐標面的橢圓柱面橢圓柱面；z 軸，準線位于 xoy 坐標面的平面平面。表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于其中，C 叫做該柱面的準線準線， xyzoo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22yx22221xyab0 xy沿定曲線 C 平行 移動所形成的軌跡叫做柱面。l 叫做該柱面的母線母線。第5頁/共37頁xzy2l也表示一個柱面,也

5、表示一個柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸。母線平行于 z 軸;準線為 zox 面上的曲線母線：表示一柱面,準線為 xoy 面上的曲線 方程：準線為 yoz 面上的曲線母線：xyz3l機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyz1l在三維空間中，兩個變量的方程所表示的空間圖形為柱面柱面， 其中：母線平行準線位于此兩變量所決定的坐標面內(nèi)，于另一個（缺?。┳兞康淖鴺溯S。,0F x y 例例 如如 ：方程：,0G y z 1;l2;l方程：,0H z x 3;l第6頁/共37頁定義定義 2. . 平面內(nèi)的一曲線,0F x y C,0F x y （一周）所形成的空間幾何圖形（曲面）叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面

6、.其中，該定直線l 稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 ；曲線 C 稱為母線母線 。例如例如 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 C旋轉(zhuǎn)繞該平面內(nèi)的一定直線定直線 ll第7頁/共37頁,0fy z (0,)cccMy zC,;0ccfyz故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為：當曲線 C則設 yoz 面上曲線因此，有設該點 M 必位于曲線ozyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( , , ),M x y zS( , , )M x y z,czz22,cxyy(0,)cccMy z繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的方程。CzSC的方程為：cM繞軸旋轉(zhuǎn)一周所在的圓周上，z22,0.xyzf繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,C 上的一點第8頁/共37

7、頁Cy:,0Cfy z oyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22,0fyxz繞軸旋轉(zhuǎn)時，其圖形的方程又如何？當 yoz 平面的曲線第9頁/共37頁zcotzy的曲面（圓錐面）方程。 解解:繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時，圓錐面的方程為：xyz兩邊平方L), 0(zyM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2222.zaxy試建立頂點在原點，旋 轉(zhuǎn) 軸為軸，半 頂 角為在yoz 面上直線 L 的方程為：22cotzxy cota令第10頁/共37頁xy22221xzac分別繞 x 軸和 z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 解解: :繞這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面。繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為：旋轉(zhuǎn)所形成曲

8、面方程為：z機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 z求坐標面 xoz 上的雙曲線222221xyzac222221xyzac第11頁/共37頁空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般式方程為方程組：( ,)(, )00G xF x y zy z 2S0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組表示圓柱面與平面的交線xzy1o2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 空間曲線的一般式221xy236xz:.第12頁/共37頁220 xyax.表示半徑為222zaxyyxzo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 a方程組與的交線半徑為的上半球面a圓柱面2a第13頁/共37頁zyxo xx t稱它為

9、空間曲線的參數(shù)方程；例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為：vbt,令bzayaxsincos,2 時當taxcostaysin t vz 上升高度 稱為螺距螺距 。M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,yy ttT zz t ,r tx ty tz ttT 稱它為空間曲線的矢量式方程。2hb第14頁/共37頁cosxtsinyt1623coszt6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) t , (2) 將第二方程變形為故所求為:得所求為:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22cosaaxt2sinayt1122coszt 22222,aaxy

10、02t 02t 第15頁/共37頁 22,xtytr 0,Mx ty tz t繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周時所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。 解解:點 M0 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度 后到點為 由于點20t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程。rxozy0MMr故有, ,M x y z0,MM 22cosxxtyt 22sinyxtyt xx t ,yy tt zz t所在的圓的半徑 zz t第16頁/共37頁1x 21cosxt2ztyt繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為: 20t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面（直角坐標下）方程為:44222zyxxzoy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

11、 即2zt21sinyt1012xyz第17頁/共37頁繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為: sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如( , )xx u v( , );yy u v( , )zz u v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2( , )u vDR第18頁/共37頁:xoyPrj消去 z 得投影柱面則 在xoy 面上的投影曲線 C為：消去 x 得 在yoz 面上的投影曲線方程：消去y 得 在zox 面上的投影曲線方程：0),(0),(zyxGzyxF(0, )H x y

12、 00),(zyxH00),(xzyR00),(yxzTzyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 :yozPrj:zoxPrj第19頁/共37頁zyxC1o002222zyyx22220 xyy1)1()1(1:222222zyxzyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 先求其投影柱面方程解：其投影曲線方程為：（消去變量 z 得）第20頁/共37頁zxyo1C所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線:)( 34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之

13、域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共37頁三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程, 下面僅就幾種常見 標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕（面）法截痕（面）法 其基本類型有: 橢球面橢球面、拋物面拋物面、雙曲面雙曲面、錐面錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. 222AxByCzDxyEyxFzx0GxHyIzJ(二次項系數(shù)不全為 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁/共37頁,yb2222221xyzabc(1)范圍：,xa(2)分別與坐標面xoy,yoz,zox 的交線：橢圓222210,xyabz222210,yzbcx222

14、210 .xzacy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中：a, b, c 均大于0稱為橢球的半軸。xyz- aac- cb- bzc第23頁/共37頁1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 z第24頁/共37頁(1)(1)單葉雙曲單葉雙曲面面by 1)1:1上的截痕為平面zz 橢圓橢圓.時, 截痕為：22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸

15、平行于z 軸）1yy zxy222222,1xyzabc1yy 平面 上的截痕情況:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 雙曲線雙曲線: ( a, b, c 均大于0 )第25頁/共37頁虛軸平行于x 軸）by1)2時, 截痕為：0czax)(bby或by1)3時, 截痕為：22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 相交直線: 雙曲線: 0第26頁/共37頁22222222222211,oxyzxyzabrcabc 上的截痕為平面1yy ：雙曲線 上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz：橢圓注意：注意：單葉雙曲面與雙葉雙

16、曲面的區(qū)別: ：雙曲線zxyo222222xyzabc單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (其中 a, b, c 均大于0)第27頁/共37頁2222xyzab(1) 橢圓拋物面(2) 雙曲拋物面（鞍形面或馬鞍面）2222xyzabzyx特別,當 a = b 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （a, b均為正數(shù)）（a, b均為正數(shù)）第28頁/共37頁222222xyzabczh在平面上的截痕為橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo2212121()()xycahc bhzh 一般地，給定平面上的曲線 C 及

17、 外一點V ，所有過點Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 與C 相交的直線構成的曲面稱為以V為頂點，以C為準線的錐面；稱每條過點V 與C 相交的直線為該錐面的母線。第29頁/共37頁1. 空間曲面空間曲面三元方程( , )0;F x y z 球面球面:2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面:如, 曲線( , )0;0f y zx繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面柱面:如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .一般式：.參數(shù)式：2,;,xu vyu vu vDRzu

18、 v第30頁/共37頁zbyax2222三元二次方程),(均為正數(shù)ba 橢球面橢球面:1222222czbyax 拋物面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面雙曲面:單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面橢圓錐面: 22222zbyax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zbyax2222第31頁/共37頁 xx t yy t zz t( , )0( , )0;G xyyxzFz. 空間曲線的一般式：. 空間曲線的參數(shù)式：. 空間曲線的矢（向）量式： ,.;r tx ty tz ttT ;tT4. 投影曲線投影曲線 C ;00),(zyxH;00),(xzyR.00),(yzxT機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 :xoyPrj:yozPrj:zoxPrj第32頁/共37頁5x922 yx1 xy斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面1. 指出下列方程的圖形:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第33頁/共37頁r1101:zyxL繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周, 求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程. 提示提示:在 L 上任取一點), 1 (000zyM軸繞為設zMzyxM0),(